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2023年江西省抚州市临川一中中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年江西省抚州市临川一中中考数学一模试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江西省抚州市临川一中中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3．（3分）在七年级的学习中，我们知道了|x|＝．小明同学突发奇想，画出了函数y＝|x|的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
5．（3分）如图，△ABC中，AC＝，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．2﹣
6．（3分）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y﹣y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，则k的值是 ．
8．（3分）反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点的函数值y随x增大而 （填“增大”或“减小”）．
9．（3分）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有 ．
10．（3分）化简：﹣的结果是 ．
11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 ．
12．（3分）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝2；
（2）2x2+5x＝﹣2
14．（5分）若抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），求：抛物线与x轴交点的坐标．
15．（5分）我校九（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的平均数是 分；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 队；
（3）测试结果中，乙队获满分的四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加学校组织的经典诵读比赛，求恰好抽中一男生一女生的概率．
16．（5分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣+．
17．（5分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．
18．（5分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（2，n）也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
四、解答题（共3题，每题8分，共24分）
19．（8分）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
20．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
40
45
55
60
销售量y（千克）
80
70
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
21．（8分）已知抛物线y＝x2+mx+1的对称轴为x＝1．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA＝AE＝2时，
①求图中阴影部分的面积；
②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．
23．（8分）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．
如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）
2023年江西省抚州市临川一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．要注意：轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
3．（3分）在七年级的学习中，我们知道了|x|＝．小明同学突发奇想，画出了函数y＝|x|的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的非负，结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵y＝|x|中y非负，
∴符合函数图象的选项为B．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象以及绝对值，根据绝对值的非负性找出函数图象是解题的关键．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，则每段弧的度数等于72度，弧BD的度数为144度，由圆周角定理知，弧BD对的圆周角∠A是弧BD的度数的一半，即∠A＝72°．
【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°．
故选：C．
【点评】本题利用了一个周角是360度和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（3分）如图，△ABC中，AC＝，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．2﹣
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；菱形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得到∠C＝∠AFE，根据圆周角定理得到∠AFE＝∠AOE，根据切线的性质得到OA⊥AC，OE⊥CE，求出∠C＝60°，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ACEF是菱形，
∴∠C＝∠AFE，
由圆周角定理得：∠AFE＝∠AOE，
∵⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，
∴OA⊥AC，OE⊥CE，
∴∠C+∠AOB＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴OB＝2OE，BC＝2AC＝2，∠BOE＝60°，
∴AB＝＝3，
∴OA＝OE＝OB＝2，
∴BE＝＝，
∴S阴影部分＝××﹣＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
6．（3分）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y﹣y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y）
【考点】实数范围内分解因式．菁优网版权所有
【分析】把x看作未知数，把y看作常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案．
【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝y，x2＝y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣y）（x﹣y）
故选：D．
【点评】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，则k的值是 ﹣ ．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【分析】利用根的判别式Δ≥0，可求出k的取值范围，由根与系数的关系，结合+＝x1•x2，可得出关于k的方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：∵原方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）≥0，
∴k≤1．
∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1，
又∵+＝x1•x2，
∴＝x1•x2，
∴x12+x22＝（x1•x2）2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（x1•x2）2，
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2，
解得：k1＝，k2＝﹣，
经检验，k1＝，k2＝﹣均为所列方程的解，k1＝＞1，不符合题意，舍去，
∴k的值为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系及+＝x1•x2，找出关于k的方程是解题的关键．
8．（3分）反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点的函数值y随x增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】利用反比例函数的性质进而得出答案．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，x＜0，
∴此函数图象在二象限，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的特征，熟练反比例函数的性质是解题关键．
9．（3分）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有 10 ．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
故答案为：10．
【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
10．（3分）化简：﹣的结果是 ．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故答案为：
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 （2，﹣3） ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】将解析式化为顶点式进而即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝（x2﹣4x+4）﹣2﹣1
