2022-2023学年陕西省西安市九年级（下）第一次质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市九年级（下）第一次质检数学试卷

一、选择题（本大题共7小题，共21.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知正比例函数中，随的增大而增大，则一次函数的图象所经过的象限是(    )

A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四

5.  如图，是的高，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在矩形中，，是的中点，于点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

8.  在实数，，，中有理数有______个．

9.  中国航天的脚步不只在月球，还迈向了公里之外的火星，年，“天问一号”在火星留下了属于中国人的印记．数据用科学记数法表示为______．

10.  若边形内角和是外角和的倍，则______．

11.  如图，平行四边形的顶点在坐标原点上，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是        ．

12.  如图，在矩形中，，，点是矩形内部一动点，且，点是边上一动点，连接，，则的最小值为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

13.  某玩具店购进年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共个，花去元，这两种吉祥物的进价、售价如表：

求冰墩墩、雪容融各购进了多少个？
售卖中途由于冰墩墩受到广大游客的喜爱被一抢而空，商家又紧急购进了一批冰墩墩，最后和雪容融一起被卖完．若已知商家最后获取的利润不少于元，请问商家第二次至少购进了多少个冰墩墩？

四、解答题（本大题共13小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
解分式方程：．

18.  本小题分
如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：．

19.  本小题分
如图方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
画出关于原点的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标．
画出将绕原点逆时针方向旋转度后的图形．

20.  本小题分
年月日：，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲作为“太空教师”，分别为大家演示了：微重力环境下毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，旋转类演示实验“会调头的扳手”杨老师组织同学观看四个实验后写感想杨老师将四个实验的名称分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上，每位同学随机抽取一张，做好记录后放回，并向同伴分享对应实验的观看收获
小明抽到写有“太空趣味饮水”卡片，并分享观后收获的概率为        ；
通过列表或对状图，求出小明和同桌小华刚好都抽到写有“会调头的扳手”卡片，并分享观后收获的概率．

21.  本小题分
如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形保留作图痕迹，不写作法．

22.  本小题分
如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为已知液压杆，当，时，求的长参考数据：，，，
 

23.  本小题分
我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生名将测试结果统计如下：

根据上述信息回答下列问题：
求得        ，        ．
被抽取初三女生秒垫球个数的中位数所落在的范围是        ．
若我校今年参加中考的考生有人，其中男生有人，女生有人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数男生秒垫球个及以上为满分，女生秒内垫球个及以上为满分

24.  本小题分
如图，是半圆的直径，为半圆上的点不与，重合，连接，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．
求证：是半圆的切线；
若，，求半圆的半径及的长．

25.  本小题分
已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．
求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
在轴上是否存在点使为直角三角形？若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
问题提出
如图，在矩形中，点为边上一点，若则矩形的面积为______ ．
问题探究
如图，在中，，边上的中线，，求面积的最大值．
问题解决
为迎接十四运，园林设计部门准备在奥体广场用鲜花拼成一个平行四边形的花卉展览场地供市民观赏如图所示，在平行四边形中，点为边上一点且，，米为了种植更多的鲜花，要求四边形的面积尽可能大请问四边形面积是否存在最大值？如果存在，请计算四边形面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
．
故选：．
根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算即可求出答案．
本题考查整式的加减运算、乘除运算法则、积的乘方运算，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限．
故选：．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、四象限．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的高，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，
，
解得，
．
故选：．
先在中，利用的余弦和正弦求出，，再在中，利用正切的定义求出，然后计算即可．
本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：延长、交于，

点是的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
．
，
，
故选：．
延长、交于，利用证明≌，得再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线关于轴翻折部分的解析式为，
令，整理得，
当时，直线与抛物线相切，
解得，
把代入得，
解得，，
抛物线与轴交点坐标为，，
把代入得，
解得，
当直线与新图象有个交点时，的取值范围是．
故选B．
求出二次函数图象关于轴翻折后的解析式，求出直线与翻折后抛物线相切时的值，求出直线经过图象与轴右侧交点时的值，结合图象即可求解．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，以及二次函数与一元二次方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
有理数有和两个．
故答案为：．
利用有理数的定义求解即可．
本题考查的是有理数的定义，解题关键是知道什么样的数是有理数．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据多边形内角和公式和外角和为可得方程，再解方程即可．
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，

