2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系 Word版含解析

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第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系
考点分析
考点一：直线和曲线联立
①正设：椭圆与直线相交于两点，设，
，
②反设：椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
考点二：根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，
由韦达定理写出，，（其中，，）
注意隐含条件．
题型目录
题型一：直线与椭圆位置关系
题型二：直线与双曲线位置关系
题型三：直线与抛物线位置关系
典型例题
题型一：直线与椭圆位置关系
【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论.
【详解】，在椭圆内，
恒过点，直线与椭圆相交.
故选：A.
【例2】（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（       ）
A．0或1 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断
【详解】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B

【例3】（2022全国·高二专题练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（　　）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
【答案】A
【分析】求得直线恒过点，由点在椭圆内部，则直线与椭圆相交．
【详解】由，则，
则直线，恒过定点，
由，则点，在椭圆1内部，
∴直线与椭圆相交．
故选：A
【例4】（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．
【答案】##
【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标．
【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，
设切线的方程为：，，由于过点可得：，①
联立直线与椭圆的方程，整理可得：，
则，可得②，
由①②可得：，，
所以切线方程为：；
可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得，
即切点，
所以直线的方程为：，切点的坐标．
故答案为：
【例5】（2021·云南省昆明市第十中学高二阶段练习（理））设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为_________________．
【答案】
【分析】根据题目要求，利用类比思想，观察原题中的字母变化，从而总结规律得出结论.
【详解】原题中要求利用类比得出结论，
注意观察在处的切线方程为，
可以看出圆的方程中一个换为，一个换为，即可得到切线方程，
所以方程中一个换为，一个换为，可以得到切线方程为：，
故答案为：.
【例6】（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______．
【答案】
【分析】求椭圆上平行于的直线方程，利用平行线的距离公式求椭圆上点到直线的最小值.
【详解】设与椭圆相切，且平行于的直线为，
联立椭圆整理可得：，则，
∴，又两平行线的距离，
∴到直线距离的最小值为.
故答案为：.
【例7】（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是否存在中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆使得它与直线只有一个公共点？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，且椭圆的方程为
【分析】（1）设点，利用两点间的距离公式结合已知条件化简可得点的轨迹方程；
（2）讨论当为圆与轴的交点以及轴时，可写出直线的方程，可得出椭圆的方程为，然后考虑当直线的斜率存在且不为零时，设点，写出直线的方程，将的方程与椭圆的方程联立，由可得出结论.
(1)解：设点，由已知可得，整理可得.
因此，点的轨迹方程为.
(2)解：假设满足条件的椭圆存在，设椭圆的标准方程为，
①若点为圆与轴的交点，则直线的方程为，则；
②若轴时，联立，可得，即点，
此时直线的方程为或，则.
所以，若椭圆存在，则椭圆的标准方程为.
③当直线的斜率存在且不为零时，设点，则，
，则直线的方程为，即，
联立可得，
所以，，
此时，直线与椭圆相切，合乎题意.
综上所述，存在椭圆，使得直线与椭圆相切.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的存在性，可先通过点的特殊位置求出椭圆的方程，然后考虑当点为一般点时，利用将直线方程与椭圆方程联立，结合判别式法加以判断即可.
【例8】（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据椭圆的几何性质可知：，，即可求解；
（2）联立切线方程与椭圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于，进而得点Q在圆上，又点Q在，联立即可求解.
(1)
设点，则，
当时，OP取得最小值为，                                                ．
，
则当时，FP取得最大值﹐
解得，则椭圆方程为．
(2)
设点当或时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，
故可设过点Q的椭圆的切线方程为，
联立方程组，消元可得
由可得，
又直线过点，则﹐于是
化简可得，
由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积                         
则，即点Q在圆上，                                           
由解得，故存在点满足题意，
【题型专练】
1．（2022全国·高二课时练习）直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__．
【答案】相离
【分析】将直线方程与椭圆方程联立，计算得到，即可由方程组解与交点个数的关系得出结论．
【详解】解：直线：，椭圆，联立可得，
，方程组无实数解，即直线与椭圆无交点，故直线和椭圆相离．
故答案为：相离
2.（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.
【答案】相交
【分析】确定直线所过定点坐标，由定点与椭圆的位置关系得直线与椭圆的位置关系，
【详解】由已知直线过定点，在椭圆内部（为椭圆的右焦点，椭圆中），所以直线与椭圆相交．
故答案为：相交．
3.（2022·江苏·高二）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（       ）
A．0 B．1
C．2 D．需根据a，b的取值来确定
【答案】C
【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系，得到，进而结合圆和椭圆的位置关系，即可求得答案.
【详解】因为直线和圆没有公共点，
所以原点到直线的距离，即，
所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部，
所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.
故选：C.
4.（2022辽宁·高二阶段练习）已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（       ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.
【详解】解：由直线l：，得直线l过定点，
因为，所以该点在曲线C：内部.
所以直线l与曲线C相交.
故选：C.
5．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆的蒙日圆的半径为（       ）
          
