小学六年级下册（人教版）数学讲义 06 A 春季六年级 第六讲 圆锥 基础版

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第6讲 圆锥1、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。2、圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。3、圆锥的特征：（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。（3）高的特征：圆锥有一条高。4、圆锥的母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上点到顶点的距离。圆锥有无数条母线。
5、圆锥的侧面：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长。6、圆锥的侧面积=底面的周长（展开图弧长）×母线÷2；7、圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh），得出圆锥体积公式：V=1/3Sh
8、圆柱与圆锥的关系：（1）与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
（2）体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。
（3）体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等低等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。
9、生活中的圆锥：生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。考点1：圆锥的特征
【典例1】（2020春•浑源县期末）用（　　）物体能画出．A． B． C．【分析】从不同的方向观察立体图形时，因观察的方向不同，观察到物体的形状也就不同。从上面看，圆柱是个圆形，所以能画出。【解答】解：能画出。故选：A。【点评】本题主要考查了学生观察物体的能力。【典例2】（2020•中原区）如图图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是 （　　）A．三角形 B．圆锥 C．圆柱【分析】根据圆锥的特征及直角三角形的特征，直角三角形绕一条直角边旋转一周后会得到一个以旋转轴为高，另一直角边为底面半径的一个圆锥；由此解答即可．【解答】解：如图图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是圆锥；故选：B．【点评】本题是考查学生的空间想象力，关键是抓住圆锥的特征及直角三角形的特征．【典例3】（2019春•成武县期中）以一个等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周生成的图形是　圆锥　．如果这个等腰直角三角形的一条直角边的长是10厘米，那么生成图形的高是　10　厘米，底面积是　314　平方厘米．【分析】如果以这个等腰直角三角形的直角边为轴，旋转后组成的图形是一个底面半径为10cm，高为10cm的一个圆锥；根据圆锥的底面积公式S＝π×r×r，即可求出圆锥的底面积，据此解答即可．【解答】解：圆锥底面半径10厘米，高10厘米3.14×10×10＝3.14×100＝314（平方厘米）答：以一个等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周生成的图形是圆锥．如果这个等腰直角三角形的一条直角边的长是10厘米，那么生成图形的高是10厘米，底面积是314平方厘米．故答案为：圆锥，10，314．【点评】本题考查了将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，以及圆锥的底面积计算和特征．考点2：圆锥的体积【典例1】（2019春•太仓市期末）高18厘米的圆锥形容器装满水，把这些水全部倒入与它等底等高的圆柱形容器中，这时水面在圆柱形容器中的高度是（　　）厘米．A．6 B．12 C．18 D．9【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的体积相等，底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【解答】解：186（厘米）答：这时水面在圆柱形容器中的高度是6厘米．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用．【典例2】（2020•太原）龙卷风（又称龙卷、卷风）是大气中最强烈的润现象，常发生于夏季的雷雨天气，光以下午至傍晚最为常见，影响范围虽小，但破坏力极大．某次龙卷风的高度约120米，项部直径的100米，那么这个龙卷风所形成的圆锥形空间的体积为多少立方米？【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答．【解答】解：3.14×（100÷2）2×1203.14×2500×120＝314000（立方米）答：这个龙卷风所形成的圆锥形空间的体积为314000立方米．【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．【典例3】（2020•温州）由黄铜制成的圆锥，质量是77.244克，底面半径是3厘米，若每立方厘米黄铜重8.2克，这个圆锥的高是多少厘米？