2022-2023学年湖南省株洲市攸县片区九年级（下）第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年湖南省株洲市攸县片区九年级（下）第一次月考数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了2的相反数是，若关于x的方程，如图，一次函数y1＝kx+b等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省株洲市攸县片区九年级（下）第一次月考数学试卷
一.选择题（每小题4分，共40分）
1．2的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
2．已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于（　　）
A．35° B．55° C．65° D．145°
3．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2
4．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形
5．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
6．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y＝图象上的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝80°，则∠OBC的大小是（　　）

A．40° B．160° C．10° D．80°
8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1+x2＞0 D．x1•x2＞0
9．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（　　）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
10．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
二.填空题（每小题4分，共32分）
11．方程x2＝5x的根是　 　．
12．如图，l∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是 　 　．

13．半径为5厘米，150°的圆心角所对的弧长是 　 　厘米．
14．某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，物理得分为90分，那么孔明综合得分是 　 　分．
15．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　 　．
16．因式分解：x3﹣xy2＝　 　．
17．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　 　．
18．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是 　 　．
三、解答题（本题有8小题，共78分，各小题都必须写出解答过程）
19．计算：（﹣2020）0+﹣tan45°+|﹣3|．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中m＝﹣2．
21．成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

22．为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用），B（多数时间使用），C（偶尔使用），D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了如图所示两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A类对应的扇形的圆心角度数是 　 　；
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率．
23．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

24．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．

26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA＝PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与过A、C两点的直线相切，切点为H，若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（各顶点互相对应），求点M的坐标．



参考答案
一.选择题（每小题4分，共40分）
1．2的相反数是（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【分析】根据相反数的概念解答即可．
解：2的相反数是﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于（　　）
A．35° B．55° C．65° D．145°
【分析】根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
解：∵∠α＝35°，
∴它的余角等于90°﹣35°＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．
3．若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行解答即可．
解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
4．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
解：连接OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOP＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOP＝∠B+∠OAB，
∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
6．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y＝图象上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（a，b）在函数y＝图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y＝图象上的有（3，4），（4，3）；
∴点（a，b）在函数y＝图象上的概率是：＝．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝80°，则∠OBC的大小是（　　）

A．40° B．160° C．10° D．80°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝160°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数．
解：∵∠A＝80°，
∴∠BOC＝2∠A＝160°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝（180°﹣160°）＝10°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1+x2＞0 D．x1•x2＞0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据Δ＞0即可做出判断；
C、根与系数的关系可得出x1+x2＝a，结合a的值不确定，可得出结论不一定正确；
D、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣2，结论错误．
解：A、∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴x1≠x2，正确，符合题意；
B、∵由A知Δ＞0，
∴x1≠x2，故原结论错误，不符合题意；
C、x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝a，
∵a的值不确定，
∴结论不一定正确，不符合题意；
D、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，
∴x1•x2＝﹣2＜0，原结论错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
9．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（　　）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．
解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2
故选：C．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
10．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式即可求解．
解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝AB•sin60°＝2×＝，
∴阴影部分的面积＝＝．
故选：C．

【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算、三角函数、切线的性质、等边三角形的性质；由三角函数求出AD是解决问题的关键．
二.填空题（每小题4分，共32分）
11．方程x2＝5x的根是　x1＝0，x2＝5　．
【分析】先把方程变形为x2﹣5x＝0，把方程左边因式分解得x（x﹣5）＝0，则有x＝0或x﹣5＝0，然后解一元一次方程即可．
解：x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
故答案为x1＝0，x2＝5．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程转化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．
12．如图，l∥m，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是 　65°　．

【分析】先根据平行线的性质得∠2＝∠1＝120°，然后根据三角形外角性质计算∠ACB的大小．
解：∵l∥m，
∴∠2＝∠1＝120°，
∵∠2＝∠ACB+∠A，
∴∠ACB＝120°﹣55°＝65°．
故答案为65°．

【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．半径为5厘米，150°的圆心角所对的弧长是 　　厘米．
【分析】根据弧长公式求解即可．
解：l＝＝（厘米）．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题关键．
14．某大学自主招生考试只考数学和物理．计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算．已知孔明数学得分为95分，物理得分为90分，那么孔明综合得分是 　93　分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
解：孔明综合得分是95×60%+90×40%＝93（分），
故答案为：93．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
15．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　13　．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
16．因式分解：x3﹣xy2＝　x（x﹣y）（x+y）　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x﹣y）（x+y）．
故答案为：x（x﹣y）（x+y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
17．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　．
【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4b＝0，
∴AC＝b＝4，
∵BC＝2，AB＝2，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长＝AC＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
18．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是 　m＜a＜b＜n　．
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察图象即可得出结论．
解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，
将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示：

观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故答案为：m＜a＜b＜n．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共78分，各小题都必须写出解答过程）
19．计算：（﹣2020）0+﹣tan45°+|﹣3|．
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
解：原式＝1+2﹣1+3＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中m＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
解：原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝，
当m＝﹣2时，
原式＝＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21．成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE＝BC，BE＝DC＝61，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．
解：过点D作DE⊥AB于点E，

