江西省峡江中学2023届高三下学期第一次高中结业水平测试数学（文）试题(含答案)

峡江中学2023届第一次高中结业水平测试

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，其中是虚数单位，则的值为

A． B． C． D．

3．现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行）

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（　　）

A．719 B．556 C．512 D．050

4．函数的图象为

A． B．

C． D．

5．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．当强度为x的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数）.装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则

A． B． C． D．

8．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（    ）

A．立方尺 B．立方尺

C．立方尺 D．立方尺

9．已知随机变量X服从正态分布，，则的值等于(   )

A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

10．已知抛物线：的焦点也是椭圆：的焦点，记与在第一象限内的交点为，且，则椭圆离心率为

A． B． C． D．3

11．如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（    ）

A．在区间上是增函数

B．恰有个零点

C．的最小值为

D．的图象关于点中心对称

12．定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（    ）

①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个.

A．①③④ B．①②④

C．②③ D．①④

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_________

14．甲、乙、丙三名同学竞选班长、团支书、学习委员三个职位，每人只竞选一个职位，设事件A为“三人竞选职位都不同”，B为“甲独自竞选一个职位”，则P（A|B）＝________．

15．已知函数的定义域为，图象关于原点对称，且，若，，则实数的取值范围为______．

16．如图，在正方体中，点E在BD上，点F在上，且.则下列四个命题中所有真命题的序号是_________.

①当点E是BD中点时，直线平面；②当时，；③直线EF分别与直线BD，所成的角相等；④直线EF与平面ABCD所成的角最大为.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 - 21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．已知是等差数列，，.

(1)求的通项公式；

(2)若数列是公比为的等比数列，，求数列的前项和.

18．边长为1的正方形，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求与平面所成的角

19．随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．

(1)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

 (2)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中（），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．

附：，其中．

20．已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．

21．已知函数.（其中，为参数）在点处的切线方程为.

（1）求实数，的值；

（2）求函数的最小值；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．

23．选修4-5： 不等式选讲

已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.

1．B

【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可

【详解】由，得，

所以，

由，得，解得，

所以，

所以，

故选：B

2．A

【分析】根据复数的除法运算，可得进而可求模长.

【详解】由题意可得：，

则:.

故选：A

3．D

【分析】根据随机数表的使用方法判断即可.

【详解】从3开始向右读，第一个符合条件的数为378，第二个数为591，第三个数为695，第四个数为556，第五个数为719，大于699，不符合，第六个数为981，大于699，不符合，第七个数为050，符合，所以第5个样本为050.

故选：D.

4．A

【解析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性，对比选项中的函数图象，从而可得结果.

【详解】因为，所以，

时，，在上递增；

时，，在上递减，

只有选项符合题意，故选A.

【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

5．B

【解析】写出抛物线的准线方程，根据该准线与圆相切求出实数的值.

【详解】由题意可知，圆是圆心为原点，半径为的圆，抛物线的准线方程为，

由于抛物线的准线方程与圆相切，则，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也涉及了抛物线的准线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

6．C

【分析】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝，列出方程组解出，，可得出的值，得到答案.

【详解】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，

由题意，，

所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为

.

故选：C

【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查对数的性质、运算法则等基础知识，属于基础题.

7．C

【分析】由已知求得，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解即可．

【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，

终边在直线上，所以，

则．

故选C．

【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

8．A

【分析】求出棱柱底边梯形的面积，利用棱柱的体积公式即可求解.

【详解】（立方尺），

故选：A

【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，需熟记柱体的体积公式，属于基础题.

9．A

【分析】根据正态分布曲线的对称性，即可求得答案.

【详解】根据题意，由于随机变量X服从正态分布，，

则根据正态曲线的对称性可知，,

故选：A.

10．A

【解析】由条件知：椭圆和抛物线共焦点，所以，利用抛物线的定义和，求出点坐标，代入椭圆方程，建立、的关系式，解出、的值，即可求得椭圆的离心率.

