数学六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）精品课时作业

第9讲 鸽巢问题

1、抽屉原理（一）： 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。   

2、抽屉原理（二）： 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。

3、抽屉原理解题的关键是正确地判断什么抽屉，什么是物体？

4、物体数÷抽屉数=商……余数   至少数=商+1

考点1：抽屉原理（1+2）

【典例1】（2019春•通榆县期末）六年级三班有53人，那么这个班级中至少有（　　）人的生日在同一个月．

A．1 B．3 C．5 D．7

【分析】把12个月看作12个抽屉，把53个人看作53个元素，那么每个抽屉需要放53÷12＝4（人）…5（人），所以每个抽屉需要放4人，剩下的4人再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：4+1＝5（人），所以，至少有5人的生日在同一个月．

【解答】解：53÷12＝4（人）…5（人）

4+1＝5（人）

答：这个班级中至少有5人的生日在同一个月．

故选：C．

【点评】本题考查抽屉原理，解答思路是：要从最不利情况考虑，确定抽屉个数和元素个数，然后根据“至少数＝元素个数÷抽屉个数+1（有余数的情况下）”解答即可

【典例2】（2020•桃江县）（2021•宁波模拟）把200本书分给某班学生，已知其中总有人分到6本．那么，这个班最多有　39　人．

【分析】利用抽屉原理分析，设最多有x人，这相当于x个抽屉，问题变为把200本书放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了6本，则5x+1≤200，进而求出答案即可．

【解答】解：因为现有200本书，分给若干人，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到6本，

所以每人至少分5本书，

所以设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把200本书放进x个抽屉，

至少有1个抽屉放了6本，

则5x+1≤200，

解得x≤39.8，

所以这个班最多有39人．

故答案为：39．

【点评】此题主要考查了抽屉原理，根据已知得出每人至少分5本书，进而得出5x+1≤200进而求出是解题关键．

【典例3】（2021•宁波模拟）有20×20的小方格组成一个大正方形．用1～9这9个数字中的任意一个填在每个小方格中，把形如“田”的田字格图形中的4个数相加，得到一个和数．那么，图中许许多多的和数中，至少有　11　个相同．

【分析】在“田”字格中，最大的为9+9+9+9＝36，最小的为1+1+1+1＝4．故四数之和有36﹣4+1＝33（种），而在20×20的网格中，应有19×19＝361个不同的“田”字形．故由抽屉原理，即可解决问题．

【解答】解：根据题干分析可得：4个数字之和最大是36，最小是4，

所以4个数字之和有：36﹣4+1＝33（种），

在20×20的网格中，应有19×19＝361个不同的“田”字形，

则：361÷33＝10（个）…31，

10+1＝11（个），

答：至少有11个相同．

故答案为：11．

【点评】解答此题的关键是求出十字形4个数的和的范围，再根据抽屉原理解决问题．

【典例4】．（2020•固阳县）将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要想保证取出的帽子中一定有两个是同色的，则至少应取出　4　顶帽子.

【分析】把三种颜色看作三个抽屉，保证取出的帽子中至少有两个是同色的，利用抽屉原理最差情况，每个盒子里放一顶，需要3顶，再任意取一顶，就能保证取出的帽子中一定有两个是同色的，所以应至少取出4顶。

【解答】解：3+1＝4（顶）

答：至少应取出4顶帽子。

故答案为：4。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

【典例5】（2019秋•北京月考）从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？

【分析】把这组数据先划分成四组公差为4的等差数列，则差是4的数都在同一个数列之中，由此即可进行推理解答．

【解答】解：把1，2，3…1998，1999这1999个数分成四组公差是4的等差的数列，

1，5，9，13…1993，1997﹣﹣﹣﹣共500个数；

2，6，10，14…1994，1998﹣﹣﹣﹣共500个数；

3，7，11，15…1995，1999﹣﹣﹣﹣共500个数；

4，8，12，16…1992，1996﹣﹣﹣﹣共499个数；

我们发现：1．四行中每一行中任意相邻两数相差为4，不相邻两数相差不可能是4；

2．而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4，因为如果相差为4的话，两数将被归为一行，这显然与事实矛盾；

故我们用这样的方法来选符合规定的数：前三行每隔一个数选一个，每行最多可选250个数；第四行先选4，再隔一个数字选一个，可选出250个，最终得到250×4＝1000个数．

答：最多可以取1000个数，才能使其中每两个数的差不等于4．

【点评】本题难度较大，关键是掌握满足条件的数的特征，然后有的放矢的进行解答．注意不要漏解．

综合练习

一．选择题

1．（2020•固阳县）20本书放在6层的书架上，总有一层至少放（　　）本书.

