2022-2023学年高二数学 人教A版2019选择性必修第一册 同步讲义 第25讲 圆锥曲线直线圆过定点问题 Word版含解析

第25讲  圆锥曲线直线圆过定点问题

【题型目录】

题型一：直线过定点问题（设直线为）

题型二：直线过定点问题（利用坐标写出直线方程）

题型三：圆过定点问题

【典型例题】

题型一：直线过定点问题（设直线为）

此类问题，我们一般设直线为，根据题目给出的条件，转化为坐标之间的关系，利用韦达定理找出与之间的关系，即可求出定点。

【例1】（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

【例2】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆经过点，且离心率.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.

【例3】（2022·全国·高二单元测试）已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.

（i）证明：；

（ii）证明：直线AB过定点.

【例4】（2022·河南安阳·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．

(1)求的方程；

(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．

【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．

【题型专练】

1．（2022·河北保定·高一阶段练习）椭圆C：的离心率为，其左，右焦点分别为，，上顶点为B，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点作关于x轴对称的两条不同的直线和，交椭圆于点，交椭圆于点，且，证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

2．（2022·广西梧州·高二期末（理））已知椭圆C：（）的短轴长为2，，分别为椭圆C的左、右焦点，B为椭圆的上顶点，.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点（M，N两点异于P点），且，证明：直线l恒过定点.

3．（2022福建·南靖县第一中学高二期中）已知椭圆的短轴长为，左顶点A到右焦点的距离为．

(1)求椭圆的方程

(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：经过定点．

4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）已知椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A､B，

(1)求b的值；

(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；

(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若.证明：直线l过定点，并求出定点的坐标.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.

6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，且过点.

(1)求的方程；

(2)已知点，直线与交于、两点，若的平分线垂直于轴，证明：过定点.

7．（2022·江西省铜鼓中学高二期末（文））已知椭圆的焦点为，且过点．

(1)求的方程；

(2)设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

题型二：直线过定点问题（利用坐标写出直线方程）

此类问题，我们可以求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为的形式，即可求出定点。

【例1】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．

【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知点是椭圆C：（）的左焦点，且椭圆C经过点．过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为E．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线过定点，并求定点的坐标．

【题型专练】

1．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.

(1)求E的方程；

(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知是圆上的动点，是线段上一点，，且

(1)求点的轨迹的方程

(2)过的直线分别与轨迹交于点和点，且，若分别为的中点，求证：直线NH过定点

题型三：圆过定点问题

【例1】（2022·云南普洱·高二期末）已知椭圆：（）的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.

【例2】（2022·湖南·雅礼中学二模）如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【例3】（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两点．

(1)当直线垂直于轴时，求弦长；

(2)当时，求直线的方程；

(3)记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．

【例4】（2022天津市红桥区教师发展中心高三期末（文））设椭圆的离心率为，点为椭圆上一点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【题型专练】

1.（2022·全国·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，①已知点，G是圆E：上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于点P；②点S，T分别在x轴、y轴上运动，且，动点P满足．

(1)在①，②这两个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(2)设圆O：上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点．若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2.（2022·全国·模拟预测）已知椭圆过点，，分别为椭圆的左、右焦点，且______．

①两焦点与短轴一个端点的连线构成等腰直角三角形；②离心率；③的周长为．从上述三个条件中选择一个作为条件，将题目补充完整，并回答以下两个问题．（注：若选择多个条件作答，仅按第一种选择给分）

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，试问：是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆过定点Q？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2022江苏省滨海中学高二期末）焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．

(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；

(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．

4．（2022·福建莆田·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

5．（2022·上海·格致中学高二期中）焦距为的椭圆（）满足､､成等差数列，称为“等差椭圆”.

(1)求的离心率；

(2)过作直线与有且只有一个公共点，求此直线的斜率的值；

(3)设点为椭圆的右顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线､分别与轴交于､两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由.

6．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知椭圆的焦距为2离心率.

(1)求椭圆的方程.

(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.试探究：在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.