小学四年级下册（人教版）数学讲义 08 A 春季四年级 第八讲 三角形（二） 基础版

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第8讲 三角形（二）知识点三：三角形的内角和1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。（2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。（3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成（平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。（4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。（5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。（6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。    至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。（7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形考点1：三角形的内角和【典例1】（2020春•渭滨区期末）在一个三角形中，有两个锐角，则第三个角（　　）A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角【分析】由三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形有两个内角是锐角，则另外一个角可以是锐角，也可以是直角或钝角；则这个三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形。【解答】解：由三角形的内角和是180°可知，如果一个三角形有两个内角是锐角，则另外一个角可以是直角，也可以是钝角，则这个三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形；故选：D。【点评】此题主要考查三角形的内角和是180度。【典例2】（2020春•临朐县期末）一个等腰三角形中，一个底角是70°，它的顶角是（　　）A．70° B．40° C．70°或40° D．100°【分析】等腰三角形的特征：两腰相等，两底角也相等；再根据三角形内角和是180°和一个底角是70°，先求得两个底角的度数和，进而求得它的顶角的度数．【解答】解：它的两个底角的度数和：70°×2＝140°，它的顶角的度数：180°﹣140°＝40°；答：它的顶角是40°．故选：B．【点评】此题根据等腰三角形的特征和三角形的内角和解答．【典例3】（2020春•陕州区期末）将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（　　）A．90° B．180° C．270° D．360°【分析】只要是三角形，它的内角和就是180度，不管三角形是大还是小，它的内角和都是180度，据此解答．【解答】解：根据三角形内角和定理，将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是180°．故选：B．【点评】解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度．【典例4】（2020春•湖滨区期末）如图，如果角1＝50°，角2＝25°，那么角3＝　65　°，角4＝　65　°．【分析】在直角三角形中，根据三角形的内角和是180°，分别减去其余两个内角即可求出角3的度数；角1、角3、角4组成平角，180°分别减去其余两个角的度数即可求出角4的度数。【解答】解：180°﹣90°﹣25°＝90°﹣25°＝65°180°﹣65°﹣50°＝115°﹣50°＝65°角3＝65°，角4＝65°。故答案为：65，65。【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。考点2：画指定要求的三角形及高【典例1】（2020春•洪山区期末）在下面的点子图上分别画一个等腰三角形、一个钝角三角形、锐角三角形．【分析】等腰三角形是有两条边相等的三角形；钝角三角形是有一个角是钝角的三角形；锐角三角形是三个角都是锐角的三角形。据此画出即可。【解答】解：作图如下：【点评】此题考查了三角形的分类和画法，要熟练掌握。【典例2】（2020秋•龙口市期中）先算一算，填一填，再分别画出三角形底边上的高。∠1＝　30°　，∠2＝　45°　，∠3＝　55°　。【分析】根据三角形的内角和是180度，用180度减去已知的两个角就是第三个角的度数；根据三角形的高的画法：从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此画图。【解答】解：（1）∠1＝180°﹣105°﹣45°＝30°；（2）∠2＝180°﹣45°﹣90°＝45°；（3）180°﹣85°﹣40°＝55°；三角形底边上的高如图所示：30°，45°，55°。