A．3 B．4 C．5 D．2

【分析】把20本书放进6层的书架上，20÷6＝3（本）…2（本），即平均每层放3本后，还余2本，所以至少有一层至少要放：3+1＝4本；据此即可解答。

【解答】解：20÷6＝3（本）…2（本）

3+1＝4（本）

所以把20本书放进6层的书架上，总有一层至少要放4本。

故选：B。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

2．（2020•保定）李叔叔给正方体的六个面涂上不同的颜色，结果至少有两个面的颜色一致，颜料的颜色至少有（　　）种．

A．3 B．4 C．5

【分析】本题可以用抽屉原理的最不利原则；要使颜料的颜色种类最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分，即可解答．

【解答】解：根据分析可得，

6÷2＝3（种）

答：颜料的颜色至少有3种．

故选：A．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

3．（2019•衡阳模拟）从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出（　　）个苹果．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】有8个抽屉，把17个苹果看作17个元素，那么每个抽屉需要拿17÷8＝2（个）…1（个），所以每个抽屉需要拿2个，剩下的1个再不论怎么拿，总有一个抽屉里至少有：2+1＝3（个），所以，最多的抽屉有3个苹果，据此解答．

【解答】解：17÷8＝2（个）…1（个），

2+1＝3（个）

所以最多的抽屉里面有3个苹果．

答：拿出苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出3个苹果．

故选：C．

【点评】本题考查了抽屉原理即把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素．其中 k＝m÷n（当n能整除m时）或k＝m÷n+1 （当n不能整除m时）．

二．填空题

4．（2021•宁波模拟）用1～6六个数字任意写出一个真分数，已知参加写的人中总有4个人写出的真分数一样大．那么，至少有　34　人参加写．

【分析】用1～6中的数字写的真分数有5+4+3+2+1＝15个，其中，，．故值不相等的有15﹣4＝11个；因参写的人中总有4人写的真分数一样大，由抽屉原理知，至少有11×3+1＝34（人）参加．

【解答】解：11×3+1＝34（人）；

答：至少有34人参加写．

故答案为：34．

【点评】此题属于稍复杂的抽屉原理习题，做题时应结合题意，先分析出这几个数字组成的真分数共有几个；然后根据抽屉原理进行计算即可．

5．（2020春•灌阳县期末）希望小学共有368名学生，其中六年级有48名．希望小学至少有　2　名学生的生日是同一天，六年级中至少有　4　名学生是同一个月出生的．

【分析】（1）平年有365天，闰年有366天，即使是闰年，将366天当作抽屉，368÷366＝1（名）…2（名），即平均每天有一名学生过生日的话，还余2名学生，根据抽屉原理可知，至少有1+1＝2名学生的生日是同一天；

（2）一年有12个月，那么把这12个月看作12个抽屉，要求至少有多少名同学在同一个月过生日，可以考虑最差情况：48名尽量平均分配在12个抽屉中，利用抽屉原理即可解答。

【解答】解：（1）368÷366＝1（名）…2（名）

1+1＝2（名）

答：希望小学至少有2名学生的生日是同一天。

（2）建立抽屉：一年有12个月分别看作12个抽屉，

48÷12＝4（名）

答：六年级中至少有4名学生是同一个月出生的。

故答案为：2；4。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

6．（2020春•陕州区期末）一个盒子里放着3个红球、4个篮球、5个黄球（这些球除颜色不同外，其余完全相同，如果从盒子中摸出的球保证含有三种颜色，那么至少要摸出　10　个球．

【分析】从最极端情况考虑：假设把4个蓝球和5个黄球都摸出，这时只剩下3个红球，再摸一个球，一定是红球，就能确保含有三种颜色；由此解答即可。

【解答】解：4+5+1＝10（个）

答：至少要摸出10个球。

故答案为：10。

【点评】此题属于抽屉原理，应从最极端情况分析，进而得出结论。

7．（2020•长沙）奋发小学六（1）班有55个同学参加智力游戏，若任意分成四组，则必然有一组的女生多于2人，又知参与者中任何10人必有男生，则参与者中女生的人数是　9人　。

