初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.2 勾股定理的逆定理当堂达标检测题

17.2　勾股定理的逆定理

知能演练提升

一、能力提升

1.一个三角形的两边长分别为4和5,要使该三角形为直角三角形,则第三边长为(　　)

A.3 B.

C.或3 D.不确定

2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是 (　　)

A.三内角之比为1∶2∶3

B.三边长的平方之比为9∶25∶16

C.三边长之比为3∶4∶5

D.三内角之比为3∶4∶5

3.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为(　　)

A.90° B.60°

C.45° D.30°

4.下列说法错误的是(　　)

A.任何命题都有逆命题

B.任何定理都有逆定理

C.真命题的逆命题不一定是真命题

D.定理的逆定理一定是真命题

5.若三角形的三边长分别等于,2,则此三角形的面积为(　　)

A. B.

C. D.

6.已知a,b,c是△ABC的三边,且满足|a-3|++(c-5)2=0,则三角形是　　　　三角形.(填“直角”“钝角”或“锐角”) 

★7.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个6×6的方格纸中,找出格点C,使△ABC是面积为1的直角三角形,点C的个数是　　　　　. 

8.如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,△ABC是等腰三角形吗?为什么?

9.如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100 m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.

二、创新应用

★10.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.

(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能(用勾)表示7,24,25的股和弦的算式;

(2)根据(1)的规律,用含n(n为奇数,且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明;

(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为偶数,且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦.

知能演练·提升

一、能力提升

1.C　若5为最长边,则第三边长为=3;若4和5都为直角边,则第三边长为,故选C.

2.D

3.C　连接AC(图略).因为每个小正方形的边长都为1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABC=45°.

4.B

5.B　由三边长可确定这是直角三角形,两直角边分别为,2,所以三角形面积为×2×.

6.直角　∵|a-3|++(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,∴△ABC是直角三角形.

7.6　如图,当∠A为直角时,满足面积为1的点是C1,C2;当∠B为直角时,满足面积为1的点是C3,C4;当∠C为直角时,满足面积为1的点是C5,C6,所以满足条件的点共有6个.

8.解 △ABC是等腰三角形.

理由:在△ABD中,∵AB2=172=289,AD2=152=225,BD2==64,∴AB2=AD2+BD2.

∴△ABD是直角三角形.

∴AD⊥BC.

∴△ADC为直角三角形.

∴AC2=AD2+DC2=152+=289.

∴AB=AC.故△ABC是等腰三角形.

9.解 沿南偏东60°方向行走的.理由如下:

∵AB=60 m,BC=80 m,AC=100 m,

∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°.

∵AD∥NM,∴∠NBA=∠BAD=30°.

∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.

∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.

二、创新应用

10.解 (1)∵(9-1)=(32-1)=4,(9+1)=(32+1)=5,(25-1)=(52-1)=12,(25+1)=(52+1)=13,∴7,24,25的股24的算式为(49-1)=(72-1),弦25的算式为(49+1)=(72+1).

(2)当n为奇数且n≥3时,勾、股、弦的代数式分别为n,(n2-1),(n2+1).

例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股2=弦2.

证明关系式①:弦-股=(n2+1)-(n2-1)

=[(n2+1)-(n2-1)]=1.

证明关系式②:勾2+股2=n2+

=n2+n4-n2+

=n4+n2+(n2+1)2.

∴猜想得证.

(3)探索得:当m为偶数且m≥4时,股、弦的代数式分别为-1,+1.