2022-2023学年浙江省精诚联盟高二上学期10月联考数学试题含解析

2022-2023学年浙江省精诚联盟高二上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.

【详解】依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.

故选：D

【点睛】本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.

2．如图，在平行六面体中，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量线性运算求解即可.

【详解】连接，如图所示：

.

故选：B

3．过点的直线与连接的线段总有公共点（不包含端点），则直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图像可知直线从逆时针旋转到时，和线段总有公共点（不包含端点）,算出和，进而根据直线倾斜角和斜率的关系，求出直线的斜率的取值范围.

【详解】

由图像可知直线从逆时针旋转到时，和线段总有公共点（不包含端点），

，，

由直线倾斜角和斜率的关系，可得直线的斜率的取值范围是，

故选：B.

4．下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断

【详解】对于A，由题意得，，而，，

平面，平面，平面，平面，

故平面平面，而平面，故平面，故A正确，

对于B，取的中点，底面中心，则，故与相交，故B错误，

对于C，，故平面，则平面，故C错误，

对于D，作平行四边形，则与相交，故D错误，

故选：A

5．一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.

【详解】设点关于直线的对称点为，

则，化简得，解得，

故反射光线过点与点

则反射光线所在直线的方程为

故选：C

6．在正四面体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接BM,取BM的中点D，连接CD,ND.判断出（或其补角）即为异面直线与所成的角，利用余弦定理即可求得.

【详解】

如图示，连接BM,取BM的中点D，连接CD,ND.

因为分别为和的中点，所以.

所以（或其补角）即为异面直线与所成的角.

在正四面体中，设其边长为2，则，所以.而,.

在中，由余弦定理得：.

即异面直线与所成的角的余弦值为.

故选：A

7．已知圆经过三点，则点到圆上任意一点的距离的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆的方程为，利用待定系数法求出圆的方程，从而可求出圆心和半径，利用两点间的距离公式求出点到圆心的距离的最小值，从而可得出答案.

【详解】解：设圆的方程为，

则，解得，

则圆的方程为，即，

故圆心，半径，

则点到圆心的距离，

当时，，

所以点到圆上任意一点的距离的最小值是.

故选：A.

8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过做截面交于点，则四棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可

【详解】

取的中点，连接

因为是等腰直角三角形且，所以，，，

因为平面平面平面平面平面

所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的建立空间直角坐标系，则

所以，，

因为动点在棱上，所以设，则

所以，，

，，，，

所以点到直线的距离为，

所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即

因为，平面，平面，所以平面，

因为平面，平面平面，所以，所以，

因为点是的中点，所以点是的中点，所以，

，，

，，，，

所以点到直线的距离为

所以梯形的面积为，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，，

所以，

则点到平面的距离，

所以四棱锥的体积为，

故选：B

【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式

二、多选题

9．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的圆心为

B．圆的半径为5

C．点不在圆上

D．圆关于对称

【答案】BD

【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、 B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称.

【详解】可化为：，

所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、 B正确；

因为，所以点在圆上，故C错误；

因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确；

故选：BD.

10．已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．向量与、垂直

B．向量与、共面

C．若与分别是异面直线与的方向向量，则其所成的角的余弦值为

D．向量在向量上的投影向量为

【答案】BC

【分析】利用空间垂直的坐标表示可判断A选项；利用共面向量的基本定理可判断B选项；利用空间向量法可判断C选项的正误；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，故、不垂直，A错；

对于B选项，设，则，

所以，，解得，即，B对；

对于C选项，因为，

所以，直线异面直线与的余弦值为，C对；

对于D选项，向量在向量上的投影向量，D错.

故选：BC.

11．如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（    ）

A．边所在直线的斜率的取值范围是

B．边所在直线在轴上截距的取值范围是

C．边与边所在直线的交点为

D．当的中垂线为时，

【答案】ACD

【分析】求出直线、的斜率，可判断A选项的正误；设点，其中，求出直线在轴上的截距的取值范围，可判断B选项；求出边与边所在直线的交点坐标，可判断C选项；求出直线的斜率，可判断D选项.