【点评】此题主要考查三角形内角和定理的运用和三角形高的画法。  综合练习一．选择题1．（2020春•路南区期末）一个三角形的内角和是（　　）度．A．120 B．180 C．360【分析】三角形的内角和是180度。据此解答即可。【解答】解：一个三角形的内角和是180度。故选：B。【点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和及应用。2．（2020春•诸城市期末）下列说法正确的是（　　）A．角的两条边越长，角就越大 B．一个锐角三角形中任意两个角的和可能小于90° C．一个三角形中至少有两个锐角 D．0.12和0.120的大小相等，计数单位也相同【分析】角的两条边长度和角的大小无关，A错误；一个锐角三角形中任意两个角的和一定大于90°，B错误；一个三角形中至少有两个锐角，C正确；0.12和0.120的大小相等，计数单位不同，D错误。【解答】解：说法正确的是一个三角形中至少有两个锐角。故选：C。【点评】此题考查了三角形、角、小数计数单位的相关知识，要熟练掌握。3．（2020春•綦江区期末）如果三角形最小的一个内角大于45°，这个三角形一定是（　　）三角形．A．钝角 B．直角 C．锐角 D．等腰【分析】根据三角形内角和是180°，如果一个三角形最小的一个内角大于45°，那么另两个内角其中一个较小的内角也大于45°，所以第三个内角一定小于90°，由此可知这个三角形一定是锐角三角形。【解答】解：由分析可知，如果一个三角形最小的一个内角大于45°，这个三角形是锐角三角形。故选：C。【点评】此题考查了三角形内角和是180°以及锐角三角形的概念。4．（2020•临朐县）三角形的两个内角分别是30°和50°，这是一个（　　）三角形．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【分析】三角形的两个内角的度数已知，依据三角形的内角和是180°，即可求出第三个内角的度数，从而可以判定这个三角形的类别．解答即可．【解答】解：因为180°﹣50°﹣30°＝130°﹣30°＝100°所以这个三角形是钝角三角形．故选：C．【点评】解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．5．（2020•交城县）亮亮想知道三角形ABC内角和的度数，下面拼法中正确的是（　　）A． B． C．【分析】根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，据此解答．【解答】解：因为三角形的内角和等于180°，所以拼法中正确的是．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．6．（2020春•高邑县期中）等腰三角形中有一个内角是80°，另外两个角（　　）A．都是50° B．分别是20°和80 C．分别是20°和80°或都是50°【分析】等腰三角形这个80°的内角可能是顶角，也可能是底角．根据等腰三角形的内角和定理（三角形三个内角之和是180°）及等腰三角形两个底角相等的性质，即可分别计算出当这个角是顶角时的底角度数、当这个角是底角时顶角的度数．【解答】解：当等腰三角形的顶角是80°时它的两个底角：（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°当等腰三角形的底角是80°时180°﹣80°×2＝180°﹣160°＝20°答：另外两个角分别是20°和80°或都是50°．故选：C．【点评】解答此题的关键是三角形内角定理及等腰三角形性质的应用．7．（2020•沈阳）在一个三角形中，三个内角分别是∠1、∠2、∠3，若∠1＝∠2﹣∠3，则这个三角形的形状是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【分析】因为任何一个三角形的三个内角之和都是180度，所以如果两个内角之和等于第三个角，那么这两个内角之和与第三个角的度数都是90度，再根据有一个角是直角的三角形是直角三角形；据此进行判断．【解答】解：在一个三角形中，三个内角分别是∠1、∠2、∠3，若∠1＝∠2﹣∠3，即∠1+∠3＝∠2，如果一个三角形的两个内角之和等于第三个角，那么这两个内角之和与第三个角的度数都是：180÷2＝90（度），因为有一个角是直角的三角形是直角三角形，所以这个三角形一定是直角三角形．故选：B．【点评】此题考查三角形的内角和是180度，也考查了有一个角是直角的三角形是直角三角形．8．（2020•固始县）一个三角形中至少有（　　）个锐角．A．1 B．2 C．3【分析】根据三角形内角和为180度分三种情况讨论：①在直角三角形中；②在钝角三角形中；③在锐角三角形中；三角形的三个内角的情况．【解答】解：根据三角形内角和为180度可知：在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角，而锐角三角形的三个内角都是锐角．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，注意三角形内角和定理的熟练掌握．二．填空题9．