【分析】先根据圆锥的质量和每立方厘米的质量，求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h÷3，变式为求高公式：h＝3V÷πr2，代入数值求高即可．【解答】解：圆锥的体积为：77.244÷8.2＝9.42（cm3）圆锥的高为：3×9.42÷（3.14×3×3）＝28.26÷28.26＝1（cm）答：这个圆锥的高是1厘米．【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式，以及质量、密度和体积之间的关系，需要学生熟记并灵活运用．               综合练习一．选择题1．（2020春•高邑县期中）下列哪一个不是圆锥（　　）A． B． C． D．【分析】圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．据此解答即可．【解答】解：不是圆锥，而是圆柱．故选：D．【点评】此题考查了圆锥的特征，要熟练掌握．2．（2020•顺德区）将如图的图形绕虚线旋转一周后会得到的立体图形是（　　）A． B． C． D．【分析】一个直角三角形围绕一条直角边为中心对称轴旋转一周形成一个圆锥体，据此选择即可．【解答】解：一个直角三角形围绕一条直角边为中心对称轴旋转一周形成一个圆锥体，故选：C．【点评】解决本题的关键是掌握圆锥体的特征．3．（2019•周口）下面图形中，只有一条高的是（　　）A．三角形 B．梯形 C．圆柱 D．圆锥【分析】根据圆锥的特征和高的意义，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高；由此解答．【解答】解：三角形有3条高，梯形有无数条高，圆柱有无数条高，只有圆锥有1条高；故选：D．【点评】此题要根据圆锥的特征和高的意义来进行分析判断．4．（2020•高密市）一个圆锥的体积是100立方厘米，底面积是50平方厘米，它的高是（　　）厘米．A．2 B． C．6 D．10【分析】根据圆锥的体积公式：VSh，那么hS，把数据代入公式解答。【解答】解：10050＝100×3÷50＝300÷50＝6（厘米）答：它的高是6厘米。故选：C。【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．（2020•长白县）一个圆柱和一个圆锥等底、等体积，它们的高之和是72厘米，圆柱的高是（　　）厘米．A．18 B．24 C．36 D．54【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，那么圆柱与圆锥高的和相当于圆柱高的（3+1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆柱的高．【解答】解：72÷（3+1）＝72÷4＝18（厘米）答：圆柱的高是18厘米．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用．6．（2020•东城区）如图所示，把一张三条边长分别是5cm、12cm和13cm的直角三角形硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，转出的圆锥高是___cm，底面半径是___cm．（　　）A．5，12 B．12，5 C．13，5 D．12，13【分析】根据图示，将三角形围着一条直角边旋转，得到一个圆锥，这条直角边就是圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径．【解答】解：将三角形围着一条直角边旋转得到一个圆锥，这条直角边就是圆锥的高，即12cm，另一条直角边就是圆锥的底面半径，即5cm．答：转出的圆锥高是12cm，底面半径是5cm．故选：B．【点评】本题主要考查了圆锥的特征，需要学生熟记圆锥的特性，并能灵活运用．7．（2020•十堰）一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积都相等．已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是（　　）dm．A．12 B．4 C．8【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆柱的体积相等，底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍．据此解答．【解答】解：4×3＝12（dm）答：圆锥的高是12dm．故选：A．【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用．8．（2020•永定区）丽丽做了一个圆锥，底面直径是6厘米，高是10厘米，这个圆锥的体积是多少？下面选项中，列式正确的是（　　）A．62×3.14×10 B．62×3.14×10 C．（6÷2）2×3.14×10 D．（6÷2）2×3.14×10【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答．【解答】解：3.14×（6÷2）2×10＝3.14×3×10＝94.2（立方厘米）答：这个圆锥的体积约是94.2立方厘米．故选：D．【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．9．（2020•太原）圆锥是由（　　）个面围成的立体图形．A．1 B．2 C．3【分析】根据圆锥的特征，圆锥的底面是一个圆，侧面是曲面，由此可知，圆锥的由2个面围成的立体图形．据此解答．【解答】解：圆锥的由2个面围成的立体图形．故选：B．【点评】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用．