＝（x﹣2）2﹣3．
则其顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了将一般式化为顶点式求顶点坐标，掌握配方法求顶点式是解题的关键．
12．（3分）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】设AE＝x，表示出BE，根据翻折变换的性质可得EF＝AE，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
∵折叠后点A恰好落在边BC的点F处，
∴EF＝AE＝x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，
即（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝2；
（2）2x2+5x＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．菁优网版权所有
【分析】（1）利用直接开方法解，求出解即可；
（2）方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
则x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）整理得：2x2+5x+2＝0，
分解因式得：（2x+1）（x+2）＝0，
可得2x+1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程，选择适当的方法是解本题的关键．
14．（5分）若抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），求：抛物线与x轴交点的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】先根据抛物线的解析式可得a＝2，再根据顶点坐标为M（2，﹣2），得到抛物线的顶点式解析式，然后将y＝0代入求出x的值，即可求出抛物线与x轴交点的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，
令y＝0，得2（x﹣2）2﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求出抛物线的解析式是解题的关键．
15．（5分）我校九（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的平均数是 9 分；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 乙 队；
（3）测试结果中，乙队获满分的四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加学校组织的经典诵读比赛，求恰好抽中一男生一女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；算术平均数；中位数；方差．菁优网版权所有
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据平均数的计算公式即可得出答案；
（2）根据方差公式先求出乙队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案；
（3）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出恰好抽中一男生一女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2＝9.5（分），
则中位数是9.5分；
乙队的平均数是：×（10+8+7+9+8+10+10+9+10+9）＝9（分）；
故答案为：9.5，9；
（2）乙队方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]＝1；
∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
（3）列表如下：
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
由上表可知，共12种可能，其中一男一女的可能性有6种，
则恰好抽中一男生一女生的概率是＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16．（5分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣+．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】由数轴可得c＜a＜0，b＞0，从而得c﹣a＜0，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
【解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，
∴c﹣a＜0，
∴|a|﹣+
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．
17．（5分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接AE，判断出AB＝AC，根据∠B＝∠C＝70°求出∠BAC＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
【解答】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，∠BAC＝2∠CAE，
∴∠BAC＝40°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
18．（5分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（2，n）也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数的图象交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则S△BOM＝S△DON＝|k|，求得点D的坐标，然后根据S△BOD＝S△BOM+S梯形BMND﹣S△DON＝S梯形BMND求解即可．
【解答】解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，
∴2＝m+1，得m＝1，
∴点B的坐标为（1，2），
∵点B（1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×2＝2，
即反比例函数的表达式是y＝；
（2）∵点D（2，n）也在反比例函数图象上，
∴n＝＝1，
∴D（2，1），
作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则S△BOM＝S△DON＝|k|，
∵S△BOD＝S△BOM+S梯形BMND﹣S△DON＝S梯形BMND，
∴S△BOD＝（BM+DN）•MN＝（2+1）×（2﹣1）＝．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（共3题，每题8分，共24分）
19．（8分）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据同角的补角相等，可得∠BDC＝∠1，进而得出AE∥FC；
（2）根据AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根据∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，进而得出AD∥BC；
（3）根据BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根据平行线的性质，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，进而得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．
【解答】解：（1）AE与FC平行．
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，
∴∠BDC＝∠1，
∴AE∥FC；
（2）AD与BC平行．
∵AE∥FC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（3）DA平分∠BDF．如图所示，
∵BC平分∠EBD，
∴∠3＝∠4，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∴DA平分∠BDF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
20．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
40
45
55
60
销售量y（千克）
80
70
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合“销售单价不低于成本价，且不高于60元”，即可确定x的值，再将其代入（﹣2x+160）中即可求出每天的销售量．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160．
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，
∴x＝40，
∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．
答：每天的销售量应为80千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（8分）已知抛物线y＝x2+mx+1的对称轴为x＝1．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）利用对称轴方程x＝﹣求解；
（2）根据“左加右减，上加下减”的规律写出平移后抛物线解析式即可．
【解答】解：（1）由题意，得．
解得m＝﹣2；
（2）由（1）知y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线表达式为y＝（x﹣1+2）2﹣1，即y＝（x+1）2﹣1．
两次平移后得到的抛物线表达式为y＝（x+1）2﹣1或y＝x2+2x．
【点评】主要考查了函数图象的平移和二次函数的性质，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA＝AE＝2时，
①求图中阴影部分的面积；