【分析】若任意分成四组，则必然有一组的女生多于2人，则说明女生至少是2×4+1＝9人，又因为参与者中任何10人必有男生，所以女生最多是9人，由此可以确定女生人数是9人，据此即可解答问题。

【解答】解：根据题干分析可得，若任意分成四组，则必然有一组的女生多于2人，则说明女生至少是2×4+1＝9人，

又因为参与者中任何10人必有男生，所以女生最多是9人，

答：参与者中女生人数是9人。

故答案为：9人。

【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用．

8．（2020•茶陵县）某小学六一班有50名学生，这个班至少有　5　名学生是在同一个月出生的；若转走2名学生，这时，班上至少有　4　名学生是在同一个月出生．

【分析】一年一共有12个月，将50个学生先尽量平均分到12个中，50÷12＝4……2，每个月4个人还多两人，所以至少有4+1＝5名学生在同一个月出生；转走2名，剩下50﹣2＝48（名），48÷12＝4，刚好每个月4个人，所以至少4名学生在同一个月出生。

【解答】解：50÷12＝4……2

4+1＝5

所以，至少有5名学生同一个月出生；

50﹣2＝48

48÷12＝4

所以，转走2名后，至少有4人在同一个月出生。

故答案为：5，4。

【点评】本题主要考查了抽屉原理，需要学生充分理解抽屉原理的计算方法。

9．（2020•平罗县）4支铅笔放入3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少要放　2　支铅笔.

【分析】把4支笔放进3个笔筒中，4÷3＝1（支）…1（支），即平均每个笔筒放1支，还余1支，根据抽屉原理可知，总有一个笔筒里至少放1+1＝2支。

【解答】解：4÷3＝1（支）…1（支）

1+1＝2（支）

答：总有一个笔筒里至少要放2支铅笔。

故答案为：2。

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。

10.（2020•南海区）育才小学六年级共有学生356人，至少有　30　名学生是同月出生的．

【分析】一年有12个月，把12个月看做12个抽屉，356人看做356个元素，根据抽屉原理可得：356÷12＝29（名）……8（名），29+1＝30（名），据此即可解答问题．

【解答】解：356÷12＝29（名）……8（名）

29+1＝30（名）

答：至少有30名学生是同月出生的．

【点评】据抽屉原理：把多于mn（m乘以n）个物体放入n个抽屉，则至少一个抽屉有m+1个物体．

11．（2020•交城县）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各9个放到一个袋子里，至少取　5　个球，才能保证取到两个颜色相同的球．

【分析】从最极端情况分析，假设前4个都摸出把红、黄、蓝、白各一个球，再摸1个只能是四种颜色中的一个，就能保证取到两个颜色相同的球，进而得出结论．

【解答】解：4+1＝5（个）

答：至少取5个球，才能保证取到两个颜色相同的球．

故答案为：5．

【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案．

12．（2020•安新县）一副扑克牌54张，至少要抽取　16　张，才能保证其中至少有两张牌点数相同．

【分析】建立抽屉：一副扑克牌有54张，大小鬼不相同，那么（54﹣2）÷4＝13，所以一共有13+2＝15个抽屉；分别是：1、2、3、…K、小鬼、大鬼，由此利用抽屉原理考虑最差情况，即可进行解答．

【解答】解：建立抽屉：54张牌，根据点数特点可以分别看作15个抽屉，

考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出15张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都会出现有两张牌在同一个抽屉，即两张牌点数相同，

15+1＝16（张）

答：至少抽取16张扑克牌，才能使其中至少有两张牌有相同的点数．

故答案为：16．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

13．（2020•济南）黄老师给家人买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个人的颜色一样，她家里至少有　4　人．

【分析】把颜色的种类看作“抽屉”，把家人的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出：家人的人数至少比颜色的种类多1时，才能至保证少有两个家人的颜色一样；据此解答即可．

【解答】解：3+1＝4（个）

答：她家里至少有4人．

故答案为：4．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

14．（2019•南开区）停车场上有40辆客车，最少的有26个座位，最多的有44个座位，那么在这些客车中至少有　3　辆客车的座位数是相同的．

【分析】最少的有26个座位，最多的有44个座位，座位数最多有44﹣26+1＝19种情况，把19种情况看作19个抽屉，把40辆看作40个元素，利用抽屉原理最差情况：要使客车相同的座位数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分，即可解答．

