2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题含解析
展开2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题
一、单选题
1.已知为虚数单位,则复数的虚部是( )
A. B.1 C. D.
【答案】A
【分析】根据复数的虚部的定义确定复数的虚部.
【详解】的虚部是.
故选:A.
2.已知,,且,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据向量数量积列出方程,求出x=1,利用向量夹角公式计算出答案.
【详解】∵
∴x=1,
∴,
∴,
又∵,
∴向量与的夹角为
故选:D.
3.将一枚均匀的骰子掷两次,记事作A为“第一次出现1点”,B为“第二次出现6点”,则有( )
A.A与B互斥 B.
C.A与B相互独立 D.
【答案】C
【分析】根据事件“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生,判断A,B;根据事件A的发生与否对事件B没有影响,判断C;进而根据,计算,可判断D.
【详解】由于“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生,故A与B不互斥,
所以,故A,B错误;
由于事件A的发生与否对事件B没有影响,故A与B相互独立,C正确;
由于 ,且A与B相互独立,故,D错误,
故选:C.
4.直线过点,且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】先设直线方程为:,根据题意求出,即可得出结果.
【详解】设所求直线方程为:,
由题意得,且解得
故,即.
故选:A.
【点睛】本题主要考查求直线的方程,熟记直线的斜截式方程即可,属于常考题型.
5.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示,其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如图2所示.已知球的半径为,酒杯的容积为,则其内壁表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据酒杯是由圆柱和半球的组合体,设出圆柱体的高,根据已知酒杯的容积计算出圆柱的高,再利用圆柱表面积和球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可知,酒杯是由圆柱和半球的组合体,
所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和,
因为球的半径为,所以半球的表面积为,
半球的体积为 ,
设圆柱体的高为,则体积为 ,
又酒杯的容积为
所以 ,
解得: ,
因为球的半径为,酒杯圆柱部分高为,
所以圆柱的侧面积为,
所以酒杯内壁表面积为.
故选:D.
6.“五一”劳动节放假期间,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式,计算出正确答案.
【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为,,.
∴他们不去北京旅游的概率分别为,,.
∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游,
∴至少有1人去北京旅游的概率为:.
故选:B
7.已知圆,直线过点交圆于两点,则弦长的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】首先得到圆心坐标与半径,即可判断点在圆内,即可求出弦长最大、最小值,即可得解.
【详解】解:圆的圆心,半径,又,
所以点在圆内,
当直线过圆心时,弦长取最大值,
当直线时,圆心到直线的距离最大,最大值为,此时弦长取最小值;
故选:D.
8.已知平面向量满足,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】建立如图所示直角坐标系,由向量的坐标运算得点C的轨迹,进而根据三角形相似将转为求线段和最短,即可将根据图形求解
【详解】建立如图所示直角坐标系,由题意可设,,
则,,
由得,故C在以为圆心,半径为1的圆上,
取,则在AD上,则,又,∴,∴,即,
∴.
故选:D
二、多选题
9.某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气,当地气象部门统计进入八月份以来(8月1日至8月10日)连续天中每天的最高温和最低温,得到如下的折线图:
根据该图,关于这天的气温,下列说法中正确的有( )
A.最低温的众数为 B.最高温的平均值为
C.第天的温差最大 D.最高温的方差大于最低温的方差
【答案】AC
【分析】根据折线图分别判断各选项.
【详解】A选项,由折线图可知最低温的众数为,A选项正确;
B选项,由折线图得最高温的平均值为,B选项错误;
C选项,由折线图得这天的温差分别为,,,,,,,,,,其中温差最大的为第天,C选项正确;
D选项,由折线图可知最高温的方差,
最低温的平均值为,
方差,D选项错误;
故选:AC.