②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OC由OA＝OC，F为AC的中点，推出OD⊥AC，又DE∥AC，推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）①根据S阴＝S扇形OCD，计算即可；
②由已知得：推出直线AC的表达式为，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，由①得AC平分∠OAD，推出PM＝PN，设，，因为直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，分两种情形，讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：连接OC
∵OA＝OC，F为AC的中点，
∴OD⊥AC，
又∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①由（1）得OD⊥DE，
∴∠EDO＝90°，
∴OA＝AE＝2，
∴，
∴OA＝OD＝AD＝2．
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DAO＝60°，
∴，
又∵AC⊥OD，
∴∠CAO＝∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAO，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴＝S扇形OCD，
∵∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∴，
②由已知得：，
∴直线AC的表达式为，
过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，
由①得AC平分∠OAD，
∴PM＝PN，
设，，
∵直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，
若．即，
解得：，此时，
若，同理可求得，
综上所述：满足条件的点P的坐标为和．
【点评】本题考查圆综合题、一次函数的应用、切线的判定和性质、平行线的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
23．（8分）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．
如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．
【解答】解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：
（2）连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACM+∠BCN＝45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'＝∠ACM，CM＝CM'，AM＝BM'，∠CBM'＝∠A＝45°，
∴∠M'CN＝∠MCN＝45°，∠NBM'＝90°，
∵CN＝CN，
在△MCN与△M'CN中，
，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN＝M'N，
在Rt△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2＝BN2+BM'2，
∴MN2＝AM2+BN2；
（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，
则△AC'C是等腰直角三角形，C'D＝3，
∵∠C'＝∠ACB＝45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB＝D'B，
在Rt△BCD'中，
∵BC＝4，CD＝3，
∴DB＝5，
∴CC'＝12，
∴AC＝6．
【点评】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．
2023年江西省抚州市临川一中中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3．（3分）在七年级的学习中，我们知道了|x|＝．小明同学突发奇想，画出了函数y＝|x|的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
5．（3分）如图，△ABC中，AC＝，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．2﹣
6．（3分）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y﹣y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，则k的值是 ．
8．（3分）反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点的函数值y随x增大而 （填“增大”或“减小”）．
9．（3分）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有 ．
10．（3分）化简：﹣的结果是 ．
11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 ．
12．（3分）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝2；
（2）2x2+5x＝﹣2
14．（5分）若抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），求：抛物线与x轴交点的坐标．
15．（5分）我校九（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的平均数是 分；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 队；
（3）测试结果中，乙队获满分的四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加学校组织的经典诵读比赛，求恰好抽中一男生一女生的概率．
16．（5分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣+．
17．（5分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．
18．（5分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（2，n）也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
四、解答题（共3题，每题8分，共24分）
19．（8分）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
20．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
40
45
55
60
销售量y（千克）
80
70
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
21．（8分）已知抛物线y＝x2+mx+1的对称轴为x＝1．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA＝AE＝2时，
①求图中阴影部分的面积；
②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．
23．（8分）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．
如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）
2023年江西省抚州市临川一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，请将正确选项涂填在答题卡的选项上.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．要注意：轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
3．（3分）在七年级的学习中，我们知道了|x|＝．小明同学突发奇想，画出了函数y＝|x|的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的非负，结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵y＝|x|中y非负，
∴符合函数图象的选项为B．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象以及绝对值，根据绝对值的非负性找出函数图象是解题的关键．
4．（3分）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
【考点】圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，则每段弧的度数等于72度，弧BD的度数为144度，由圆周角定理知，弧BD对的圆周角∠A是弧BD的度数的一半，即∠A＝72°．
【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°．
故选：C．
【点评】本题利用了一个周角是360度和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．（3分）如图，△ABC中，AC＝，点O是AB边上的一点，⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，点F为⊙O上一点，连AF，若四边形ACEF是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．2﹣
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；菱形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得到∠C＝∠AFE，根据圆周角定理得到∠AFE＝∠AOE，根据切线的性质得到OA⊥AC，OE⊥CE，求出∠C＝60°，根据直角三角形的性质、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ACEF是菱形，
∴∠C＝∠AFE，
由圆周角定理得：∠AFE＝∠AOE，
∵⊙O与AC、BC分别相切于点A、E，
∴OA⊥AC，OE⊥CE，
∴∠C+∠AOB＝180°，
∴∠C＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