【解答】解：44﹣26+1＝19（个）

40÷19＝2（辆）…2（辆）

2+1＝3（辆）

答：在这些客车中至少有3辆客车的座位数是相同的．

故答案为：3．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

15．（2020•官渡区）9个同学分11颗糖，总有一个同学至少分得　2　颗糖．

【分析】把11颗糖分给9个同学，即将这9个同学当做9个抽屉，将这11颗糖放入这9个抽屉，由于11÷9＝1…2，根据抽屉原理可知，有一个同学至少能分得1+1＝2颗糖．

【解答】解：11÷9＝1（颗）…2（颗）

1+1＝2（颗）

答：总有一个同学至少分得2颗糖．

故答案为：2．

【点评】本题为基本的抽屉问题，计算方法为：至少数＝商+1．

16．（2020•巩义市）将同样大小的红球和黄球各5个放到一个袋子里，至少取出　6　个球，可以保证取到两个颜色不同的．

【分析】最差的情况是取出的5个都是相同颜色的球，再多取1个，就能保证取到两个颜色不同的球，即5+1＝6个．据此解答即可．

【解答】解：5+1＝6（个）

答：至少取出6个球，可以保证取到两个颜色不同的．

故答案为：6．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

17．（2020•兴县）一个不透明的盒子里装有大小相同的红色、黑色、白色玻璃球各2个，若要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少应取出　5　个；若要保证取出的玻璃球中至少有两个同色的球，至少应取出　4　个．

【分析】此题应从最极端的情况进行分析：

（1）假设前4次取出的是前两种颜色的玻璃球（把两种颜色的都取完），再取出一个，只能是第三种颜色中的一个；

（2）把三种颜色看作三个抽屉，保证取出的玻璃球中至少有两个是同色的，根据抽屉原理，应至少取出4个，据此即可解答问题．

【解答】解：（1）2×2+1＝5（个）

答：若要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少应取出 5个；

（2）3+1＝4（个）

答：若要保证取出的玻璃球中至少有两个同色的球，至少应取出 4个．

故答案为：5；4．

【点评】此题属于抽屉原理，解答此题的关键是从极端的情况进行分析，通过分析得出结论．

18．（2019•保定模拟）把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放到一个袋子里．要想摸出的球一定有2个同色，至少要摸出　4　个球．

【分析】考虑最差情况，每次摸到的球颜色都不一样，则需要摸出3个球，再摸出1个球，一定和另外3个球其中的一个颜色相同．所以至少需要摸3+1＝4（个）球，才能保证摸出的球一定有2个同色的．

【解答】解：3+1＝4（个）

答：要想摸出的球一定有2个同色，至少要摸出 4个球．

故答案为：4．

【点评】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况．

三．判断题

19．（2020•定州市）一个袋子中装有红、黄、白三种颜色的球各8个，至少要摸出8个球才能保证摸出的球中至少有4个球的颜色相同．　×　（判断对错）

【分析】由题意可知，盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，要保证至少有四个小球的颜色相同，最坏的情况是每种颜色各取出3个，即取出9个中，3个红色，3个黄色的，3个白球，此时只要再任取一个，即取出3×3+1＝10个就能保证至少有四个小球的颜色相同．

【解答】解：3×3+1

＝9+1

＝10（个）

级至少摸出10个才能保证有4个小球的颜色相同，所以原题说法错误．

故答案为：×．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

20．（2020•汉川市）要保证从一副完整的扑克牌（54张）中，抽到一张黑桃至少要抽取42张．　√　（判断对错）

【分析】一副扑克牌有54张，每种花色都有13张牌，把这四种花色看作四个抽屉，考虑最差情况：红桃、方块、梅花、大小王都全部抽出，则再任意抽出一张，必定是黑桃，据此即可解答问题．

【解答】解：根据题干分析可得：

13×3+2+1

＝39+3

＝42（张）

即：要抽出42张来，才能保证一定有一张黑桃；所以原题说法正确．

故答案为：√．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．

21．（2020秋•无棣县期中）任意13人中，至少有2人是在同一个月出生的．　√　．（判断对错）

【分析】一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把13个人看做13个元素，由此利用抽屉原理即可解答．

【解答】解：13÷12＝1…1，

1+1＝2（人），

答：至少有2人是同一个月出生的．

故答案为：√．

【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况