人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系

知能演练提升

一、能力提升

1.若关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为(　　)

A.-8 B.8 C.16 D.-16

2.若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为(　　)

A.-1或2 B.1或-2

C.-2 D.1

3.若α,β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根,则2α2+3αβ+5β的值为(　　)

A.-13 B.12 C.14 D.15

4.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③<a2+b2.则正确结论的序号是　　　　. 

5.(2020·青海中考)在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=4.请你写出正确的一元二次方程　　　　　　　　. 

6.已知x1,x2为方程x2+3x+1=0的两个实数根,则+8x2+20=　　　　　. 

7.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.

(1)求实数k的取值范围;

(2)若x1,x2满足=16+x1x2,求实数k的值.

★8.若实数x1,x2满足-3x1+1=0,-3x2+1=0,求的值.

二、创新应用

★9.如图,菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于点O,且OA,OB的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,求m的值.

知能演练·提升

一、能力提升

1.C　∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,

∴-=-1,=-2,

∴m=2,n=-4,

∴nm=(-4)2=16.故选C.

2.D　x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1.

∵x1+x2=1-x1x2,

∴2m=1-(m2-m-1),即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0,解得m1=-2,m2=1.由方程x2-2mx+m2-m-1=0有实数根,

得Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,解得m≥-1.

故m=1.故选D.

3.B　∵α为2x2-5x-1=0的实数根,∴2α2-5α-1=0,即2α2=5α+1,∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1.

∵α,β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根,

∴α+β=,αβ=-,

∴2α2+3αβ+5β=5×+3×+1=12.故选B.

4.①②　Δ=(a+b)2-4(ab-1)=a2+b2-2ab+4=(a-b)2+4>0,则①成立;

∵x1x2=ab-1,x1+x2=a+b,

∴x1x2=ab-1<ab,②成立;

=(x1+x2)2-2x1x2=(a+b)2-2(ab-1)=a2+b2+2>a2+b2,故③不成立.

5.x2-5x+6=0

6.-1　由x1,x2是方程x2+3x+1=0的两实数根,

可知x1+x2=-3,+3x1+1=0,即=-3x1-1.

因此+8x2+20

=·x1+8x2+20

=(-3x1-1)x1+8x2+20

=-3-x1+8x2+20

=9x1+3-x1+8x2+20

=8x1+8x2+23

=-24+23=-1.

7.解 (1)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤,实数k的取值范围为k≤.

(2)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.

∵=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).故实数k的值为-2.

8.解 当x1≠x2时,x1,x2是方程x2-3x+1=0的两根,有x1+x2=3,x1x2=1.

故=7.

当x1=x2时,原式=1+1=2.

综上,原式的值是7或2.

二、创新应用

9.分析 将直角三角形中的勾股定理、完全平方式的基本变形以及一元二次方程根与系数的关系结合起来求解.

解 因为OA,OB的长是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个实数根,所以OA+OB=1-2m, OA·OB=m2+3.

在菱形ABCD中,

OA2+OB2=AB2,

(OA+OB)2-2OA·OB=AB2,

即(1-2m)2-2(m2+3)=25,

化简得m2-2m-15=0.

解得m1=5,m2=-3.

而方程有两实数根,

则b2-4ac=(2m-1)2-4(m2+3)≥0.

从而可知m≤-.

因此m=5不合题意,舍去.

故m=-3.