，，，
≌，
与的面积相等，
又顶点在反比例函数上，
的面积的面积相等，
同理可得：的面积的面积相等，
平行四边形的面积，
故答案为：．
先过点作轴于点，过点作轴于点，再根据反比例函数系数的几何意义，求得的面积的面积相等，的面积的面积相等，最后计算平行四边形的面积．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点为的中点，由题意可知，点在以为直径的半圆上运动，
作半圆及线段关于的对称图形半圆，点的对称点为，点的对称点为，
连接，，则，
易知当点，，，共线时，的值最小，为的长，
如图所示，

在中，，，
，
又，
，即的最小值为．
故答案为：．
根据得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将进行转化．
本题考查线段和最短问题，轴对称的性质，以及圆周角定理等知识，解题的关键是将进行转化．
 

13.【答案】解：设冰墩墩购进了个，雪容融购进了个，由题意可得，
，
解得，，
答：冰墩墩购进了个，雪容融购进了个；
设商家第二次购进了个冰墩墩，由题意得，
，
，
为整数，
的最小值为，
答：商家第二次至少购进了个冰墩墩． 

【解析】设冰墩墩购进了个，雪容融购进了个，由题意可列出二元一次方程组，解方程组可得出答案；
设商家第二次购进了个冰墩墩，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
本题主要考查了负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识，掌握运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：，，，
解得，
在数轴上表示不等式的解集，如图，
 

【解析】先解一元一次不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可求解．
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
 

17.【答案】解：


，
检验：把代入，
是原方程的增根，原方程无解． 

【解析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程一定要验根是解题的关键．
先去分母，再解整式方程，一定要验根．
 

18.【答案】证明：解法一：
四边形是菱形，

，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解法二：
连接，
四边形是菱形，

，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明≌即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明≌即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
画如图，即为所求．
 

【解析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
 

20.【答案】 

【解析】解：共有个试验，
小明抽到写有“太空趣味饮水”卡片，并分享观后收获的概率为；
画树状图如图，

共有种等可能结果，小明和同桌小华刚好都抽到写有“会调头的扳手”卡片的情况有种情形，
享观后收获的概率为．
根据概率公式直接计算即可求解；
运用画树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可．
本题考查的是根据概率公式求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：如下图：

正方形即为所求． 

【解析】先作两条互相垂直的直径，再顺次连接即可．
本题考查了复杂作图，掌握正方形和圆的位置关系是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，

，
，
，
，
，

 

【解析】利用锐角三角函数可求，的长，即可求解，结合图形求得的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：，
女生总人数为：名，
则．
故答案为：，；
由中位数的定义可知，被抽取初三女生秒垫球个数的中位数所落在的范围是．
故答案为：；


名．
故估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为名．
用男生总人数减去其余各组人数可得的值，先根据女生所占的百分数和频率求得女生总人数，用女生总人数减去其余各组人数可得的值，即可解决问题；
由中位数的定义求解即可；
由男生总人数乘获得满分男生的人数所占的比例加上女生总人数乘获得满分女生的人数所占的比例即可．
本题考查读频数率分布表的能力和利用统计图获取信息的能力，用样本估计总体，中位数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

24.【答案】证明：连接，如图，

点为弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
是半圆的切线．
解：连接，如图，

是半圆的直径，
，
，
，
∽，
，即，
，
半圆的半径为．
设与相交于点，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，即，
即，
． 

【解析】根据点为弧的中点，得出，然后得出，根据平行线的性质得出，进而即可求解；
连接，设与相交于点，证明∽，得出，证明∽得出，进而证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．
本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：将代入的解析式得：，
．
将代入的解析式得：，
解得，
即．
将点和点的坐标代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
点的坐标为．
当时，如图所示：

时，
，
又，
，
．
，，
；
当时，则．
，
，
即，
解得：．
，
的坐标为，
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式求得，的值，利用配方法求得点的坐标即可；
当时，，可得到点的坐标，从而得到，然后再求得的长；当时，依据可求得的长，从而可得到的坐标．
本题考查的是二次函数的应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图中，

四边形矩形，点在上，
，
故答案为：．

如图中，延长到，使得，连接，．

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
当时，的面积最大，此时的面积最大，最大面积．

如图中，作交于，作交的延长线于．

，
的面积最大时平行四边形的面积最大，
，，
四边形，四边形都是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
当时，的面积最大，最大值，
此时的面积最大，最大值，
平行四边形的面积的最大值为．
根据，求解即可．
如图中，延长到，使得，连接，转化为定角对定边模型解决问题即可．
如图中，作交于，作交的延长线于转化为定角对定边模型解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角形的面积，定角对定边模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．