江西省峡江中学2023届高三下学期第一次高中结业水平测试数学（理）试题(含答案)

这是一份江西省峡江中学2023届高三下学期第一次高中结业水平测试数学（理）试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

峡江中学2023届第一次高中结业水平测试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中是虚数单位，则的值为
A． B． C． D．
3．现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（　　）
A．719 B．556 C．512 D．050
4．函数的部分图象大致为（    ）
A． B． C． D．
5．设抛物线的焦点为，准线为，抛物线上任意一点.则以点为圆心，以为半径的圆与准线的位置关系是（    ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．都有可能
6．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为(dB)．装修房屋时电钻的声音约为100dB，室内正常交谈的声音约为60dB，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的（    ）倍
A． B． C．4 D．
7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则
A． B． C． D．
8．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是（注：1丈=10尺）
A．1946立方尺 B．3892立方尺 C．7784立方尺 D．11676立方尺
9．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤1）＝0.1，则P（3＜X≤5）＝（    ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
10．已知抛物线：的焦点也是椭圆：的焦点，记与在第一象限内的交点为，且，则椭圆离心率为
A． B． C． D．3
11．如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（    ）

A．在区间上是增函数
B．恰有个零点
C．的最小值为
D．的图象关于点中心对称
12．定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（    ）
①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个.
A．①③④ B．①②④
C．②③ D．①④
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)
13．已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
14．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为“甲独自竞岗一个部门”，则______.
15．已知函数的定义域为，图象关于原点对称，且，若，，则实数的取值范围为______．
16．如图，在正方体中，点E在BD上，点F在上，且.则下列四个命题中所有真命题的序号是_________.①当点E是BD中点时，直线平面；②当时，；③直线EF分别与直线BD，所成的角相等；④直线EF与平面ABCD所成的角最大为.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知是等差数列，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为的等比数列，，求数列的前项和.
18．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19．随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．
(1)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

有兴趣
没有兴趣
合计
男



女



合计



(2)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中（），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．
附：，其中．

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
20．已知椭圆过点且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线交于两点，且，求直线的方程．
21．已知函数.（其中，为参数）在点处的切线方程为.
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．