∴OB＝2OE，BC＝2AC＝2，∠BOE＝60°，
∴AB＝＝3，
∴OA＝OE＝OB＝2，
∴BE＝＝，
∴S阴影部分＝××﹣＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查的是切线的性质，菱形的性质、扇形面积计算、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
6．（3分）把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y） B．（2x﹣4y﹣y）（x﹣y）
C．（2x﹣4y+y）（x﹣y） D．2（x﹣y）（x﹣y）
【考点】实数范围内分解因式．菁优网版权所有
【分析】把x看作未知数，把y看作常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案．
【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝y，x2＝y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣y）（x﹣y）
故选：D．
【点评】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，则k的值是 ﹣ ．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
【分析】利用根的判别式Δ≥0，可求出k的取值范围，由根与系数的关系，结合+＝x1•x2，可得出关于k的方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：∵原方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）≥0，
∴k≤1．
∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1，
又∵+＝x1•x2，
∴＝x1•x2，
∴x12+x22＝（x1•x2）2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝（x1•x2）2，
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2，
解得：k1＝，k2＝﹣，
经检验，k1＝，k2＝﹣均为所列方程的解，k1＝＞1，不符合题意，舍去，
∴k的值为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系及+＝x1•x2，找出关于k的方程是解题的关键．
8．（3分）反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的点的函数值y随x增大而 增大 （填“增大”或“减小”）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【分析】利用反比例函数的性质进而得出答案．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，x＜0，
∴此函数图象在二象限，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的特征，熟练反比例函数的性质是解题关键．
9．（3分）蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有 10 ．
【考点】正多边形和圆．菁优网版权所有
【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4＝10个．
故答案为：10．
【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
10．（3分）化简：﹣的结果是 ．
【考点】分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
故答案为：
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的顶点坐标为 （2，﹣3） ．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】将解析式化为顶点式进而即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝（x2﹣4x+4）﹣2﹣1
＝（x﹣2）2﹣3．
则其顶点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了将一般式化为顶点式求顶点坐标，掌握配方法求顶点式是解题的关键．
12．（3分）如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE．若AB＝4，BF＝2，则AE的长是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】设AE＝x，表示出BE，根据翻折变换的性质可得EF＝AE，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
∵折叠后点A恰好落在边BC的点F处，
∴EF＝AE＝x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，
即（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13．（5分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）2＝2；
（2）2x2+5x＝﹣2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．菁优网版权所有
【分析】（1）利用直接开方法解，求出解即可；
（2）方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
则x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）整理得：2x2+5x+2＝0，
分解因式得：（2x+1）（x+2）＝0，
可得2x+1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程，选择适当的方法是解本题的关键．
14．（5分）若抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），求：抛物线与x轴交点的坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】先根据抛物线的解析式可得a＝2，再根据顶点坐标为M（2，﹣2），得到抛物线的顶点式解析式，然后将y＝0代入求出x的值，即可求出抛物线与x轴交点的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c的顶点坐标M（2，﹣2），
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，
令y＝0，得2（x﹣2）2﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求出抛物线的解析式是解题的关键．
15．（5分）我校九（1）班组织了一次经典诵读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如表（10分制）：
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的中位数是 9.5 分，乙队成绩的平均数是 9 分；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是 乙 队；
（3）测试结果中，乙队获满分的四名同学相当优秀，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加学校组织的经典诵读比赛，求恰好抽中一男生一女生的概率．
【考点】列表法与树状图法；算术平均数；中位数；方差．菁优网版权所有
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据平均数的计算公式即可得出答案；
（2）根据方差公式先求出乙队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案；
（3）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数，找出恰好抽中一男生一女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2＝9.5（分），
则中位数是9.5分；
乙队的平均数是：×（10+8+7+9+8+10+10+9+10+9）＝9（分）；
故答案为：9.5，9；
（2）乙队方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]＝1；
∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
（3）列表如下：
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
男
（男，男）
（男，男）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，男）
由上表可知，共12种可能，其中一男一女的可能性有6种，
则恰好抽中一男生一女生的概率是＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16．（5分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣+．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】由数轴可得c＜a＜0，b＞0，从而得c﹣a＜0，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
【解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，
∴c﹣a＜0，
∴|a|﹣+
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．
17．（5分）如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接AE，判断出AB＝AC，根据∠B＝∠C＝70°求出∠BAC＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
【解答】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，∠BAC＝2∠CAE，
