初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第2课时课时作业

第2课时　锐角的余弦和正切

知能演练提升

能力提升

1.如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,在下列结论中:①sin α=;②cos α=;③tan α=;④cos α=,其中正确的个数是(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

2.如图,CD是一个平面镜,光线从点A射出经CD上的点E反射后照射到点B,设入射角为α(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C,D.若AC=3,BD=6,CD=12,则tan α的值为(　　)

A. B. 

C. D.

3.如图,某游乐场一滑梯的高为h,滑梯面与铅垂面的夹角为α,则滑梯长l为(　　)

A. B.

C. D.h·sin α

4.如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tan B=,则tan∠CAD的值为(　　)

A. B.

C. D.

5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=　　　　　. 

6.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,若AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是　　　　　. 

7.如图,矩形ABCD的周长为30 cm,两条邻边AB与BC的比为2∶3.求:

(1)AC的长;

(2)锐角α的三个三角函数值.

8.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的☉O经过点D,E是☉O上一点,且∠AED=45°.

(1)试判断CD与☉O的位置关系,并说明理由;

(2)若☉O的半径为3 cm,AE=5 cm,求∠ADE的正弦值.

9.如图,在平面直角坐标系xOy中,射线OM为第一象限中的一条射线,点A的坐标为(1,0),以原点O为圆心,OA长为半径画弧,交y轴于点B,交OM于点P,作CA⊥x轴交OM于点C.设∠AOM=α,求点P和点C的坐标.(用α的三角函数表示)

创新应用

★10.通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sad A,这时sad A=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解决下列问题:

(1)sad 60°=　　　　　; 

(2)对于0°<∠A<180°,∠A的正对值sad A的取值范围是　　　　　; 

(3)如图②,已知sin A=,其中∠A为锐角,试求sad A的值.

能力提升

1.B

2.A　∵∠AEC=∠BED,∠C=∠D,

∴△AEC∽△BED.

∴,即,解得CE=4.

∴tan α=tan A=.

3.C

4.D　(方法一)由tan B=,设AD=5k,AB=3k,如图,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠ADE=90°,.∵DC=BD,∴,∴DE=AB,

∴tan∠CAD=.

(方法二)如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E.∵tan B=,即,∴设AD=5x,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD,∴△CDE∽△BDA,∴,∴CE=x,DE=x,∴AE=x,∴tan∠CAD=.

5.　如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,

则AD平分∠BAC,且D为BC的中点,

所以BD=4,根据勾股定理可求出AD=3.

因为∠BPC=∠BAC,

所以∠BPC=∠BAD,

所以tan∠BPC=tan∠BAD=.

6.2　(方法一)如图,连接BE.∵四边形BCED是正方形,

∴DF=CF=CD,BF=BE,CD=BE,BE⊥CD,∴BF=CF.根据题意得AC∥BD,∴△ACP∽△BDP,∴DP∶CP=BD∶AC=1∶3.∴DP=PF=CF=BF.在Rt△PBF中,tan∠BPF==2.

∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2.

(方法二)如图,连接AH,BH,易知AH⊥BH,且CD∥BH,于是tan∠APD=tan∠ABH==2.

7.解 (1)∵AB+BC=15 cm,AB∶BC=2∶3,

∴AB=6 cm,BC=9 cm,

∴AC==3 cm.

(2)在Rt△ABC中,sin α=,cos α=,tan α=.

8.解 (1)CD与☉O相切.理由是:连接OD,则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CDO=∠AOD=90°,

∴OD⊥CD,∴CD与☉O相切.

(2)连接BE,

则∠ADE=∠ABE.

∵AB是☉O的直径,

∴∠AEB=90°,AB=2×3=6(cm).

在Rt△ABE中,sin∠ABE=.

∴sin∠ADE=sin∠ABE=.

9.解 过点P作PD⊥x轴于点D.在Rt△OAC中,tan α=,所以AC=tan α.

所以点C的坐标为(1,tan α).

在Rt△ODP中,sin α=,

所以PD=sin α,cos α=,所以OD=cos α,

所以点P的坐标为(cos α,sin α).

创新应用

10.解 (1)1;(2)0<sad A<2;

(3)延长AC至点D,使AD=AB.由sin A=,可设BC=3a,AB=5a,则AC=4a,AD=5a,CD=a.

所以BD=a.

于是sad A=.