二．填空题10．（2020•浦城县）一个圆柱和一个圆锥的底面周长相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是12立方分米，圆柱的体积是　12　立方分米．【分析】一个圆柱和一个圆锥的底面周长相等，因为C＝2πr，则它们的底面积就相等，根据圆柱和圆锥的体积公式即可解答．【解答】解：一个圆柱和一个圆锥的底面周长相等，则底面半径就相等，则它们的底面积就相等，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积底面积×高，圆锥的高是圆柱的3倍，所以圆柱和圆锥的体积相等，也是12立方分米．故答案为：12．【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用．11．（2020•嘉兴）一个棱长为6cm的正方体钢坯，要熔铸成一个高为24cm的圆锥形模具．这个模具的底面积是　27　cm2．【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出铁块的体积，再根据圆锥的体积公式：VSh，那么S＝Vh，据此解答即可．【解答】解：6×6×624＝21624＝648÷24＝27（cm2）答：这个模具的底面积是27cm2．故答案为：27．【点评】此题主要考查正方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．12．（2020•洛阳）一个圆柱的体积是25.2m3，与它等底等高圆锥的体积是　8.4　m3；一个圆锥的体积是25.2m3，与它等底等高圆柱的体积是　75.6　m3．【分析】（1）根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积 ，已知圆柱的体积，求与它等底等高的圆锥的体积，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可．（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法解答．【解答】解：（1）25.28.4（m3）答：与它等底等高圆锥的体积是8.4m3；（2）25.2×3＝75.6（m3）答：与它等底等高圆柱的体积是75.6m3．故答案为：8.4，75.6．【点评】此题主要考查等底等高的圆锥与圆柱体积之间关系的灵活运用．13．（2020•通许县）一个圆锥的体积6dm3，高3dm，底面积是　6　dm2．【分析】圆锥的体积和高已知，利用圆锥的体积VSh，可得S＝3V÷h，即可求出这个圆锥的底面积．【解答】解：6×3÷3＝6（dm2）答：底面积是6dm2．故答案为：6．【点评】此题主要考查圆锥的体积的计算方法的灵活应用．14．（2020•东城区）一个圆柱的体积是75.36m3，与它等底等高的圆锥的体积是　25.12　m3．【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知圆柱的体积是75.36m3，求与它等底等高的圆锥的体积，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【解答】解：75.3625.12（立方米），答：与它等底等高的圆锥的体积是25.12立方米．故答案为：25.12．【点评】此题主要考查圆锥的体积计算，根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的这一关系，再根据一个数乘分数的意义，用乘法解决问题．15．（2020春•北川县期末）一个圆锥的底面半径是2dm，高是3dm，它的体积是　12.56　dm3，与它等底等高的圆柱的体积是　37.68　dm3．【分析】（1）根据圆锥的体积公式VSh，代入数据即可解答；（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，利用圆锥的体积×3即可解答．【解答】解：圆锥的体积是：3.14×22×3＝3.14×4＝12.56（立方分米）圆柱的体积是：12.56×3＝37.68（立方分米）答：圆锥的体积是12.56立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是37.68立方分米．故答案为：12.56，37.68．【点评】此题考查了圆锥的体积公式以及等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用．三．判断题16．（2020•灯塔市）圆柱和圆锥的高都只有一条．　×　（判断对错）【分析】根据圆柱、圆锥高的意义，圆柱上、下底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱有无数条高；从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，圆锥只有1条高．据此判断．【解答】解：由分析得：圆柱有无数条高，圆锥只有一条高．因此，圆柱和圆锥的高都只有一条．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱、圆锥的特征，以及圆柱、圆锥高的意义．17．（2019春•镇康县校级月考）圆锥的高有无数条．　×　．（判断对错）【分析】紧扣圆锥的特征：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高；可知：圆锥只有一条高；据此判断即可．【解答】解：由圆锥高的含义可知：圆锥的高有无数条，说法错误；故答案为：×．【点评】此题考查了圆锥的特征，应注意基础知识的积累．18．