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．
【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆的两条切线、的交点在圆上，
所以蒙日圆的半径.
故选：C．
6．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（       ）
A．若与至少有一个公共点，则
B．若与有且仅有两个公共点，则
C．若，则上到的距离为5的点只有1个
D．若，则上到的距离为1的点只有3个
【答案】BCD
【分析】联立直线与椭圆方程，根据公共点个数判断的符号求m的范围，利用直线到椭圆切线的距离判断直线与椭圆的交点个数.
【详解】联立，消去得，则判别式，
A：令，则有，错误；
B：令，则有，正确；
C：令直线与椭圆相切，则，即，
直线与的距离，正确；
D：如图，直线分别与和的距离均为1，因此，上到的距离为1的点只有3个，正确.
故选：BCD

7．（2022辽宁·高二期中）在平面直角坐标系中，已知点和曲线，则对于直线下列说法正确的是（       ）
A．若，，，则直线与曲线没有交点
B．若，，，则直线与曲线有二个交点
C．若，，，则直线与曲线有一个交点
D．直线与曲线的位置关系和在哪里无关
【答案】ABC
【分析】通过、、的值，判断曲线与直线的位置关系，逐项检验，即可得到结果．
【详解】当，，时，曲线，则对于直线，圆的圆心 到直线的距离为，所以直线与曲线没有交点，故A正确；
当，，时，则曲线，直线，联立方程组，消去可得即，可知，所以直线与曲线有二个交点，故B正确；
当，，时，直线与曲线，联立方程组，消去可得：，解得，所以直线与曲线 有一个交点，所以C正确；
由B、C选项，可知直线与曲线的位置关系和在哪里有关，所以D不正确．
故选：ABC．
8．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
【答案】
【分析】设椭圆切线，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值.
【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.
故答案为：
9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上.点P为圆上任意一点，O为坐标原点.
(1)求椭圆C及圆M的标准方程；
(2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.
【答案】(1)椭圆C方程为，圆M方程为
(2)相切，证明见解析
【分析】(1) 由对称知：都在椭圆C上,再分在椭圆上和三点在椭圆上分别求解即可;
(2)由题意可得，分直线轴，当直线轴和直线与x轴既不平行也不垂直，设出直线方程，直线方程，联立方程可证明.
(1)
由对称知：都在椭圆C上，
若在椭圆上，则，显然方程组无解.
若三点在椭圆上，由在椭圆上则，
代入点得：，则
所以椭圆C方程为，则圆M方程为.
(2)
直线与椭圆C相切.证明如下：
由题意可得，点B在圆M上，且线段为圆M的直径，所以，
当直线轴时，此时直线过椭圆长轴的顶点，直线的方程为，
则直线的方程为，显然直线与椭圆C相切.
同理，当直线轴时，直线也与椭圆C相切.
当直线与x轴既不平行也不垂直时，
设点，直线的斜率为k，则，直线的斜率为，
所以直线方程为：，直线方程为：，
由，消去y得：.
因为直线与椭圆C相切，
所以，
即     ①.
同理，由直线与椭圆C的方程联立，
消去y得：
即     ②
因为点P为圆上任意一点，
所以，即     ③.
将③代入①式，得
将③代入②式，得
所以此时直线与椭圆C相切，
综上所述，直线与椭圆C相切.
10．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.
①求直线的方程（用，表示）；
②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值.
【答案】(1)；(2)；.
【分析】(1)根据椭圆离心率的概念和点在椭圆上列出关于a、b、c的方程组，结合解方程组即可；
(2)根据题意可得，设直线l方程，联立椭圆方程，利用根的判别式等于0得出关于k的一元二次方程，根据公式法解出k，代入直线l方程即可；求出点M、N的坐标，根据和基本不等式可得，结合三角形面积公式化简计算即可.
(1)由题意知，椭圆的离心率为，且过点，
则，解得，
所以椭圆的标准方程为；
(2)①因为是椭圆在第一象限的点，
所以，即()，
设直线l方程为，
则，消去y，
整理得，
则，
整理，得，
即，则，解得，
所以直线l方程为，即；
②令，得，令，得，
即，由()，
得，当且仅当即时等号成立，
所以，得，
所以，此时，
故当点P的坐标为，的面积最小，最小值为.
题型二：直线与双曲线的位置关系
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及根的分布得出关于k的不等式组，求解即可.
【详解】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，
所以，解得，所以实数k的取值范围为.
故选：D.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
【例3】（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））已知双曲线：及双曲线：，且的离心率为，若直线与双曲线，都无交点，则的值是（       ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】过原点的直线与双曲线无交点，则考虑此直线与双曲线渐近线的位置关系.
【详解】∵的离心率为，∴，
∴双曲线，的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，
而直线与双曲线，都无交点，则.
故选：B.