（2020春•无锡期末）在直角三角形中，有一个锐角是25°，那么另一个锐角是　65　°．【分析】根据直角三角形两个锐角和为90°，即可得另一个锐角度数．【解答】解：由题意得，在直角三角形中，两个锐角和为90°，则另一个锐角的度数为：90°﹣25°＝65°．答：那么另一个锐角是 65°．故答案为：65．【点评】本题考查了直角三角形的性质，是基础题，应注意基础知识的积累．10．（2020春•芦溪县期末）如图是一块三角形玻璃打破后留下的碎片，第三个角是　105　°，它原来是一个　钝角　三角形．【分析】根据三角形的内角和是180°，分别减去其余两个内角即可求出第三个角的度数。锐角三角形：最大角小于90°的三角形。直角三角形：最大角等于90°的三角形。钝角三角形：最大角大于90°的三角形。据此判断即可。【解答】解：180°﹣30°﹣45°＝150°﹣45°＝105°所以第三个角是105°，它原来是一个钝角三角形。故答案为：105，钝角。【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。11．（2020春•石阡县期末）在一个直角三角形中，最大角是最小角的2倍，这个最小角是　45　度，这个三角形还是　等腰　三角形。【分析】直角三角形中最大角是90°，是最小角的2倍，那么最小角是90°÷2＝45°；可知第三个内角是180°﹣90°﹣45°＝45°，等角对等边，那么这个三角形还是等腰三角形。【解答】解：90°÷2＝45°180°﹣90°﹣45°＝45°在一个直角三角形中，最大角是最小角的2倍，这个最小角是45度，这个三角形还是等腰三角形。故答案为：45，等腰。【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。12．（2020春•邛崃市期末）如图中，∠1＝70度，∠3＝70度，∠2＝　40　度．【分析】根据三角形的内角和是180°，分别减去其余两个内角即可求出第三个角的度数。【解答】解：180°﹣70°﹣70°＝110°﹣70°＝40°即∠2＝40度。故答案为：40。【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。13．（2020春•桃江县期末）如图的三角形中未知角的度数是　70　°．【分析】根据三角形的内角和是180°，分别减去其余两个内角即可求出第三个角的度数。【解答】解：180°﹣40°﹣70°＝140°﹣70°＝70°答：如图的三角形中未知角的度数是70°。故答案为：70。【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。14．（2020春•皇姑区期末）一个三角形的两个内角分别是45°和90°，另一个内角是　45°　，这是一个　直角　三角形．【分析】根据三角形的内角和是180°，两个内角分别是45°和90°，则另一个内角是180°﹣45°﹣90°＝45°，最大角是直角，那么这是一个直角三角形。【解答】解：180°﹣45°﹣90°＝45°答：另一个内角是45°，这是一个直角三角形。故答案为：45°，直角。【点评】此题考查了三角形的内角和是180°，要熟练掌握。15．（2020春•成武县期末）如图，∠1＝　60　°，∠2＝　120　°．【分析】三角形内角和是180°，用180°分别减去其余两个内角的度数即可求出∠1的度数；∠1和∠2组成平角，再用180°减去∠1的度数即可求出∠2的度数。【解答】解：180°﹣50°﹣70°＝130°﹣70°＝60°180°﹣60°＝120°∠1＝60°，∠2＝120°故答案为：60，120。【点评】此题考查了三角形内角和定理，要熟练掌握。16．（2020春•安新县期末）如图中∠1＝140°，∠3＝15°，那么∠2＝　25　°．【分析】∠1＝140°，∠3＝15°，根据三角形内角和等于180°，用180°分别减去∠1和∠3的度数即可求出∠2的度数。【解答】解：180°﹣140°﹣15°＝40°﹣15°＝25°答：∠2＝25°。故答案为：25。【点评】此题考查了根据三角形内角和求内角度数的方法，要熟练掌握。三．判断题17．（2020春•临朐县期末）三角形中任意两个角的和大于第三个角．　×　．（判断对错）【分析】根据三角形内角和定理和直角三角形以及钝角三角形的特点，即可进行判断．也可以举出反例解答．【解答】解：因为三角形的内角和是180°，所以：直角三角形中，最大的角是90°，所以另外两个角的度数之和也等于90°，钝角三角形中，最大的角是钝角大于90°，所以另外两个锐角的度数之和一定小于90°，所以任意一个三角形，两个内角的和总大于第三个内角，说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查三角形内角和定理的灵活应用：锐角三角形的任意两个锐角之和＞90°；直角三角形的两个锐角之和＝90°；钝角三角形的两个锐角之和＜90°．18．（2019春•唐县期末）一个三角形中有两个角的度数都是45°，那么它是直角三角形．　√　（判断对错）【分析】根据三角形内角和是180°算出剩下的这个角是90°，有一个角是直角的三角形是直角三角形，进而得出结论．【解答】解：第三个角：180°﹣45°﹣45°＝90°所以三角形一定是直角三角形；所以原题说法正确．故答案为：√．