数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数第2课时巩固练习

第2课时　实际问题与二次函数(2)

知能演练提升

一、能力提升

1.(2020·山西中考)竖直上抛物体离地面的高度h(单位:m)与运动时间t(单位:s)之间的关系可以近似地用解析式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(单位:m)是物体抛出时离地面的高度,v0(单位:m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为(　　)

A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m

2.(2020·湖南长沙中考)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸的时间t(单位:分钟)近似满足函数解析式p=at2+bt+c(a≠0,a,b,c为常数),如图记录了三次试验数据,根据上述函数关系和试验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(　　)

A.3.50分钟 B.4.05分钟

C.3.75分钟 D.4.25分钟

3.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①),拱高为6 m,跨度为20 m,相邻两支柱间的距离均为5 m.

(1)将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图②),求抛物线的解析式.

(2)求支柱EF的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽为2 m、高为3 m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.

4.如图,某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分,抛物线的顶点O落在水平面上,对称轴是水平线OC.点A,B在抛物线上,且点A到水平面的距离AC=4 m,点B到水平面的距离为2 m,OC=8 m.

(1)请建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式;

(2)为了安全美观,现需在水平线OC上找一点P,如果用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA,PB对抛物线造型进行支撑加固,那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无须证明)

(3)为了施工方便,如果现需计算出点O,P之间的距离,那么两根支柱用料最省时点O,P之间的距离是多少?(请写出求解过程)

二、创新应用

★5.某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(单位:km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.

(1)用含x和n的式子表示Q.

(2)当x=70,Q=450时,求n的值.

(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值.

(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.

参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是.

★6.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x(单位:min)变化的函数图象如图(y越大表示注意力越集中).当0≤x≤10时,图象是抛物线的一部分,当10≤x≤20和20≤x≤40时,图象是线段.

(1)当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x的函数解析式.

(2)一道数学综合题需要讲解24 min.问老师能否经过适当安排,使学生听这道题时,注意力的指标数都不低于36?

知能演练·提升

一、能力提升

1.C　2.C

3.解 (1)根据题目条件,A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6).设抛物线的解析式为y=ax2+c,

将B,C的坐标代入y=ax2+c,

得

解得

所以抛物线的解析式是y=-x2+6.

(2)可设F(5,yF),

于是yF=-×52+6=4.5.

从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5(m).

(3)如图,设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度和,则点G坐标是(7,0).过点G作GH⊥AB交抛物线于点H,则yH=-×72+6≈3.06>3.

根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

4.分析 此题考查了二次函数的实际应用问题.解此题的关键是根据题意构建二次函数模型,根据二次函数解题.

(1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系,可设抛物线的函数解析式为y=ax2,又由点A在抛物线上,即可求得此抛物线的函数解析式;

(2)延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,连接BD交OC于点P,则点P即为所求;

(3)首先根据题意求得点B与点D的坐标,设直线BD的函数解析式为y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线BD的函数解析式,把x=0代入求出的解析式,即可求得点P的坐标.

解 (1)以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立平面直角坐标系,如图,设抛物线的函数解析式为y=ax2,由题意知点A的坐标为(4,8).

因为点A在抛物线上,所以8=42a,解得a=.所以所求抛物线的函数解析式为y=x2.

(2)找法:

延长AC,交抛物线于点D,则点A,D关于OC对称.连接BD交OC于点P,则点P即为所求.

(3)由题意知,点B的横坐标为2,因为点B在抛物线上,

所以点B的坐标为(2,2).

又点A的坐标为(4,8),

所以点D的坐标为(-4,8).

设直线BD的函数解析式为y=kx+b,则

解得k=-1,b=4.

所以直线BD的函数解析式为y=-x+4,把x=0代入y=-x+4,得点P的坐标为(0,4),因此两根支柱用料最省时,点O,P之间的距离是4 m.

二、创新应用

5.解 (1)设W=k1x2+k2nx,则Q=k1x2+k2nx+100.由表中数据,得

解得

因此Q=-x2+6nx+100.

(2)由题意,得450=-×702+6×70n+100,解得n=2.

(3)当n=3时,

Q=-x2+18x+100.

由a=-<0可知,要使Q最大,则x=-=90.

(4)由题意,得420=-[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0,解得m%=或m%=0(舍去).

故m=50.

6.解 (1)根据题意,设当0≤x≤10时的抛物线为y=ax2+bx+20,

把(5,39),(10,48)代入解析式,得

解得

所以y=-x2+x+20(0≤x≤10).

(2)由图象知,当20≤x≤40时,y=-x+76.

当0≤x≤10时,令y=36,得36=-x2+x+20,

解得x1=4,x2=20(舍去).

当20≤x≤40时,

令y=36,得36=-x+76,

解得x==28.

因为28-4=24>24,

所以老师可以通过适当的安排,在学生的注意力指标数不低于36时,讲授完这道数学综合题.