2022-2023学年山东省日照市东港区新营中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年山东省日照市东港区新营中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号运载火箭的重量大约是将数据用科学记数法表示，结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由几个相同的小正方体搭建成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列命题是真命题的是(    )

A. 一个正数的算术平方根一定比这个数小 B. 若，则
C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. “守株待兔”是必然事件

6.  将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若不等式组无解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度：坡度坡面铅直高度与水平宽度的比斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  如图，在中，，点在边上，过的内心作于点若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动运动到点停止，过点作于点，则的面积与点运动的时间之间的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  二次函数为常数，的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为，与轴的一个交点在点和点之间，有下列结论：
；
；
；
；
为任意实数．
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12.  我们将如图所示的两种排列形式的个数分别叫做“三角形数”如，，，和“正方形数”如，，，，在不大于数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  若单项式与是同类项，则的平方根是______．

14.  若关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______．

15.  如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是上一动点．将沿直线折叠，点落在点处．在上任取一点，连接，，，则的周长的最小值为______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，▱的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，，与交于点若图象经过点，且，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．
已知是关于的一元二次方程的一个实数根，求方程的另一个根及的值．

18.  本小题分
为深入落实“双减”政策，学校从九年级中的学生随机抽取男生和女生共名，对他们周末完成书面作业的时间小时进行调查，统计结果分为四档：档：；档：；档：；档：根据调查结果，制作了两张不完整的统计图表．其中男生周末完成书面作业的时间数据单位：小时如下：
，，，，，，，，，，，，，，

图表：男生周末完成书面作业时间频数分布表
在图表的频数分布表中，______，______，男生周末完成书面作业时间的众数是______小时；
在图表的扇形统计图中，女生周末完成书面作业时间的中位数在______档在、、、中选填；
若学校在周末完成书面作业时间为档的同学中随机抽取名同学了解情况，请用画树状图或列表的方法，求抽取的名同学都是女生的概率．

19.  本小题分
在月日“世界地球日”前夕，某企业计划向草原地区捐赠甲、乙两种树苗，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且甲种树苗棵数比乙种树苗棵数的倍多棵，购买两种树苗的总金额为万元．
求计划捐赠的甲、乙两种树苗共多少棵；
为保证绿化效果，该企业决定在原计划的基础上，追加捐赠甲、乙两种树苗共棵，所有树苗的运输费等其它费用共需元，若保证总费用不超过万元，则追加的甲种树苗至少有多少棵？

20.  本小题分
如图，为直径，是上一点，于点，弦与交于点，过点作，使，交的延长线于点过点作的切线交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求弧的长；
若：：，，求的长．

21.  本小题分
综合与实践
问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
猜想证明：
如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
如图，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
 

22.  本小题分
如图，已知抛物线经过和两点，直线与轴相交于点，是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点，抛物线与轴的交点为，．

求该抛物线的表达式；
当时，求点的坐标；
若轴交于点且点是直线上方，求的最大值；
若以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点，点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数，可得负数的绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了的相反数，先求绝对值，再求相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是，
故选：．
平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变图形的形状大小．
本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是熟记平移的定义．确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：综合主视图和俯视图，底层有个小立方体，第二层有个小立方体，因此搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为个．
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．依此即可求解．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
 

5.【答案】 

【解析】解：比如：的算术平方根仍然是，等于它本身，所以选项不符合题意；
B.若，则，所以选项不符合题意；
C.三角形的任意两边之和大于第三边，正确，所以选项符合题意；
D.“守株待兔”是随机事件，原题的假命题，所以选项不符合题意；
故选：．
A、根据算术平方根的定义举反例即可作出判断；是已经学习了的定理；对于，“守株待兔”是随机事件．
本题考查真命题与假命题，判断一件事情的语句叫命题；题设成立，结论也成立的命题称为真命题；题设成立，结论不一定成立的命题称为假命题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
不等式组无解，
，解得．
故选：．
先把当作已知条件求出不等式的解集，再根据不等式组无解即可得出的取值范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，
在中，：，
米，
在中，，米，，
米，
米；
即建筑物的高度约为米．
故选：．
延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，，过点作于点．

是的内心，
，
在和中，
≌，
，
是的内心，
，
在和中，
≌，
，，
，
在和中，
≌，
，
设，
，
，
，
．
故选：．
如图，连接，，，，过点作于点证明≌，推出，，证明≌，推出，设，根据，可得，求出即可解决问题．
本题考查三角形的内心，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
当时，点在边上，如图所示：