23．选修4-5： 不等式选讲
已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.
1．B
【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可
【详解】由，得，
所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：B
2．A
【分析】根据复数的除法运算，可得进而可求模长.
【详解】由题意可得：，
则:.
故选：A
3．D
【分析】根据随机数表的使用方法判断即可.
【详解】从3开始向右读，第一个符合条件的数为378，第二个数为591，第三个数为695，第四个数为556，第五个数为719，大于699，不符合，第六个数为981，大于699，不符合，第七个数为050，符合，所以第5个样本为050.
故选：D.
4．A
【分析】由函数是奇函数，排除选项B､D，时， ，所以时，函数是增函数，排除选项C.得到结论..
【详解】因为函数是奇函数，排除选项B､D，
当时， ，
所以时，函数是增函数，排除选项C
.故选：:A.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用，还考查了数形的思想方法，属于中档题.
5．A
【分析】根据抛物线的定义判断即可；
【详解】解：根据抛物线的定义可知抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，
即以点为圆心，以为半径的圆与准线的相切；
故选：A
6．A
【解析】根据代值计算，可以分别得到声音约为和的强度，可得结果.
【详解】由，
当时，可得；
当时，可得，
装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的.
故选：A
【点睛】本题主要考查对数的计算，属于基础题.
7．C
【分析】由已知求得，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解即可．
【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边在直线上，所以，
则．
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
8．B
【分析】设出棱台的高，根据三角形相似求得棱台的高，由棱台的体积公式可得结果.
【详解】
由题意可知正四棱锥的高为30.所截得正四棱台的下底面棱长为20，上底面棱长为6，
设棱台的高为，由可得，
解得，可得正四棱台体积为
，故选B.
【点睛】本题主要考查阅读能力，考查棱锥与棱台的性质以及棱台的体积公式，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.
9．D
【分析】根据已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），得到正态分布曲线关于对称，又根据题目P（x≤1）＝0.1，由对称性可得，因此得到P（1≤X≤5）的值，再乘即为所求.
【详解】∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），
∴正态分布曲线关于对称，
又P（x≤1）＝0.1，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.
10．A
【解析】由条件知：椭圆和抛物线共焦点，所以，利用抛物线的定义和，求出点坐标，代入椭圆方程，建立、的关系式，解出、的值，即可求得椭圆的离心率.
【详解】∵，∴，由，得，代入，可得：，而在椭圆上，代入椭圆标准方程得：，又，方程化简得：，解得：或（舍），∴.
故选A.
【点睛】本题考查抛物线的定义，抛物线的性质，椭圆方程的求法以及求椭圆离心率，属于基础题.
11．B
【分析】由题意得到逐项判断.
【详解】解：由题意得：，
所以，
由得，
令，则，因为在上递减，在上递增，
所以在区间上是减函数，故A错误；
令，得或，解得或，故B正确；
因为，所以的最小值为，故C错误；
因为，关于对称，是轴对称图形，
所以不可能关于点中心对称，故D错误；
故选：B
12．D
【分析】根据行列式的运算定义可得，根据奇函数定义可判断分段函数为奇函数，所以①正确；根据的单调性和奇偶性可知不是周期函数，所以不是周期函数，所以②错误；利用导数求出函数的过原点的切线的斜率，再根据的图像的对称性可得界线斜率的取值范围应为，故③错误；根据在区间上单调递减，时，，且，可知有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确.
【详解】由题知,
当时,,所以 ，同理时亦有，所以①正确；
又时，，，，为奇函数，知的增区间为，，减区间为，，则不存在周期性，故不是周期函数，所以②错误；
当时，过原点作的切线，设切点为，则切线斜率，由此直线过原点得，所以，结合②中在区间上单调递增；在区间上单调递减，且时，，且，可得时，的分界线的斜率的取值范围是，又为奇函数，可得时，的分界线的斜率的取值范围是.所以分界线斜率的取值范围应为，故③错误；
由上可知，在区间上单调递减，时，，且，所以有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了行列式的运算，考查了奇函数的定义，考查了函数的周期性，考查了导数的几何意义，考查了函数的零点，属于难题.
13．3x＋2y＋12＝0
【详解】直线2x－3y＋4＝0的斜率为，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为.又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为y－(－3)＝×[x－(－2)]，即3x＋2y＋12＝0.
故答案为3x＋2y＋12＝0
14．##0.5
【分析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意，，，所以.
故答案为：
15．
【解析】由可得的周期为4，所以，由的图象关于原点对称，可得为奇函数，则，从而得，进而可求出答案
【详解】依题意，；
因为函数的定义域为，图象关于原点对称，
所以为奇函数，
所以，
故，即，
故．
故答案为：
16．①②③
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个命题逐一分析，从而确定其中的真命题.
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
①，当是的中点时，是的中点，
，
平面的一个法向量为，，
由于平面，所以平面，①为真命题.
②，当时，,
，，
，所以，所以②正确.
③，，
，，
，
，
，
，
，所以直线EF分别与直线BD，所成的角相等.
④，平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
当时，，由于，所以，④错误.
故答案为：①②③

【点睛】涉及立体几何的“多小题”模式的题型，可结合向量法，对各个“小题”进行分析.如本题中，每个命题，都可以利用向量法来进行判断，针对不同的问题，都采用向量法进行求解，可简化解题过程.
17．(1)
(2)

【分析】（1）由题意得解方程组求出，从而可求出数列的通项公式，
（2）因为是公比为的等比数列，又，，所以，从而可得，然后利用分组求和法求解即可
(1)
设等差数列的公差为.
由题意得
解得，.
所以.
(2)
因为是公比为的等比数列，又，，
所以，
所以.
所以

.
18．（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.
【详解】试题分析：本题主要考查中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，作出辅助线MN，N为中点，在中，利用中位线得到，且，结合已知条件，可证出四边形ABMN为平行四边形，所以，利用线面平行的判定，得∥平面；第二问，利用面面垂直的性质，判断面，再利用已知的边长，可证出，则利用线面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三问，可以利用传统几何法证明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空间直角坐标系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夹角公式计算即可.
（1）证明：取中点，连结．