根据题意可得四边形DCBE是矩形，
∴DE＝BC，BE＝DC＝61（米），
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝45°，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝BC，
在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，
∴DE＝≈＝152.5（米），
∴AB＝AE+BE＝DE+CD＝152.5+61＝213.5≈214（米）．
答：观景台的高AB的值约为214米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22．为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用），B（多数时间使用），C（偶尔使用），D（完全不使用），将数据进行整理后，绘制了如图所示两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 　50人　；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中A类对应的扇形的圆心角度数是 　72°　；
（4）为了了解少数学生完全不使用公筷的原因，学校决定从D组的学生中随机抽取两位进行回访，若D组中有3名男生，其余均为女生，请用列表法，求抽取的两位学生恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比即可；
（2）求出D的人数，补全条形统计图即可；
（3）由360°乘以A所占的比例即可；
（4）列表可知，共有12种等可能的结果，抽取的两位学生恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次抽取的学生总人数共有：20÷40%＝50（人），
故答案为：50人；
（2）D的人数为：50﹣10﹣20﹣16＝4（人），
条形统计图补全如下：

（3）扇形统计图中A对应的扇形的圆心角度数是：360°×＝72°，
故答案为：72°；
（4）列表如下：

男1
男2
男3
女
男1

男1，男2
男1，男3
男1，女
男2
男2，男1

男2，男3
男2，女
男3
男3，男1
男3，男2

男3，女
女
女，男1
女，男2
女，男3

共有12种等可能的结果，抽取的两位学生恰好是一男一女的结果有6种，
∴抽取的两位学生恰好是一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．

【分析】（1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；
（2）由△ABE与△FCE全等，根据全等三角形的对应边相等得到AB＝CF；再由AB与CF平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABFC为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到AE＝EF，BE＝EC；再由∠AEC为三角形ABE的外角，利用外角的性质得到∠AEC等于∠ABE+∠EAB，再由∠AEC＝2∠ABC，得到∠ABE＝∠EAB，利用等角对等边可得出AE＝BE，可得出AF＝BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出ABFC为矩形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∵，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∴BE＝EC，AE＝EF，
又∵∠AEC＝2∠ABC，且∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠ABC+∠EAB，
∴∠ABC＝∠EAB，
∴AE＝BE，
∴AE+EF＝BE+EC，即AF＝BC，
则四边形ABFC为矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
24．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

【分析】（1）先求出∠ABC＝30°，进而求出∠BAD＝120°，即可求出∠OAB＝30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC＝60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．
解：（1）如图，
∵∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABC＝30°，
根据三角形的内角和定理得，∠BAD＝120°，
连接OA，∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABC＝30°，
∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，
∴OA⊥AD，
∵点A在⊙O上，
∴直线AD是⊙O的切线；

（2）连接OA，∵∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵BC⊥AE于M，
∴AE＝2AM，∠OMA＝90°，
在Rt△AOM中，AM＝OA•sin∠AOM＝4×sin60°＝2，
∴AE＝2AM＝4．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC＝60°是解本题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．

【分析】（1）由A（0，﹣4），B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
解：（1）把A（0，﹣4），B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
，解得，，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ＝﹣（2n﹣4），
∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入所求函数关系式的常用方法，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解，是解决问题的基本思路．
26．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA＝PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与过A、C两点的直线相切，切点为H，若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（各顶点互相对应），求点M的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据线段的和差，可得AP的长，根据勾股定理，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分类讨论：①当H′在点C的下方时，根据平行线的判定，可得yM，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当H′在点C的上方时，根据相似三角形的对应角相等，可得M′点是CP与抛物线的交点，根据解方程组，可得答案．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将x＝0，y＝﹣2代入，得
a（0+1）（0﹣2）＝﹣2，
解得a＝1．
故抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）设OP＝x，PC＝PA＝x+1．
在Rt△POC中，由勾股定理，得
x2+22＝（x+1）2，
解得x＝，即OP＝；
（3）∵△CHM∽△AOC，∠MCH＝∠CAO，
如图：

①当H′在点C的下方时，
∵∠CAO＝∠MCH′，
∴MC∥AO，
∴yM＝yC＝﹣2，
x2﹣x﹣2＝﹣2，解得x＝0（舍去）或x＝1，
M（1，﹣2）；
②当H′在点C的上方时，∠M′CH′＝∠CAO，
由（2）得M′为CP与抛物线的另一个交点，设CP的解析式为y＝kx+b，将C，P点坐标代入，得
，
解得，
CP的解析式为y＝x﹣2．
联立CP与抛物线，得
，
x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得x＝0（舍去）x＝，此时y＝，
M′（，）；
综上所述：M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），点M的坐标（1，﹣2），（，）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定理得出关于x的方程是解题关键；①利用平行线的判定得出yM是解题关键，②利用相似三角形的对应角相等得出M′点是CP与抛物线的交点是解题关键．