10.若圆:与圆:的交点为,,则( )
A.公共弦所在直线方程为
B.线段中垂线方程为
C.公共弦的长为
D.在过,两点的所有圆中,面积最小的圆是圆
【答案】AD
【解析】根据题意,依次分析选项:对于,联立两个圆的方程,分析可得公共弦所在直线方程,可判断,对于,有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标,分析可得直线的方程,即可得线段中垂线方程,可判断,对于,分析圆的圆心和半径,分析可得圆心在公共弦上,即可得公共弦的长为圆的直径,可判断,对于,由于圆心在公共弦上,在过,两点的所有圆中,即可判断.
【详解】解:根据题意,依次分析选项:
对于,圆与圆,联立两个圆的方程可得,即公共弦所在直线方程为,正确,
对于,圆,其圆心为,,圆,其圆心为,直线的方程为,即线段中垂线方程,错误,
对于,圆,即,其圆心为,,半径,圆心,在公共弦上,则公共弦的长为,错误,
对于,圆心,在公共弦上,在过,两点的所有圆中,面积最小的圆是圆,正确,
故选:.
11.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则下列结论正确的有( )
A. B.
C.的取值范围为 D.的取值范围为
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简,可判断A;结合锐角,可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为,结合A的范围,利用对勾函数单调性,可判断D.
【详解】由题意得在锐角中,,
∴由正弦定理可得 ,
又 ,
故 ,即,
,为锐角, ,
即 ,故选项A正确;
在锐角中,,,故B正确;
由,故C错误;
,
又 , ,
令,则,
由对勾函数性质可知,在时单调递增,
,,
故,故D正确.
故选: .
12.如图,在五面体中,底面为矩形,和均为等边三角形,平面,,,且二面角和的大小均为.设五面体的各个顶点均位于球的表面上,则( )
A.有且仅有一个,使得五面体为三棱柱
B.有且仅有两个,使得平面平面
C.当时,五面体的体积取得最大值
D.当时,球的半径取得最小值
【答案】ABC
【分析】根据棱柱的定义,主要利用线面、面面平行判定和性质定理判定A;利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理判定B;利用体积分割,求得体积关于角度的函数关系,利用导数判定函数单调性,进而求得五面体的体积最大值的条件,从而判定C;利用球的性质找到外接球的球心,进而得到半径的变化规律,从而判定何时外接球的半径最小,从而判定D.
【详解】对于选项A:
∵平面,经过的平面与平面交于直线,∴,
取的中点分别为,连接,则
连接,∵和均为等边三角形,∴,
又∵底面为矩形,∴垂直,
故得二面角的平面角为,
二面角的平面角为,
因为,分别在平面和平面中,平面与平面和分别交于直线,所以当且仅当时,平面平面,
故当且仅当,即时,平面平面,
即五面体为三棱柱,故A正确;
对于选项B:
当平面和平面不平行时,它们的交线为,
由于,平面,平面,∴平面,
又∵平面,平面平面=直线,∴,
∴同理,∴当且仅当时,平面平面,
由于四边形为等腰梯形,∴当且仅当或时,,
∴当且仅当或时,平面平面,
故B正确;
对于选项C:
设的补角为,过A作直线AR与直线PQ垂直相交,垂足为R,连接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,
又∵AD∩AR=A,AD,AR⊂平面ADF,
∴平面ADR⊥直线PQ,
同理做出S,得到平面SBC⊥直线PQ,
为直三棱柱的底面,且RS=EF为直三棱柱的高,
、为三棱锥和的底面上的高
因为,
所以五面体的体积为(如上图)或(如下图)
两种情况下都有,
令则,所以,
对求导得 ,
令得(舍去)或,
,,
故时体积取得极大值也是最大值.
所以,所以.
五面体的体积取得最大值.故C正确;
对于D项:
取等边的中心 ,的中点,过作平面QBC的垂线与过的平面ABCD的垂线的交点即为五面体PQABCD的外接球的球心,如图所示,连接,,则,∵四边形为边长一定的矩形,∴为定值,
∴当且仅当最小,即重合时外接球的半径最小,此时为锐角,
故D不对.
