人教版九年级下册28.1 锐角三角函数第3课时精练

第3课时　特殊角的三角函数值

知能演练提升

能力提升

1.若AD为△ABC的高,AD=1,BD=1,DC=,则∠BAC等于(　　)

A.105°或15° B.15°

C.75° D.105°

2.如图,AB是☉O的直径,弦AC,BD相交于点E,若∠AED=60°,则等于(　　)

A. B.

C. D.

3.已知∠A是△ABC的内角,且sin,则tan A=.

4.已知∠B是Rt△ABC的一个内角,且tan B=,则cos=　　　　　. 

5.若sin(x+10°)-1=0,则锐角x=　　　　　. 

6.因为cos 30°=,cos 210°=-,所以cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-;因为cos 45°=,cos 225°=-,所以cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-.猜想:一般地,当α为锐角时,有cos(180°+α)=-cos α,由此可知cos 240°的值等于　　　. 

7.小颖将手中的一副三角尺按如图所示方式摆放在一起,连接AD后,你能帮她求出∠ADB的正切值吗?

★8.由于水资源缺乏,B,C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水,这就需要在A,B,C之间铺设地下输水管道.有人设计了三种铺设方案,分别如图①,②,③.图中实线表示管道铺设线路,在图②中,AD⊥BC于D;在图③中,OA=OB=OC.为减少渗漏,节约水资源,并降低工程造价,铺设线路应尽量缩短.已知△ABC恰好是一个边长为a m的等边三角形,请你通过计算,判断哪个铺设方案最好.

创新应用

★9.如图,要求tan 30°的值,可构造直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,则BC=,∠ABC=30°,tan 30°=.在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出tan 15°的值.请你写出添加辅助线的方法,并求出tan 15°的值.

能力提升

1.A

2.D　因为∠C=∠B,∠DEC=∠AEB,

所以△DEC∽△AEB.所以.连接AD,

因为AB是☉O的直径,所以∠ADE=90°,

所以cos∠AED=.故.

3.　∵sin ,∴=60°,

∴∠B+∠C=120°.

∴∠A=180°-(∠B+∠C)=60°,∴tan A=.

4.　∵tan B=,∴∠B=60°,

∴=30°,∴cos.

5.35°　由题意,得sin(x+10°)=,

所以x+10°=45°,即x=35°.

6.-　由示例及猜想可知,若一个大于平角的角可以将其表示成一个平角与一个锐角的和,则该大于平角的角的余弦值等于这个锐角的余弦值的相反数,所以cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.

7.解 如图,过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E,则∠ABE=45°.设BE=AE=x,则在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=x.在Rt△ABC中,BC=x.在Rt△BDC中,BD=BCsin 45°=x.

∴DE=(1+)x.

∴tan∠ADB=.

8.解 题图①所示方案的线路总长为AB+AC=2a m.

如题图②,在Rt△ABD中,AD=ABsin 60°=a(m),

所以题图②所示方案的线路总长为AD+BC=a m.

如图,延长AO交BC于点E,

因为AB=AC,OB=OC,

所以OE⊥BC,BE=EC= m.

在Rt△OBE中,∠OBE=30°,OB=a(m).

所以题图③所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=a m.比较可知,a<a<2a,

所以题图③所示铺设方案最好.

创新应用

9.解 此处只给出两种方法(还有其他方法).

(1)如图,

延长CB到点D,使BD=AB,连接AD.

则∠D=15°,tan 15°==2-.

(2)如图,

延长CA到点E,使CE=CB,连接BE.过点A作AG⊥BE,垂足为G.

则△AEG为等腰直角三角形,且AE=-1,BE=,AG=,∠ABE=15°.

故tan 15°==2-.