【例4】（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测多选题）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据双曲线的定义可得点在以，为焦点的双曲线的右支，求出其轨迹方程，则问题转化为直线与双曲线（右支）的交点情况；
【详解】解：因为，，，所以点在以，为焦点的双曲线的右支，
且，，即，，
所以，
所以其标准方程为：，双曲线的渐近线为．
对于A，即为双曲线的一条渐近线，故与双曲线没有交点，故不是“好直线”；
对于B，联立直线与双曲线得，
解得则，即，所以直线是“好直线”；
对于C：消去整理得，，但是，
故直线与双曲线的左支有两个交点，与右支没有交点，故不是“好直线”；
对于D，消去整理得，，且，
故直线与双曲线的右支有两个交点，故是“好直线”；
故选：BD．
【例5】（2022·全国·高二课时练习）直线与双曲线无交点，则该双曲线离心率的最大值为______．
【答案】
【分析】写出双曲线的渐近线，根据直线和双曲线交点情况对应的参数关系，求b的范围，进而确定双曲线离心率的范围.
【详解】由题设，双曲线的渐近线为且，
所以，对于直线，当时直线与双曲线有交点，当或时直线与双曲线无交点，
故要使直线与双曲线无交点，则，
而，故双曲线离心率的最大值为.
故答案为：
【例6】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．
【详解】若，，且，
则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，
∴，，∴双曲线方程为，
其渐近线方程为，
则曲线上存在点满足，
等价于与双曲线相交，∴．
故答案为：．
【题型专练】
1．（2022·全国·高三专题练习多选题）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点（5，0）作直线交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（       ）
A．或
B．该双曲线的离心率为
C．满足的直线有且仅有一条
D．若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，从而可判断A；求出双曲线方程，从而可得离心率，即可判断B；分当两点都在双曲线的右支上和再双曲线的左右两支上两种情况讨论，即可判断C；求出双曲线的渐近线方程，从而可判断D.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，解得，故A错误；
双曲线方程为，
故，
所以该双曲线的离心率，故B正确；
点（5，0）为双曲线的右焦点，
当时，，
当两点都在双曲线的右支上时，，
因为，所以这种情况的直线只有一条，且与轴垂直，
当再双曲线的左右两支上时，
可得，
而，可得这样的直线有两条，
综上所述，满足的直线有3条，故C错误；
双曲线的渐近线方程为，
要使A和B分别在双曲线左、右两支上，
则直线的斜率的取值范围是，故D正确.
故选：BD.

2．（2022·全国·高二专题练习）若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围
【详解】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，
设交点，
联立可得，
由题意可得
解得：，
故选：D．
3．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】联立直线与双曲线方程，消元，分和两种情况讨论，当时只需，解得即可；
【详解】解：联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为(       )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线渐近线的性质即可求解．
【详解】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
5．（2022·全国·高二单元测试）若直线l经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则l的斜率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案.
【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为，因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为，由
，消去得，，因为直线与该双曲线不相交，
所以方程没有实数根，所以即，
解得：或.所以直线l的斜率的取值范围是：.
故选：B.
6．（2022·全国·高二期中多选题）已知两点和，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足的点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．
【详解】解：根据题意，满足的点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支；
则其中焦点坐标为和，即，，
可得；
故双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为
直线与双曲线没有公共点，
直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点
而直线、与直线都与双曲线，有交点
因此，在与上存在点使，满足型直线的条件
只有AB正确
故选：AB．
7．（2022·全国·高三专题练习）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】确定双曲线的渐近线的斜率，由于过原点，要使得与双曲线没有交点，需满足k大于或等于的斜率，可得答案.
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为直线过原点且与双曲线没有交点，