故选:ABC.
三、填空题
13.过直线与的交点,且垂直于直线的直线方程是__________.
【答案】
【分析】求出两线交点,求出垂直于直线的直线的斜率,由点斜式即可求
【详解】由解得,直线的斜率为,
故过且垂直于直线的直线方程为:,即.
故答案为:
14.甲、乙两支乒乓球队体检结果如下:甲队的体重的平均数为,方差为100,乙队体重的平均数为,方差为200;又已知甲、乙两队的队员人数之比为,那么A、B两队全部队员的方差等于___________.
【答案】166
【分析】直接根据平均数和方差公式进行计算,即可得到答案.
【详解】甲队队员在所有队员中所占权重为;
乙队队员在所有队员中所占权重为.
已知甲队的体重的平均数为,方差为;
已知乙队的体重的平均数为,方差为.
所以甲、乙两队全部队员的平均体重为;
甲、乙两队全部队员的体重方差为.
故答案为:
15.如图,三棱锥的底面的斜二测直观图为,已知底面,,,,则三棱锥外接球的体积____________.
【答案】
【分析】根据底面的斜二测直观图为,确定三角形形状以及边长,继而将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体,则三棱锥外接球即为该长方体的外接球,求得球的半径,可得答案.
【详解】由题意可知在斜二测直观图中,,,
则 ,
则在中,,
三棱锥中, ,则可将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体,则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球,
长方体的体对角线长即为外接球的直径,则外接球半径为 ,
故三棱锥外接球的体积,
故答案为:
16.为保护环境,建设美丽乡村,镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站,集中处理三个自然村的垃圾,受当地条件限制,垃圾处理站M只能建在与A村相距,且与C村相距的地方.已知B村在A村的正东方向,相距,C村在B村的正北方向,相距,则垃圾处理站M与B村相距__________.
【答案】或.
【分析】建立平面直角坐标系,求出圆A的方程和圆C的方程,进而求得两圆公共弦的方程,联立圆A的方程求得点M坐标,进而求得答案.
【详解】以A为原点,以为x轴建立平面直角坐标系,则,
以A为圆心,以5为半径作圆A,以C为圆心,以 为半径作圆C,
则圆A的方程为: ,圆C的方程为∶ ,
即 ,
∴两国的公共弦方程为∶
设 ,则 ,解得 或,
即 或 .
∴ 或,
故答案为∶或 .
四、解答题
17.如图,在空间四边形中,已知E是线段的中点,G在上,且.
(1)试用表示向量;
(2)若,求的值.
【答案】(1);
(2)
【分析】(1)由向量的线性运算法则及其几何表示结合图形即可表示;
(2),由向量的数量积运算求值
【详解】(1)∵,∴,
∴,又E是线段的中点,则,
∴;
(2)由(1)可得知
18.设直线的方程为.
(1)若在两坐标轴上的截距相等,求的值;
(2)若不经过第三象限,求的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】(1)先分析斜率为的情况,然后分别考虑轴对应的截距,根据截距相等求解出的值即可;
(2)先分析过定点,然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式,由此求解出的取值范围.
【详解】(1)由题意知,当时不符合题意;
当时,令得,
令得,
若在两坐标轴上的截距相等,则,
解得或.
(2)直线的方程可化为,所以,
所以,所以直线过定点,
如下图所示:
若不经过第三象限,则,解得,
故实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛:根据直线的截距相等求解参数的常规思路:
(1)先考虑直线过坐标原点的情况;
(2)再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况;
(3)两者综合求解出最终结果.
19.已知锐角内角,,的对边分别为,,.若.
(1)求;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)利用正弦定理进行边角互换,再结合三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到,即可得到;
(2)利用正弦定理、三角形内角和和和差公式将转化成,再结合的范围求的范围即可.
【详解】(1),
又为锐角,所以,,
因为为锐角,所以,.
(2)因为,所以,
,
因为三角形为锐角三角形,所以,解得,
令,所以,,
所以.