（2020•仁化县）圆柱体积是圆锥的3倍．　×　（判断对错）【分析】一个圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的3倍，原题没有注明“等底等高”，只说“圆柱的体积是圆锥体积的3倍”是错误的．【解答】解：由于圆柱、圆锥的体积公式中都有底面积和高两个未知的量，原题没有对这两个量加以“等底等高”，所以不能说“圆柱的体积是圆锥体积的3倍”；故答案为：×．【点评】此题是考查圆柱、圆锥的关系，要注意圆柱和圆锥在等底等高的条件下体积有3倍或的关系．四．应用题19.（2020•李沧区）工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？【分析】沙堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式Vπr2h求得体积即可求解．【解答】解：3.14×（4÷2）2×1.2＝3.14×4×0.4＝5.024（立方米）答：这堆沙子的体积大约是5.024立方米．【点评】主要考查圆锥的体积计算公式：Vπr2h，运用公式计算时不要漏乘．20．（2020春•微山县期中）如图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，按要求计算出它们的体积．（单位：厘米）（1）挖去的这个圆锥的体积是多少立方厘米？（2）挖去这个圆锥后，剩余部分的体积是多少立方厘米？【分析】（1）根据图示，利用圆锥的体积公式：VSh，求挖去圆锥的体积即可．（2）根据图示，利用圆柱体积公式V＝Sh，求圆柱的体积，然后用圆柱体积减去挖去的圆锥的体积即可．【解答】解：（1）3.14×52×12942＝314（立方厘米）答：挖去的这个圆锥的体积是314立方厘米． （2）3.14×52×20﹣314＝1570﹣314＝1256（立方厘米）答：挖去这个圆锥后，剩余部分的体积是1256立方厘米．【点评】本题主要考查圆锥的体积，关键利用圆锥的体积公式做题．21．（2020•重庆）把一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥零件完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱储水箱里，水面高度与圆锥的高正好相等。把零件从水箱中取出后，水箱里水面的高度是多少厘米？【分析】根据题意，首先根据圆锥的体积公式：Vπr2h，求出这个圆锥形零件的体积，用圆锥形零件的体积除以圆柱形储水箱的底面积求出水面下降的高，然后用放入零件后水面的高减去水面下降的高就是原来水面的高。【解答】解：3.14×62×10÷[3.14×（20÷2）2]3.14×36×10÷[3.14×100]＝376.8÷314＝1.2（厘米）10﹣1.2＝8.8（厘米）答：水箱里水面的高度是8.8厘米。【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。22．（2020•平罗县）一个圆锥形钢锭，底面直径为6分米，高为5分米，体积是多少立方分米？如果每立方分米重2千克，这个钢锭重多少千克？【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出它的体积，然后用这个钢锭的体积乘米立方分米钢的质量即可。【解答】解：3.14×（6÷2）2×53.14×9×5＝47.1（立方分米）47.1×2＝94.2（千克）答：体积是47.1立方分米，这个钢锭重94.2千克。【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。2．32020•荥阳市）如图的蒙古包由一个近似的圆柱形和一个近似的圆锥形组成．这个蒙古包里的空间大约是多少立方米？【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可．【解答】解：3.14×（8÷2）2×1.2+3.14×（8÷2）2×23.14×16×1.2+3.14×16×2＝20.096+100.48＝120.576（立方米）答：这个蒙古包里的空间大约是120.576立方米．【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．24．（2020•隆回县）有一个近似于圆锥形的稻谷堆，底面周长是25.12米，高是0.6米，如果每立方米稻谷大约重0.75吨，这堆稻谷重多少吨？【分析】根据圆锥的体积公式：Vr2h，把数据代入公式求出这堆稻谷的体积，然后用稻谷的体积乘每立方米稻谷的质量即可．【解答】解：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×0.6×0.753.14×42×0.6×0.753.14×16×0.6×0.75＝10.048×0.75＝7.536（吨）答：这堆稻谷重7.536吨．【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．25．（2020•陇县）有一个圆堆形的沙堆，底面半径2米，高1.5米，把这堆沙子铺到一个长5米，宽4米的沙坑里．可以铺多厚？【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，求出这堆沙的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答．【解答】解：3.14×22×1.5÷（5×4）4×1.5÷20＝6.28÷20＝0.314（米）答：可以铺0.314米厚．【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．