故需满足，
故答案为：
8．（2022·四川·仁寿一中高二期中（理））若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.
【答案】
【分析】联立方程，根据方程根的个数即可求解.
【详解】由，消可得，当或，解得或，
故答案为：
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
【答案】
【分析】直线与双曲线有两个交点即联立方程后判别式要大于0，且直线不与渐近线平行.
【详解】联立消去y：，，
得到，又直线不与渐近线平行，
所以.
故答案为：.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与双曲线 无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．
【答案】
【分析】联立直线得，由无公共点得，进而得，即可求出离心率的取值范围.
【详解】联立直线与双曲线可得，整理得，显然，由方程无解可得，即，
则，，又离心率大于1，故离心率的取值范围是.
故答案为：.
题型三：直线与抛物线
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，代入抛物线方程，消去y并整理，得，根据直线与抛物线有公共点，分类讨论即可求解
【详解】由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入抛物线方程，消去并整理，得．
当时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为），显然满足题意；
当时，，
解得或．
综上，，
故选：A．
【例2】（2022·安徽·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点为抛物线上一动点，当取得最大值时，直线的倾斜角为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点，分析可得，当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切，设出直线的方程，将抛物线的方程，由可求得直线的斜率，即可求得直线的倾斜角.
【详解】抛物线的准线为，焦点为，易知点，

过点作，垂足点为，由抛物线的定义可得，
易知轴，则，所以，，
当取得最大值时，取最小值，此时最大，则直线与抛物线相切，
由图可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，则，解得，
因此，直线的倾斜角为或.
故选：D.
【例3】（2022·全国·高二单元测试多选题）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（       ）
A．点P的轨迹是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
【答案】BCD
【分析】根据题意可以判断点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，然后求出其方程判断AB，进而根据直线与曲线的位置关系判断CD.
【详解】由点P到点M的距离比到直线l的距离小1，可得点P到点M的距离等于到直线：的距离，故点P的轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误．由上述可知点P的轨迹与直线没有交点，即两者是没有交汇的轨迹，故B正确．易知“最远距离直线”与抛物线有交点，把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确．把代入抛物线方程，消去y并整理得．因为，方程有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
【例4】（2022·四川资阳·高二期末（文））过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为___________.
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出.
【详解】抛物线可写成：且
设，则两条切线的斜率分别为
两条切线的方程为：


又两条切线过点，所以


所以直线AB的方程为：
又，所以直线AB的方程为：.
故答案为：.
【题型专练】
1．（2022·陕西渭南·高一期末）已知抛物线与直线有且仅有一个交点，则（       ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【答案】C
【分析】联立得：，再分与讨论即可求解
【详解】联立得：，
当时，交点为，满足题意；
当时，由，解得，
综上可知： 或，
故选：C
2.（2022·四川自贡·高二期末（文））过点与抛物线只有一个公共点的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【分析】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.
【详解】由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，
，，解得，故直线方程.
所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.
故选：C.
3．（2022·云南·昆明一中高三开学考试多选题）已知抛物线上的动点到焦点的距离最小值是3，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于，则（       ）
A．抛物线的方程为
B．满足条件的直线有2条
C．焦点到直线的距离为2或或
D．
【答案】CD
【分析】由题设可得即可得抛物线方程，设过P的直线方程并联立抛物线得到一元二次方程，由求切线方程，结合点与抛物线位置判断交点只有一个的直线条数，再由点线距离公式求到直线的距离，写出的方程弦长公式求.
【详解】由题设知：，则，故且，A错误；
因为在外，令过P的直线与相切，
所以，若，可得或，
故、与相切，又与只有一个交点，
所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，B错误；
对于，到直线的距离；
对于，到直线的距离；
对于，到直线的距离，C正确；
由题设，为，联立，可得，
则，故，D正确.
故选：CD
4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点，且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】满足条件的直线可能为抛物线的过点的切线或过点的平行与抛物线的对称轴的直线.
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，
当时，，易知直线过点，且与抛物线只有一个公共点，符合题意．
当时，联立，可得，．当时，，解得或，此时直线l的方程为或，即或，
易知直线和直线都过点，且与抛物线都只有一个公共点，符合题意．
故直线l的方程可以是或或．
故答案为：（答案不唯一）
5．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴的交点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线有且只有一个公共点，则______．
【答案】6
【分析】由题意可写出，即可写出直线，联立直线与抛物线即可解出，代入直线可求出的值，即可求出的值.
【详解】由题意，得，因为过点的直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，
由，得，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：6.