【详解】∵，∴，由，得，代入，可得：，而在椭圆上，代入椭圆标准方程得：，又，方程化简得：，解得：或（舍），∴.

故选A.

【点睛】本题考查抛物线的定义，抛物线的性质，椭圆方程的求法以及求椭圆离心率，属于基础题.

11．B

【分析】由题意得到逐项判断.

【详解】解：由题意得：，

所以，

由得，

令，则，因为在上递减，在上递增，

所以在区间上是减函数，故A错误；

令，得或，解得或，故B正确；

 因为，所以的最小值为，故C错误；

因为，关于对称，是轴对称图形，

所以不可能关于点中心对称，故D错误；

故选：B

12．D

【分析】根据行列式的运算定义可得，根据奇函数定义可判断分段函数为奇函数，所以①正确；根据的单调性和奇偶性可知不是周期函数，所以不是周期函数，所以②错误；利用导数求出函数的过原点的切线的斜率，再根据的图像的对称性可得界线斜率的取值范围应为，故③错误；根据在区间上单调递减，时，，且，可知有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确.

【详解】由题知,

当时,,所以 ，同理时亦有，所以①正确；

又时，，，，为奇函数，知的增区间为，，减区间为，，则不存在周期性，故不是周期函数，所以②错误；

当时，过原点作的切线，设切点为，则切线斜率，由此直线过原点得，所以，结合②中在区间上单调递增；在区间上单调递减，且时，，且，可得时，的分界线的斜率的取值范围是，又为奇函数，可得时，的分界线的斜率的取值范围是.所以分界线斜率的取值范围应为，故③错误；

由上可知，在区间上单调递减，时，，且，所以有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了行列式的运算，考查了奇函数的定义，考查了函数的周期性，考查了导数的几何意义，考查了函数的零点，属于难题.

13．

【分析】先求出条件中所给的直线的倾斜角是，根据要求的直线的倾斜角是它的二倍，得到要求的直线的倾斜角是，即直线与横轴垂直，又知直线过的点，写出直线的方程．

【详解】∵直线的倾斜角是45°，

直线的倾斜角是直线的两倍，

∴要求直线的倾斜角是，

∵直线过点，∴直线的方程是，故答案为

【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，考查两条直线的斜率的关系，考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法，属于基础题．

14．##0.5

【分析】先求出事件B发生的概率和事件A事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.

【详解】由题三名同学竞选三个职位，共有种情况，

其中事件B的情况有种，

事件A和事件B共同发生的情况有种，

所以，，

所以.

故答案为：.

15．

【解析】由可得的周期为4，所以，由的图象关于原点对称，可得为奇函数，则，从而得，进而可求出答案

【详解】依题意，；

因为函数的定义域为，图象关于原点对称，

所以为奇函数，

所以，

故，即，

故．

故答案为：

16．①②③

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个命题逐一分析，从而确定其中的真命题.

【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，

设，

①，当是的中点时，是的中点，

，

平面的一个法向量为，，

由于平面，所以平面，①为真命题.

②，当时，,

，，

，所以，所以②正确.

③，，

，，

，

，

，

，

，所以直线EF分别与直线BD，所成的角相等.

④，平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，

，

当时，，由于，所以，④错误.

故答案为：①②③

【点睛】涉及立体几何的“多小题”模式的题型，可结合向量法，对各个“小题”进行分析.如本题中，每个命题，都可以利用向量法来进行判断，针对不同的问题，都采用向量法进行求解，可简化解题过程.

17．(1)

(2)

【分析】（1）由题意得解方程组求出，从而可求出数列的通项公式，

（2）因为是公比为的等比数列，又，，所以，从而可得，然后利用分组求和法求解即可

(1)

设等差数列的公差为.

由题意得

解得，.

所以.

(2)

因为是公比为的等比数列，又，，

所以，

所以.

所以

.