【详解】由题意可知，、、、，

，，

对于A选项，边所在直线斜率的取值范围是，A对；

对于B选项，设边的中点为，则，且，

设点，其中为锐角，设，则，

因为，则，

，则，

所以，直线的方程为，即，

所以，边所在直线在轴上截距为，B错；

对于C选项，直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，

因此，边与边所在直线的交点为，C对；

对于D选项，当的中垂线为时，即，则，

则，所以，，D对.

故选：ACD.

12．已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，下列叙述正确的有（    ）

A．点、到正方体个表面的距离分别为、，则为定值

B．线段在正方体个表面的投影长度为，则为定值

C．正方体个顶点到直线的距离分别为，则为定值

D．直线与正方体条棱所成的夹角的，则为定值

【答案】AD

【分析】利用特例法可判断BC选项；求出、到正方体个表面的距离之和，可判断A选项；利用长方体的几何性质可判断D选项.

【详解】对于A选项，设正方体的棱长为，如下图所示：

由正方体的对称性可知，点、关于点对称，点到平面的距离为，

点到平面的距离为，点到平面、的距离之和为，

点到平面、的距离之和为，所以，，同理，，

故为定值，A对；

对于B选项，当为正方体的一条体对角线，

不妨设与线段重合，在正方体各面上的投影长为，

此时，

当平面时，在面、的投影长为，

在面、、、的投影长为，此时，

故不是定值，B错；

对于C选项，当平面时，正方体的八个顶点到直线的距离均为，

此时，，

当与体对角线重合时，点、到直线的距离为，

平面，平面，，且，，

此时，点到直线的距离为，

同理可知，点、、、、到直线的距离均为，此时，

所以，不为定值，C错；

对于D选项，当与正方体的棱平行时，不妨设平面垂直，

此时与棱、、、、、、、都垂直，

与棱、、、都平行，此时，

当不与正方体的棱平行时，过点、分别作正方体的棱的平行线，

构成长方体，

设与棱、、所成的角分别为、、，

由图可知，，同理可得，，

由长方体的几何性质可得，

所以，，此时，

所以，为定值，D对.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的综合问题，解题的关键在于对的位置进行分类讨论，结合长方体的几何性质求解.

三、填空题

13．已知向量若，则___________.

【答案】1

【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解

【详解】由题意得，则，

故答案为：1

14．已知直线则与的距离___________.

【答案】1.5

【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.

【详解】因为，则与的距离，

故答案为：

15．点到直线的距离最大时，___________.

【答案】

【分析】求出直线所过的定点，再根据过定点和点所在直线与已知直线垂直时，点到直线的距离最大，求得已知直线的斜率，即可得出答案.

【详解】解：由直线，

得，

令，解得，

所以直线过定点，

所以当点和点所在的直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，

由点和点所在的直线的斜率为，

得直线的斜率为，

即，解得.

故答案为：0.

16．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.

【答案】

【分析】分析可知的轨迹以点为圆心，半径长为的圆，分析出取最大值和最小值时，点、的位置，利用余弦定理可求得直线与所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解.

【详解】设点在平面内的射影为点，则为正的中心，

为的中点，则，

以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

，则，

平面，平面，，，

则、、、、、，

设点，，，

所以，，可得，

易知的内切圆半径为，故点在内运动，

所以点在以点为圆心，半径长为的圆上运动，作出的平面图如下图所示：

由于点是固定的，当取最大值，此时取最大值，

且此时点为的某个顶点，不妨设点与点重合，则为线段的中点，

此时，，，

所以，；

当取最小值时，则取最小值，

此时点为某边的中点，不妨设点与点重合，

则点为的中点，则，，

所以，.

因此，直线与所成角的余弦值的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角余弦值的取值范围，解本题的关键就是要确定点的轨迹，确定取最大值和最小值时的位置，再结合余弦定理求解.

四、解答题

17．求满足下列条件的直线的一般式方程：

(1)经过直线的交点，且经过点；

(2)与直线垂直，且点到直线的距离为.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）联立直线方程，求交点，根据两点式，可得答案；

（2）根据垂直设出直线方程，由点到直线距离，可得答案.

【详解】(1)由，得，点的坐标为

所求直线又经过点，得直线的两点式：，

所求直线的一般式：.

(2)所求直线与垂直，可设直线的方程为.

又直线到点的距离为，，解得或，

所求的直线方程为或.