20.年月日,第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕,会议报告指出,年,国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长.某地为了解居民可支配收入情况,随机抽取人,经统计,这人去年可支配收入(单位:万元)均在区间内,按,,,,,分成组,频率分布直方图如图所示,若上述居民可支配收入数据的第百分位数为.
(1)求的值,并估计这位居民可支配收入的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用样本的频率估计概率,从该地居民中抽取甲、乙、丙人,若每次抽取的结果互不影响,求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率.
【答案】(1);平均值为
(2)
【分析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积和为1,结合第百分位数的性质求解,进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可;
(2)分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可
【详解】(1)由频率分布直方图,可得,
则①
因为居民收入数据的第60百分位数为8.1,
所以,
则②
将①与②联立,解得.
所以平均值为.
(2)根据题意,设事件A,B,C分别为甲、乙、丙在[7.5,8.5)内,则
.
①“抽取3人中有2人在[7.5,8.5)内”,且与与互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义,得
.
②“抽取3人中有3人在[7.5,8.5)内”,由事件独立性定义,得
.
所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5,8.5)内的概率:
.
21.已知四棱锥中,底面是矩形,且,是正三角形,平面,、、、分别是、、、的中点.
(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;
(2)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的大小为,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)
(2)存在,.
【分析】(1)证明出平面,,设,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得结果;
(2)设,其中,利用空间向量法可得出关于的方程,结合可求得的值,即可得出结论.
【详解】(1)解:因为是正三角形,为的中点,所以,,
因为平面,平面,,
,平面,
因为且,、分别为、的中点,所以,且,
所以,四边形为平行四边形,所以,,,则,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
设,则,、、、、、、,
,,
设平面的法向量为,则,
取,可得,易知平面的一个法向量为,
所以,,
因此,平面与平面所成的锐二面角为.
(2)解:假设线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的大小为,
设,其中,
,
由题意可得,
整理可得,因为,解得.
因此,在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的大小为,且.
22.在平面直角坐标系中,圆M是以两点为直径的圆,且圆N与圆M关于直线对称.
(1)求圆N的标准方程;
(2)设,过点C作直线,交圆N于P、Q两点,P、Q不在y轴上.
①过点C作与直线垂直的直线,交圆N于两点,记四边形的面积为S,求S的最大值;
②设直线,相交于点G,试讨论点G是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
【答案】(1)
(2)①7;②点G在定直线上.
【分析】(1)以为直径的圆,圆心为的中点,半径为的一半,则可直接得圆M的方程,然后由对称的性质可得圆N的圆心和半径,写出圆的标准方程即可.
(2)利用点到直线的距离公式,可用的斜率表示出四边形的面积,由均值定理可得其最大值;点在定直线上的问题可以用参数表示出点的坐标,然后研究纵、横坐标之间的联系,确定其所在直线的方程.
【详解】(1)由题意得:为线段的中点,故圆M的圆心坐标为,半径
圆M的方程为:,
因为圆N关于圆M关于直线对称,所以圆N的圆心为
所以圆N的标准方程为:.
(2)解:设直线的方程为,即,
则圆心到直线的距离,所以,
(ⅰ)若,则直线斜率不存在,则,,则,
若,则直线的方程为,即,则圆心到直线的距离,
所以,则,
当且仅当,即时,等号成立.
综上所述,因为,所以S的最大值为7;
(ⅱ)设,联立方程组得:
消y得,则,
直线的方程为,直线的方程为,联立解得
则,
所以,所以点G在定直线上.
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湖北省云学新高考联盟学校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题: 这是一份湖北省云学新高考联盟学校2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题,共8页。试卷主要包含了若,则,过点与圆相切的两条直线垂直,则,如图,在平行六面体中,,,若点在圆上运动,为的中点等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期10月联考(月考)数学试题含解析: 这是一份2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高一上学期10月联考(月考)数学试题含解析,共13页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。