18．（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1)由平面，可证得，由为正方形，可得，再由线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；

(2)利用等体积法求出平面的距离，再根据直线与平面角的定义，即可求出与平面所成的角的正弦值，进而可求出与平面所成的角.

【详解】(1)因为平面，平面，所以，

又为正方形，所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

(2)设到平面的距离为，由(1)知平面，又平面，

所以，又在中，，所以，

所以，

由，得，

即，所以，

又在中，，所以，

设与平面所成的角为，所以，又，

所以，即与平面所成的角为.

【点睛】关键点点睛：利用综合法求直线与平面所成的角关键是求出点到面的距离，常用方法有：定义法、等体积法、向量法.

19．(1)填表见解析；有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关

(2)甲；理由见解析

【分析】（1）先求出对滑雪运动有兴趣的人数，结合已知可完成列联表，然后计算可得；

（2）分别计算三人通过选拔的概率，然后作差比较可知.

【详解】（1）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，

可得男生有50人，女生有50人，

又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有25人，

因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，

女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：

所以，

所以有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．

（2）甲获胜的概率最大，理由如下：

甲在两轮中均获胜的概率为；

乙在两轮中均获胜的概率为；

丙在两轮中均获胜的概率为；

∵；∴．

∵；

∴显然∴，即甲获胜的概率最大．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率以及短轴长与长轴长的关系得到方程组，解出即可.

（2）设，利用点差法得，再根据中点坐标求出，，代入即可得到直线斜率，最后写出直线方程即可.

【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．

又椭圆的长轴比短轴长2，所以，

联立方程组，解得

所以椭圆的方程为．

（2）显然点在椭圆内，

设，因为在椭圆上，所以，

两个方程相减得，即，

因为线段的中点为，所以，，

所以．

所以的方程为，即．

21．（1）；（2）1；（3）.

【分析】(1)利用导数的几何意义可得出结果.

(2)对求导并讨论单调性，即可得出的最小值.

(3)对取值范围()分类讨论，构造并求导，对参数的取值范围()分类讨论单调性，结合零点存在定理即可得出结果.

【详解】（1），

由题意得，即，解得

（2），∴，则.

①当时，由，，则，所以在上单调递减.

②当时，由，知，

所以在上单调递增，故即，所以在上单调递增：

所以，.

（3）对分情况讨论处理：

（i）当时，不等式等价于，

令，则，

①当时，由（2）知，

所以单调递增，所以，满足题意.

②当时，由（2）知在上单调递增，

令，则，有，所以当时，当时，所以，

所以在上单调递增，则，即

所以，又，

所以存在唯一使得，且当时，，单调递减，所以当时，，不满足题意

（ii）当时，不等式等价于，

当时，同（i）可知，所以单调递增，所以，满足题意.

当时，由（2）知在上单调递减

，从而存在唯一

使得，且当时，，单调递减，所以当时，，不满足题意

（iii）当时，对任意的，原不等式恒成立.

综上得，的取值范围为.

【点睛】(1)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

(2)利用导数研究函数的最值问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.

(3)利用导数解决不等式恒成立问题的方法

①分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；

②把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.

22．（1），（2）1

【分析】（1）消去t即可得的普通方程，通过移项和可得的普通方程；（2）由可得的几何意义是斜率，将的参数方程代入的普通方程，得到关于t的方程且，由韦达定理可得．

【详解】解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，

将代入，得，即的直角坐标方程为．

（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，

将，（t为参数）代入，得．

由，且得，且．

设M，N对应的参数分别为、，则，，

所以．

【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程和参数方程在几何问题中的应用．

23．(1)

(2).

【分析】（1）把代入，分段讨论解不等式可得到结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．

【详解】（1）因为，所以，

当时，原不等式转化为，无解.

当时，原不等式转化为，解得.

当时，原不等式转化为，解得.

综上所述，原不等式的解集为；

（2）由已知可得，

由不等式的解集非空，可得，

则，

解得，故的取值范围为.