在△中，
分别为的中点，所以∥，且
．由已知∥，，所以
∥，且．所以四边形为平行四边形，
所以∥．
又因为平面，且平面，
所以∥平面．
（2）证明：在正方形中，．又因为
平面平面，且平面平面，
所以平面．所以．
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（3）（方法一）延长和交于．

在平面内过作于,连结．由平面平面，
∥，，平面平面=，
得，于是．
又，平面，所以，
于是就是平面与平面所成锐二面角的
平面角.                             
由，得.
又，于是有.
在中，.
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
（方法二）由（2）知平面，且．
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系．

易得.平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，因为，所以，令，得．
所以为平面的一个法向量．
设平面与平面所成锐二面角为．
则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
考点：中位线、平行四边形的证明、线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角.
19．(1)填表见解析；有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关
(2)甲；理由见解析

【分析】（1）先求出对滑雪运动有兴趣的人数，结合已知可完成列联表，然后计算可得；
（2）分别计算三人通过选拔的概率，然后作差比较可知.
【详解】（1）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，
可得男生有50人，女生有50人，
又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有25人，
因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，
女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：

有兴趣
没有兴趣
合计
男
30
20
50
女
45
5
50
合计
75
25
100

所以，
所以有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．
（2）甲获胜的概率最大，理由如下：
甲在两轮中均获胜的概率为；
乙在两轮中均获胜的概率为；
丙在两轮中均获胜的概率为；
∵；∴．
∵；
∴显然∴，即甲获胜的概率最大．
20．（1）；（2）直线的方程为.
【详解】试题分析：（1）先根据椭圆过点确定，进而根据离心率及椭圆中的关系式得到，进而求解出即可确定椭圆的方程；（2）设及直线，进而联立直线与椭圆的方程得到，消得到，进而根据二次方程根与系数的关系可得，，进而代入弦长公式，从中即可求解出的值，进而可确定直线的方程.
试题解析：(1)由题知，又因为，从中求解得到
则椭圆的方程为
(2)设，直线
由，消去得到
则，
则
解得，又直线与有两个交点
故直线的方程为.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次方程根与系数的关系.
21．（1）；（2）1；（3）.
【分析】(1)利用导数的几何意义可得出结果.
(2)对求导并讨论单调性，即可得出的最小值.
(3)对取值范围()分类讨论，构造并求导，对参数的取值范围()分类讨论单调性，结合零点存在定理即可得出结果.
【详解】（1），
由题意得，即，解得
（2），∴，则.
①当时，由，，则，所以在上单调递减.
②当时，由，知，
所以在上单调递增，故即，所以在上单调递增：
所以，.
（3）对分情况讨论处理：
（i）当时，不等式等价于，
令，则，
①当时，由（2）知，
所以单调递增，所以，满足题意.
②当时，由（2）知在上单调递增，
令，则，有，所以当时，当时，所以，
所以在上单调递增，则，即
所以，又，
所以存在唯一使得，且当时，，单调递减，所以当时，，不满足题意
（ii）当时，不等式等价于，
当时，同（i）可知，所以单调递增，所以，满足题意.
当时，由（2）知在上单调递减
，从而存在唯一
使得，且当时，，单调递减，所以当时，，不满足题意
（iii）当时，对任意的，原不等式恒成立.
综上得，的取值范围为.
【点睛】(1)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)利用导数研究函数的最值问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.
(3)利用导数解决不等式恒成立问题的方法
①分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；
②把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
22．（1），（2）1
【分析】（1）消去t即可得的普通方程，通过移项和可得的普通方程；（2）由可得的几何意义是斜率，将的参数方程代入的普通方程，得到关于t的方程且，由韦达定理可得．
【详解】解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，
将代入，得，即的直角坐标方程为．
（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，
将，（t为参数）代入，得．
由，且得，且．
设M，N对应的参数分别为、，则，，
所以．
【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程和参数方程在几何问题中的应用．
23．(1)
(2).

【分析】（1）把代入，分段讨论解不等式可得到结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．
【详解】（1）因为，所以，
当时，原不等式转化为，无解.
当时，原不等式转化为，解得.
当时，原不等式转化为，解得.
综上所述，原不等式的解集为；
（2）由已知可得，
由不等式的解集非空，可得，
则，
解得，故的取值范围为.