【点评】此题根据直角三角形的概念和三角形内角和是180°进行解答．19．（2019•郾城区）一个等腰三角形的顶角是78度，则这个三角形一定锐角三角形．　√　（判断对错）【分析】因为三角形的内角度数和是180°，根据等腰三角形两底角相等，先用“180°﹣78°”求出两个底角度数的和，然后除以2求出等腰三角形的底角度数，进而判断即可．【解答】解：（180°﹣78°）÷2＝102°÷2＝51°这个三角形的三个角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】解答此题的关键是先求出底角，进而根据角的大小，进行判断即可．四．计算题20．（2019春•承德期末）计算下面未知角的度数．【分析】根据三角形的内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，就是所求的角的度数．【解答】解：（1）180°﹣65°﹣37°＝115°﹣37°＝78° （2）180°﹣90°﹣30°＝90°﹣30°＝60° （3）180°﹣20°﹣25°＝160°﹣25°＝135°【点评】本题主要考查三角形的内角和，关键利用三角形内角和是180°做题．21．（2019春•莲湖区期中）计算图中的角度．∠1＝60°，求∠2＝？【分析】由图知这是一个直角三角形，∠2的度数等于90度减去∠1的度数，据此解答．【解答】解：∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°答：∠2等于30度．【点评】本题主要考查了三角形的内角和等于180度和直角三角形的性质等相关知识．22．（2017春•靖州县期末）求下面图形未知角的度数．在图中，已知∠1＝105°，∠3＝35°，求∠2的度数？【分析】因为三角形的内角和是180度，所以用180度减去已知的两个角的度数，即可求出第三个角的度数．【解答】解：180﹣105﹣35＝40（度）答：∠2等于40度．【点评】掌握三角形的内角和等于180度是解题的关键．五．操作题23．（2020春•嘉兴期末）按要求在格子图中画三角形．画一个钝角三角形．【分析】钝角三角形：最大角大于90°的三角形。据此画出。【解答】解：作图如下：【点评】此题考查了画平面图形的方法，要熟练掌握。24．（2020春•邛崃市期末）在如图的方格图中，画一个直角三角形和一个梯形．【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形；直角三角形：最大角等于90°的三角形。【解答】解：作图如下：（答案不唯一）【点评】此题考查了平面图形的画法，要熟练掌握。25．（2020春•巩义市期末）（1）画一个直角三角形．（2）画一个等腰三角形，顶角是钝角．【分析】（1）直角三角形：有一个角是90°的三角形。（2）等腰三角形是两条边相等的三角形，顶角是钝角，据此作图即可。【解答】解：（1）作图如下：（2）作图如下：【点评】此题考查了画不同种类三角形的方法，要熟练掌握。六．解答题26．（2020春•灯塔市期末）填出下面各角的度数．【分析】根据三角形的内角和是180°，分别减去其余两个内角即可求出第三个角的度数。【解答】解：∠A＝180°﹣75°﹣28°＝77°∠B＝180°﹣90°﹣45°＝45°∠C＝180°﹣18°﹣25°＝137°【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度。27．（2020春•临朐县期末）求图形中∠1，∠2，∠3度数．（1）（2）【分析】（1）根据直角三角形两锐角之和等于90°，用90°减去已知的锐角度数，据此解答即可．（2）根据三角形的内角和等于180°，根据另一个角的度数和∠3的度数是一个平角，再用180°减去已知的两个角的和求出另一个角的度数，解答即可．【解答】解：（1）∠1＝90﹣35＝55°（2）∠3＝180﹣100＝80°∠2＝180﹣50﹣80＝50°．故答案为：∠1＝55°；∠2＝50°，∠3＝80°．【点评】本题利用三角形的内角和是180度，以及平角是180度进行求解即可．28．（2019春•沙河口区期末）算一算．（要求有计算过程）等腰三角形中有一个内角是36°，则另外两个内角的度数是多少？【分析】因为等腰三角形的一个内角为36°，没明确是底角还是顶角，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当36°为顶角时，其它两角都为：（180°﹣36°）÷2＝144°÷2＝72°；当36°为底角时，则另一个底角也是36°，顶角为：180°﹣36°﹣36°＝108°；即其它两角分别为36°、108°．答：另外两个内角的度数都是72°，或分别为36°、108°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪个角是底角哪个角是顶角时，应分类讨论．29．（2019春•甘州区校级期中）求图中∠1的度数．【分析】根据直角三角形的两个锐角的和为90°，结合已知，可求∠1＝90°﹣28°．【解答】解：∠1＝90°﹣28°＝62°答：∠1等于60度．【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为18度．