人教版初中数学八年级下册第17章勾股定理测评含答案

第十七章测评

(时间:45分钟,满分:100分)

一、选择题(每小题3分,共24分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题意)

1.如图,带阴影的长方形的面积是(　　)

A.9 cm2

B.24 cm2

C.45 cm2

D.51 cm2

2.下列命题是真命题的是(　　)

A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0

B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1

C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0

D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是0

3.如图所示,在长方形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C,则长方形纸片的一边AB的长度为(　　)

A.1 B.

C. D.2

4.如图,在Rt△ABC中,AC=8 cm,BC=6 cm,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为(　　)

A.14 cm2 B.18 cm2

C.24 cm2 D.48 cm2

5.已知在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论错误的是(　　)

A.△ABC是直角三角形,且∠B=90°

B.△ABC是直角三角形,且∠A=60°

C.△ABC是直角三角形,且AC是它的斜边

D.△ABC的面积为60

6.下列命题的逆命题是真命题的是(　　)

A.若a=b,则|a|=|b|

B.全等三角形的周长相等

C.若a=0,则ab=0

D.有两边相等的三角形是等腰三角形

7.三角形的三边a,b,c满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

8.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为(　　)

A.(-1,0)

B.(-2,0)

C.(-+4,0)

D.(-1.5,0)

二、填空题(每小题5分,共20分)

9.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为　　　　　　　. 

10.命题“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是  　　　 　　　　,它是　　　　　命题. 

11.如图,Rt△ABC的两直角边分别为1,2,以Rt△ABC的斜边为一直角边,另一直角边为1画第2个△ACD;再以△ACD的斜边AD为一直角边,另一直角边为1画第3个△ADE;……依次类推,第n个直角三角形的斜边长是　　　　　. 

12.如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要　　　　　 cm. 

三、解答题(共56分)

13.(本小题满分10分)若a,b,c为△ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.

(1)求出a,b,c的值;

(2)△ABC是直角三角形吗?请说明理由.

14.(本小题满分10分)为了减少交通事故的发生,某条例规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速监测仪的距离为50 m,问这辆小汽车超速了吗?

15.(本小题满分10分)如图,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=AD,试猜想△CMN是什么三角形,请证明你的结论.

16.(本小题满分12分)[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.

[定理表述]

请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).

图①

图②

[尝试证明]

以图①中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图②),请你利用图2,验证勾股定理.

 [知识拓展]

利用图②中的直角梯形,我们可以证明.其证明步骤如下:

因为BC=a+b,AD=　　　　　, 

又因为在直角梯形ABCD中有BC　　　　AD(填大小关系),即　　　　　　　　, 

所以.

17.(本小题满分14分)阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为其中m>n>0,m,n是互质的奇数.

应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.

第十七章测评

一、选择题

1.C　2.A

3.C　连接CE(图略),则CE=BC=2,AE=1,由勾股定理,得CD=.

4.C　由勾股定理可证,分别以直角边AC,BC为直径的两半圆的面积和等于以斜边AB为直径的半圆的面积,故阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积.

5.B　因为AB2+BC2=82+152=172=AC2,所以△ABC是直角三角形,且AC为斜边,AC所对的角∠B=90°,△ABC的面积=AB·BC=60,无法推出∠A=60°.

6.D　A的逆命题是若|a|=|b|,则a=b,假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形,假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0,假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等,真命题.

7.B　若(a+b)2-c2=2ab,则a2+b2+2ab-c2=2ab,

即a2+b2=c2,此三角形是直角三角形.

8.A

二、填空题

9.x2+32=(10-x)2

10.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°　真　把题中的结论作为条件,把条件作为结论,可知此命题为真命题.

11.

12.10　把该长方体的四个侧面展开(图略),连接AB,即为所用最短细线.由勾股定理,得AB==10(cm).

三、解答题

13.解 (1)由题意得a-5=0,b-12=0,c-13=0,

∴a=5,b=12,c=13.

(2)△ABC是直角三角形.理由如下:

∵a2+b2=52+122=25+144=169,c2=132=169,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.

14.解 这辆小汽车超速了.理由:

由勾股定理,得BC==40(m),所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s).

因为20 m/s=72 km/h>70 km/h,

所以这辆小汽车超速了.

15.解 猜想△CMN是直角三角形.证明如下:

设正方形ABCD的边长为4a,

则AM=2a,AN=a,DN=3a.

在Rt△AMN中,由勾股定理,得MN2=5a2.

同理可得CN2=25a2,CM2=20a2.

所以MN2+CM2=CN2.

所以△CMN是直角三角形.

16.解 [定理表述]

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

[尝试证明]

∵Rt△ABE≌Rt△ECD,∴∠AEB=∠EDC.

又∠EDC+∠DEC=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.

∴∠AED=90°.

∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED,

∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2.

整理,得a2+b2=c2.

[知识拓展]

c　<　a+b<c

17.解 当n=1时,a=(m2-1), ①

b=m, ②

c=(m2+1). ③

因为直角三角形有一边长为5,分情况如下:

当a=5时,即(m2-1)=5,解得m=±(舍去);

当b=5时,即m=5,再将它分别代入①③,得a=×(52-1)=12,c=×(52+1)=13;

当c=5时,即(m2+1)=5,m=±3.

因为m>0,所以m=3.

把m=3分别代入①②,得a=×(32-1)=4,b=3.

综上所述,直角三角形的另两边长为12,13或3,4.