此时，
，
，
，
∽，
，
，，
；
当时，点在边上，如图所示：

此时，
，
，
，
∽，
，
，，
，
．
故选：．
根据勾股定理求出，再分别求出和时的，的长，再用三角形的面积公式写出与的函数解析式即可．
本题考查动点问题的函数图象以及相似三角形的判定和性质，关键是用分类讨论的思想求出函数解析式．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线图象开口向下，对称轴在轴的右侧，图象与轴的另一个交点在点和点之间，即图象与轴的交点在轴的负半轴，
，，，
，故错误；
由图象可知，时，，
，故错误；
抛物线的顶点坐标为，
，，
将顶点坐标带入函数解析式可得：，
，即，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，即，故正确．
抛物线的图象开口向下，顶点坐标为，
为任意实数，故正确．
故选：．
根据抛物线的图象开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；
根据时，，即可判断．
根据对称轴直线是，即可判断．
根据抛物线与轴有两个不同的交点，可知，即可判断．
根据抛物线的顶点坐标为，函数有最大值，由此即可判断．
本题考查二次函数与轴的交点、二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知第个“三角形数”为，第个“正方形数”为，
当时，；
当时，；
即最大的“三角形数”为；
当时，；
当时，；
即最大的“正方形数”为；
，
故选：．
由题意知第个“三角形数”为，第个“正方形数”为，根据“三角形数”、“正方形数”及在不大于数中寻找出最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”为，即可得到答案．
本题考查图形与数字规律，解题的关键是根据图形得到第个“三角形数”为，第个“正方形数”为．
 

13.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，，
，，

的平方根是．
故答案为：．
由单项式与是同类项，由同类项的定义可求得和的值，再代入计算即可求解．
本题考查了同类项，解决本题的关键是明确同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同．
 

14.【答案】且 

【解析】解：，
方程两边同乘得，，
解得，，
，
，
由题意得，，
解得，，
故答案为：且．
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，当点固定时，连接交于，连接，此时的周长最小，最小值．

四边形是矩形，
，，，
，
的周长的最小值，
当最小时，的周长最小，
，
，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为：．
如图，当点固定时，连接交于，连接，此时的周长最小，最小值当最小时，的周长最小，求出的最小值即可解决问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

将沿轴翻折，使点落在轴上的点处，
，
，
，
，
设，则，，
四边形是平行四边形，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
即，而，
．
故答案为：．
连接，，根据折叠的性质得到，得到，求得，设，则，根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质，得到，，根据的面积即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，折叠的性质，平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式；
设方程的另一根为，
则，
解得：，
则，
方程的另一个根为，的值为． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可；
根据一元二次方程根与系数的关系计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，分式的混合运算法则、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：由题意知，，男生周末完成书面作业时间的众数是小时，
故答案为：、、；
，
，
，
女生周末完成书面作业时间的中位数在档，
故答案为：．
女生总人数为人，
则女生档人数为人，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中抽取的名同学都是女生的有种等可能结果，
所以抽取的名同学都是女生的概率为．
根据已知数据和众数的概念求解即可；
根据中位数的概念求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设计划捐赠乙种树苗棵，则捐赠甲种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
．
答：计划捐赠甲种树苗棵，乙种树苗棵．
设追加甲种树苗棵，则追加乙种树苗棵，
依题意得：，
解得：．
答：追加的甲种树苗至少有棵． 

【解析】设计划捐赠乙种树苗棵，则捐赠甲种树苗棵，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出计划捐赠乙种树苗的棵数，再将其代入中即可求出计划捐赠甲种树苗的棵数；
设追加甲种树苗棵，则追加乙种树苗棵，根据要保证总费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：连接，如图所示：

，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；

解：为切线，
，
，
，
，
的长；

解：连接，如图所示：

：：，
设，则，
，
，，
，
在中，由勾股定理可知，即，
解得，
，，
，，
∽，
，即，解得． 

【解析】连接，如图，先证明，再证明，然后利用得到，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
由切线的性质得，则利用四边形内角和可计算出，然后根据弧长公式可计算出弧的长；
由：：，设，则，则可表示出，再利用得到，然后在中，根据勾股定理得到，再解方程求出即可得到、，由∽得到，代值求解即可答案．
本题考查圆综合，涉及切线的判断与性质、弧长公式求弧长、相似三角形的判定与性质、勾股定理求线段长等知识．在判断切线时，理解圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，连接，，过点作于，

，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线经过和两点，
将和代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；

轴交于点，交轴于，如图所示：

，，
，
∽，
，
抛物线的解析式为，
当时，即，解得，，
，，
设，则，
，
，，，，
把、、、代入，
，即，
解得或，
或与重合，舍去；

设直线的解析式为，
把和代入得：，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
，
联立，
解得，，
轴，轴，
，
∽，
，即，
，
设点，，则，
，
，
，抛物线开口向下，有最大值，，
当时，有最大值为；

轴，
轴，即，
根据题意，分两种情况：
当∽时，
，
轴，，，
点纵坐标是，横坐标，即，解得，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
点，点；
当∽时，
，
过点作于点，如图所示：

∽，
，
设点，则，，解得，
，，
综上所述，点，点或点，点． 

【解析】直接利用待定系数法，即可求出解析式；
由，结合，，得到∽，利用相似三角形性质，根据相似比代值求解即可得到答案；
先求出点的坐标，然后证明∽，再由二次函数的最值性质，求出答案；
根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
本题考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．