18．如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，点分别是的中点，求证：

(1)平面；

(2)平面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）要证线面平行只需在平面中找到一条直线与已知直线平行即可.

（2）证明线面垂直可以直接用线面垂直的判定定理证明直线垂直于平面内的两条相交直线，也可以建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，证明平面的法向量与直线的方向向量平行.

【详解】(1)证明：如图，在直三棱柱中，连接交与点，连接，则点为线段的中点.

在中，点分别为中点

.

平面平面

平面

(2)证法1：如图，设与交于点

在直三棱柱中，平面，平面

又是等腰直角三角形       

      平面

点分别是的中点          平面

又平面     .

，且为中点

         ，即.

平面平面

平面.

证法2：如图建立空间直角坐标系

设，则      

设平面的法向量为

，即，令，则.

平面.

19．已知动点与两个定点的距离的比为2.

(1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)已知，求的最大值.

【答案】(1)，以为圆心2为半径的圆

(2)74

【分析】（1）利用两点距离公式，根据题意，列方程，可得答案；

（2）同（1）整理方程，由定点与圆的位置关系，可得答案.

【详解】(1)设点，则，化简得：.

为以为圆心2为半径的圆.

(2)由题意可得：，

又由的几何意义是到原点的距离的平方，可得：

当坐标为取到最大值74.

20．在中，的平分线所在的直线方程分别是.

(1)求边所在直线的方程；

(2)求的内切圆的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由几何关系知先求关于的对称点，，直线即为直线，

（2）由两角平分线的交点得内切圆圆心，再由点到直线距离公式得半径后求解，

【详解】(1)点关于对称的点坐标为，

过点与垂直的直线为，与交点为，

则点关于对称的点坐标为，

而，边所在直线即为直线.

(2)由题意可知内切圆的圆心即为的交点，联立，

，得，

所以内切圆的圆心坐标为，

设内切圆圆心到直线的距离为，

，故内切圆方程为.

21．如图，在三棱锥中，.

(1)求证：；

(2)若与面所成角的正弦值为，求二面角大小.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接，证明面，再根据线面垂直的性子可得，即可得证；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，与面所成角为，设，利用向量法结合线面角的余弦值求出，再根据，

可得即为二面角的平面角，即可得解.

【详解】(1)证明：取中点，连接，

又面，

面，

又面，

又；

(2)解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

不妨设，与面所成角为，

则，

设，则，

，

，

，

设面的法向量，

则有，

可取，

则

解得或1（舍去）故，

因为，

所以即为二面角的平面角，

所以二面角大小.

22．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)若平面与平面的夹角，求的最小值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在平面内，任取一点，过点分别作的垂线，垂足分别为，进而根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理求解即可；

（2）解法一：结合题意，建立空间直角坐标系，设，进而根据二面角的向量求解方法得点在坐标平面内的直线上，进而分别讨论点关于直线对称点，再根据求解即可；

解法二：延长与的延长线交于点，连接，过作直线垂线，连接，进而得是平面与平面夹角的平面角，再根据对称性求得点关于直线对称点，根据结合余弦定理求解即可.

【详解】(1)解：证明：在平面内，任取一点，过点分别作的垂线，垂足分别为，即

平面平面，平面平面，平面，

平面

又∵平面

同理平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

∵平面

∴

∵平面

平面

(2)解：方法一：由（1）知平面，故如图，建立空间直角坐标系，

则，设，

，

平面的法向量，设平面的法向量；

则有，即，令得，

所以，；

因为平面与平面的夹角，

所以，，解得：；

所以点在坐标平面内的直线上；

当点直线时，可求得点关于直线的对称点，

所以点关于直线的对称点.

所以，“=”成立当且仅当三点共线；

当直线时，同理可求得点关于直线的对称点，

所以点关于直线的对称点.

所以；

综上，的最小值为.

方法二：延长与的延长线交于点，连接，

因为

所以，，

过作直线垂线，连接，即

由（1）知，平面，平面，

所以，

因为平面

所以，平面，

因为平面，

所以，即是平面与平面夹角的平面角；

因为平面与平面的夹角，

所以；

所以；

记点关于直线的对称点为，则，.

所以，

所以，“=”成立当且仅当三点共线；

所以的最小值为