初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后复习题

28.2　解直角三角形及其应用

28.2.1　解直角三角形

知能演练提升

能力提升

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点,且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于F,连接FB,则tan∠CFB的值等于(　　)

A. B. C. D.5

2.已知Rt△ABC的两条直角边长分别为6,8,现将△ABC如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是(　　)

A. B. 

C. D.

3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5 cm,∠BAC的平分线交BC于点D,AD= cm,则BC=　　　　cm. 

4.小敏想知道校园内一棵大树的高度,如图,她测得CB=10 m,∠C=50°,请你帮她算出树高AB约为　　　 m. 

(注:①树垂直于地面;②供选用数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)

5.如图,某建筑物BC垂直于水平地面,AC为9 m,要建造阶梯AB,使每阶高不超过20 cm,则此阶梯最少要建　　　　　阶.(最后一阶的高度不足20 cm时,按一阶算,取1.732) 

(第3题图)

(第4题图)

(第5题图)

6.如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为　　　　　. 

7.如图,在两面墙之间有一个底端在点A的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在点B;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在点D.已知∠BAC=65°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE为3 m,求点B到地面的垂直距离BC.(精确到0.1 m)

8.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,tan∠ABD=cos∠DAC.

 (1)求证:AC=BD;

(2)若sin C=,BC=12,求AD的长.

创新应用

★9.如图,已知☉O的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).求:

(1)∠BAC的度数;

(2)△ABC面积的最大值.

能力提升

1.C　设EB=1,则AE=4,BC=,AC=.

∴CF=.∴tan∠CFB=.

2.C　由题意知DE是AB的垂直平分线,

故设BE=AE=x,则CE=8-x.

在Rt△BCE中,BE2=BC2+CE2,

即x2=62+(8-x)2,

解得x=,则CE=.

因此tan∠CBE=.

3.5　由题意,得cos∠CAD=,

∴∠CAD=30°.

∴∠BAC=60°.

∴tan∠BAC==tan 60°=,

∴BC=5 cm.

4.12　AB=BC·tan C=10×tan 50°≈12(m).

5.26

6.3+　如图,过点C作CD⊥AB于点D,

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,

∴CD=BD.∵∠A=30°,AC=2,

∴CD=,

∴BD=CD=.

由勾股定理得AD==3,

∴AB=AD+BD=3+.

7.解 在Rt△ADE中,DE=3 m,∠DAE=45°,

∴sin∠DAE=,

∴AD=6 m.

又AD=AB,

在Rt△ABC中,sin∠BAC=,

∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin 65°≈5.4(m).

∴点B到地面的垂直距离BC约为5.4 m.

8.(1)证明 ∵tan∠ABD=,cos∠DAC=,且tan∠ABD=cos∠DAC,

∴,∴AC=BD.

(2)解 由sin C=,可设AD=12k,AC=13k,k>0,∴DC==5k.

由(1)知BD=AC=13k,

∴BC=13k+5k=18k.

∵BC=12,∴k=,∴AD=12×=8.

创新应用

9.解 (1)(方法一)连接OB,OC,过点O作OE⊥BC于点E.

∵OE⊥BC,BC=2,

∴BE=EC=.

在Rt△OBE中,OB=2,

∴sin∠BOE=,

∴∠BOE=60°,∠BOC=120°.

∴∠BAC=∠BOC=60°.

(方法二)连接BO并延长,交☉O于点D,连接CD.

∵BD是直径,

∴BD=4,∠DCB=90°.

在Rt△DBC中,sin∠BDC=,

∴∠BDC=60°,

∴∠BAC=∠BDC=60°.

(2)∵△ABC的边BC的长不变,

∴当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A应落在优弧BC的中点处.

过点O作OE⊥BC于E,延长EO交☉O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,∠BAE=∠BAC=30°.

在Rt△ABE中,

∵BE=,∠BAE=30°,

∴AE==3.

∴S△ABC=×2×3=3,

即△ABC面积的最大值是3.