∴∠BAC＝40°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
18．（5分）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D（2，n）也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数的图象交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则S△BOM＝S△DON＝|k|，求得点D的坐标，然后根据S△BOD＝S△BOM+S梯形BMND﹣S△DON＝S梯形BMND求解即可．
【解答】解：（1）∵点B（m，2）在直线y＝x+1上，
∴2＝m+1，得m＝1，
∴点B的坐标为（1，2），
∵点B（1，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×2＝2，
即反比例函数的表达式是y＝；
（2）∵点D（2，n）也在反比例函数图象上，
∴n＝＝1，
∴D（2，1），
作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，则S△BOM＝S△DON＝|k|，
∵S△BOD＝S△BOM+S梯形BMND﹣S△DON＝S梯形BMND，
∴S△BOD＝（BM+DN）•MN＝（2+1）×（2﹣1）＝．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（共3题，每题8分，共24分）
19．（8分）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
【考点】平行线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据同角的补角相等，可得∠BDC＝∠1，进而得出AE∥FC；
（2）根据AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根据∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，进而得出AD∥BC；
（3）根据BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根据平行线的性质，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，进而得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．
【解答】解：（1）AE与FC平行．
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，
∴∠BDC＝∠1，
∴AE∥FC；
（2）AD与BC平行．
∵AE∥FC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（3）DA平分∠BDF．如图所示，
∵BC平分∠EBD，
∴∠3＝∠4，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∴DA平分∠BDF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
20．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：
销售单价x（元/千克）
40
45
55
60
销售量y（千克）
80
70
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少千克？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合“销售单价不低于成本价，且不高于60元”，即可确定x的值，再将其代入（﹣2x+160）中即可求出每天的销售量．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，80），（45，70）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+160．
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
又∵商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，
∴x＝40，
∴﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80．
答：每天的销售量应为80千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（8分）已知抛物线y＝x2+mx+1的对称轴为x＝1．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线表达式．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）利用对称轴方程x＝﹣求解；
（2）根据“左加右减，上加下减”的规律写出平移后抛物线解析式即可．
【解答】解：（1）由题意，得．
解得m＝﹣2；
（2）由（1）知y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线表达式为y＝（x﹣1+2）2﹣1，即y＝（x+1）2﹣1．
两次平移后得到的抛物线表达式为y＝（x+1）2﹣1或y＝x2+2x．
【点评】主要考查了函数图象的平移和二次函数的性质，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接AD，CD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OA＝AE＝2时，
①求图中阴影部分的面积；
②以O为原点，AB所在的直线为x轴，直径AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC上求一点P，使得直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OC由OA＝OC，F为AC的中点，推出OD⊥AC，又DE∥AC，推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）①根据S阴＝S扇形OCD，计算即可；
②由已知得：推出直线AC的表达式为，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，由①得AC平分∠OAD，推出PM＝PN，设，，因为直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，分两种情形，讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：连接OC
∵OA＝OC，F为AC的中点，
∴OD⊥AC，
又∵DE∥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①由（1）得OD⊥DE，
∴∠EDO＝90°，
∴OA＝AE＝2，
∴，
∴OA＝OD＝AD＝2．
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DAO＝60°，
∴，
又∵AC⊥OD，
∴∠CAO＝∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAO，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∴S阴＝S扇形OCD，
∵∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∴，
②由已知得：，
∴直线AC的表达式为，
过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，
由①得AC平分∠OAD，
∴PM＝PN，
设，，
∵直线DP把阴影部分的面积分成1：2的两部分，
若．即，
解得：，此时，
若，同理可求得，
综上所述：满足条件的点P的坐标为和．
【点评】本题考查圆综合题、一次函数的应用、切线的判定和性质、平行线的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
23．（8分）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．
如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．
（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′
（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2＝MN2．
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）
【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据旋转的性质画出图形即可；
（2）连接M'N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．
【解答】解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：
（2）连接M'N，
∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACM+∠BCN＝45°，
∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM'＝∠ACM，CM＝CM'，AM＝BM'，∠CBM'＝∠A＝45°，
∴∠M'CN＝∠MCN＝45°，∠NBM'＝90°，
∵CN＝CN，
在△MCN与△M'CN中，
，
∴△MCN≌△M'CN（SAS），
∴MN＝M'N，
在Rt△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2＝BN2+BM'2，
∴MN2＝AM2+BN2；
（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，
则△AC'C是等腰直角三角形，C'D＝3，
∵∠C'＝∠ACB＝45°，
∴C'，D'，B，C均在同一直线上，
在△DAB与△D'AB中，
，
∴△DAB≌△D'AB（SAS），
∴DB＝D'B，
在Rt△BCD'中，
∵BC＝4，CD＝3，
∴DB＝5，
∴CC'＝12，
∴AC＝6．
【点评】此题考查几何变换问题，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答．
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