2023淮北一中高一下学期第二次月考试题数学含解析

淮北一中2022－2023学年高一年级下学期第二次月考

数学试卷

（卷面分值：150分  考试时间：120分钟）

命题人：王公俊  审核人：张芳

一、选择题（共8题，每小题5分，共计40分）

1. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由向量减法法则计算．

【详解】

故选：A.

2. 的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算.

【详解】

故选：C

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】由题意可得：，

则：，，

从而有：，

即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

4. 在中，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】利用向量线性运算化简已知等式可整理得到，由此可得结果.

【详解】，

，，即.

故选：B.

5. ，，，是与同向的单位向量，则向量在向量上的投影向量是（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】直接由投影向量的公式求解即可.

【详解】由题意得：向量在向量上的投影向量是.

故选：A.

6. 已知平面向量，满足，，，则（    ）

A. 2 B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由求解.

【详解】解：因为，满足，，，

所以，

，

所以，

故选：A

7. 若，则的一个可能值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简已知等式，可得，即可得出答案．

【详解】解：，

，

的一个可能值为.

故选：C．

【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，考查计算能力，属于基础题．

8. 已知函数的部分图象如图所示.有下列四个结论：①﹔②在上单调递增；③的最小正周期；④的图象的一条对称轴为.其中正确的结论有

A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②

【答案】A

【解析】

【分析】利用图象先求出函数解析式，结合所给结论逐个进行验证.

【详解】因为，所以，由于，所以或；

由于图象最高点在轴左侧，所以，①不正确；

因为，所以，解得，，

令得，周期为，③正确；

由可得，令可得增区间为，②正确；

因为时，，所以不是对称轴，④不正确；

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解解析式，进而研究函数的性质，明确的求解方法是解题关键，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

二、选择题（共4题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知向量、不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】判断每个选项中每组向量是否共线，由此可得出合适的选项.

【详解】因为向量、不共线，对于A选项，设、共线，可设，

可得出，无解，所以，、不共线，A中的向量能作基底，

同理可知CD选项中的向量也可作平面向量的基底，

对于B选项，因为，所以，

所以不能作平面向量的基底．

故选：ACD.

10. 如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用平面向量基本定理以三角形法则，对各个选项逐个判断求解即可.

【详解】由已知可得，故D错误；

因为P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分点，

由,故A错误；

，故B正确；

，故C正确.

故选：BC

11. 下列说法中不正确的是（    ）

A. 若，则与的夹角为钝角 B. 若向量与不共线，则与都是非零向量

C. 若与共线，与共线，则与共线 D. “”的充要条件是“且”

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用向量的相关概念以及数量积运算的概念进行判断.

【详解】对于A，若，与的夹角也可以为，不一定是钝角，故A不正确；

对于B，因为与任意向量都共线，若向量与不共线，则与都是非零向量，故B正确；

对于C，若与共线，与共线，，则与不一定共线，故C不正确；

对于D，若，则与是相等向量，则它们模长相等，方向相同，

若且，它们不一定是相等向量，故D不正确.

故选：ACD.

12. 血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（    ）

A. 当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升

B. 当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg

C. 当天陈华没有高血压

D. 当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知，根据题意给的函数关系式，可通过赋值计算分别验证选项A、B、D，结合题意对高血压的判定，通过计算即可验证选项C.

【详解】由已知，选项A，当天早晨6~7点，则t∈[0，1]，t+∈[]，所以函数p（t）在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；

选项B，当t=3时，p（t）=115+20sin=125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；

选项C、选项D，因为p（t）的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90，所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，因此陈华有高血压，故选项C错误；且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. ______.

【答案】

【解析】

【分析】逆用正弦的二倍角公式直接可求.

【详解】.

故答案为：.

14. 已知平面向量，，且//，则＝        ．

【答案】(-4,-8)

【解析】

【详解】由，然后根据平面向量共线（平行）的坐标表示建立等式即，

求出，然后根据平面向量的坐标运算．

15. 如图，作用于同一点O的三个力处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据三力平衡，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果．

【详解】解：因为三个力处于平衡状态，所以，所以，

所以,

故答案为：.

16. 如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______．

【答案】

【解析】

【分析】连接、和，根据题意得到为平行四边形，设，其中，根据向量的运算法则，求得，，结合向量的数量积的运算公式，求得，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】如图所示，连接、和，因为且为的中点，

可得为平行四边形，所以，

设，其中，

因为，可得，，

在中，可得，

在中，可得，

又因为且，所以，

所以

，

设，

根据二次函数的性质，可得函数的对称轴为，

且在在上单调递减，在在上单调增，

所以当时，函数取得最小值，最小值为，

又由，即函数的最大值为，

所以的取值范围.

故答案为：.

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知，，与的夹角为．

（1）求；

（2）当为何值时，？

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；

（2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.

【小问1详解】

，

，.

【小问2详解】

由得：，

解得：.

18 已知向量，，，且，．

（1）求向量、；

（2）若，，求向量，的夹角的大小.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；

（2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求．

【小问1详解】

解：因为，，，且，，

所以，，

所以，，

所以，；

【小问2详解】

解：设向量，的夹角的大小为．

由题意可得，，，

所以，

因为，所以．

19. 如图，在中，为线段上一点，且.

若，求，的值；

若，，，且与的夹角为，求的值.

【答案】；.

【解析】

【分析】用，表示出，根据平面向量的基本定理得出，的值；

用，表示出，，代入数量积公式计算即可.

【详解】解：若，则，

即，故.

若，则，

即，

所以

.

【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.

20. 已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；

（2）求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论．

【详解】解：（1）∵

.

又∵，∴，即，

∴；

（2）由得，

所以的递增区间是，递减区间是，令，函数在上递减，而，即函数在上是递减的，故不存在实数，使得在上递增.

【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．

21. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）若函数在上有两个零点，求m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据图象求出A，再由过定点求出，再由求出；

（2）由求出，利用正弦函数的图象与性质分析函数的端点及极值，即可求解.

【小问1详解】

由图可得，，将点的坐标代入解析式可得，

结合图象可得，，又因为，所以．

将点坐标代入解析式可得，

结合图象可得，，则，，

又因，所以，

故．

【小问2详解】

当时，，

令，函数在上单调递增，在上单调递减，

，，．

若函数在上有两个不相等的实数根，

故m的取值范围为

22. 已知，，，将曲线的图象向右平移得到函数的图象.

（1）若，，求的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换得，转化条件得，再由的取值范围即可得，再由两角差的正切公式即可得解；

（2）由三角函数的图象变换得，转化条件得对任意恒成立，设，结合二次函数的性质令即可得解.

【详解】由题意

，

（1）由得，

又，所以，

所以，解得，

则；

（2）因为将的图象向右平移得到函数的图象，

所以，

所以，

所以恒成立，

原不等式等价于对任意恒成立，

令，，则在上恒成立，

设，

当时，成立；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上，实数m的取值范围是.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数性质的应用，考查了二次函数性质的应用及运算求解能力，属于中档题.