还剩30页未读，
继续阅读
2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学一模试卷（含答案）
展开
这是一份2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学一模试卷（含答案），共33页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学一模试卷
一、选择题(共16个小题，1-10小题每题3分；11-16小题每题2分，共42分).
1．下列代数式的运算结果为a12的是（ ）
A．a6+a6 B．a2•a6 C．a6•a6 D．a12÷a
2．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．﹣（+2）的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
4．下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A． B．3 C．2 D．2﹣
5．如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，小丽先沿北偏东57°走了一段距离后，转弯沿北偏西33°再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处∠ABC的度数为（ ）
A．33° B．57° C．90° D．100°
6．小数“0.00105”用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×10﹣3 B．1.05×10﹣4 C．10.5×10﹣4 D．0.105×10﹣3
7．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要x个小立方块，最少要y个小立方块，则x+y等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下，小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．应补充：且∠DAC＝∠ACB B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD D．应补充，且AD∥CB
9．若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
10．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．
11．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
12．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A﹣∠B B．∠A：∠B：∠C＝5：2：3
C．， D．a：b：c＝2：2：4
14．已知一组数据x1，x2，x3，…，x20的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x20+2的平均数为（ ）
A．7 B．9 C．21 D．23
15．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．14 D．9
二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分。其中18小题第一空2分,第二空1分；19小题每空1分)
17．计算：＝ ．
18．图1是边长分别为a和3a的矩形纸片，将4张相同的纸片紧密拼接，能得到三个正方形图案（如图2），设正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，正方形MNPQ的面积为S3．
（1）S2＝ （用含a的代数式表示）；
（2）S1与S3的关系是 ．
19．如图，在直角坐标系xOy中，△OAB是等边三角形，反比例函数y＝的图象经过点A，点A坐标为（1，）．
（1）则k＝ ；
（2）如果以点B为顶点作等边△BA1B1，使点B1在x轴上，点A1在反比例函数y＝的图象上，则点A1的坐标为 ；
（3）若要使点B1在反比例函数y＝的图象上，需将△BA1B1向上平移 个单位长度．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知方程组的解是一对正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
21．在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了 户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有 户；
（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad，例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2，根据上述规定解决下列问题：
（1）计算（6，﹣4）★（4，﹣9）；
（2）若（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，求x的值．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣2bx+c（b，c是常数）．
（1）当b＝2，c＝3时，求二次函数的最大值；
（2）当c＝6时，函数有最大值为10，求b的值；
（3）当c＝3b且自变量1≤x≤5时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
25．如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+5．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点C（3，0），且与直线l1交于点D（t，﹣1）．
（1）写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；
（2）连接BC，求△BCD的面积；
（3）直线l2上是否存在一点P，使得△APB的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
26．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，BD⊥AC于点D，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(本大题共16个小题，1-10小题每题3分；11-16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列代数式的运算结果为a12的是（ ）
A．a6+a6 B．a2•a6 C．a6•a6 D．a12÷a
【分析】根据同底数幂的乘除运算即可求出答案．
解：A、原式＝2a6，故A不符合题意．
B、原式＝a8，故B不符合题意．
C、原式＝a12，故C符合题意．
D、原式＝a11，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除运算，本题属于基础题型．
2．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B．此图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；
D．此图形中AD不是AB边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．﹣（+2）的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解：﹣（+2）＝﹣2，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
4．下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A． B．3 C．2 D．2﹣
【分析】根据实数运算的法则对各选项进行逐一解答即可．
解：A、×＝，故A错误；
B、×3＝3，故B错误；
C、×2＝6，故C正确；
D、×（2﹣）＝2﹣3，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数运算的法则是解答此题的关键．
5．如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，小丽先沿北偏东57°走了一段距离后，转弯沿北偏西33°再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处∠ABC的度数为（ ）
A．33° B．57° C．90° D．100°
【分析】根据题意可得：∠CAB＝57°，∠DBC＝33°，AC∥DE，然后利用平行线的性质可得∠ABE＝∠CAB＝57°，再利用平角定义，进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
∠CAB＝57°，∠DBC＝33°，AC∥DE，
∴∠ABE＝∠CAB＝57°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠ABE＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．小数“0.00105”用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×10﹣3 B．1.05×10﹣4 C．10.5×10﹣4 D．0.105×10﹣3
【分析】科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：0.00105＝1.05×10﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
7．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要x个小立方块，最少要y个小立方块，则x+y等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据左视图以及俯视图，可以在俯视图中标出各个位置的正方体的个数，进而得到x+y的值．
解：如图，根据俯视图标数法，可知最多需要7个，最少需要5个，即x+y＝12，
（第2行3个空可相互交换）
故选：A．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
8．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下，小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．应补充：且∠DAC＝∠ACB B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD D．应补充，且AD∥CB
【分析】由平行四边形的判定方法即可判断．
解：A、应补充：且∠DAC＝∠ACB，得到AD∥BC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形，正确，故A不符合题意；
B、应补充：且AB＝CD，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形，正确，故B不符合题意；
C、应补充：且AB∥CD，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故C符合题意．
D、应补充，且AD∥CB，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形，正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，中心对称，旋转的性质，关键是掌握：平行四边形的判定方法．
9．若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．
解：∵ab≠0，
∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；
①当a＞0，b＞0时，
+＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时，
+＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时，
+＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时，
+＝﹣1+1＝0；
综上所述，+的值为：±2或0．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的定义，运用分类讨论思想和熟练掌握并正确运用绝对值的定义是正确解题的关键．
10．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．
【分析】由正方形的边长为1，可得的长度为2，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB＝lr，计算即可．
解：∵正方形的边长为1，
∴的长度＝2，
∴S扇形DAB＝lr＝×2×1＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB＝lr．
11．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，
∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，
∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，
∴AC∥DF，
故C不符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，
∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
12．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，故可先求得k的值．
解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，
由于点（0.2，500）在此函数解析式上，
∴k＝0.2×500＝100，
∴y＝．
故选：B．
【点评】考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A﹣∠B B．∠A：∠B：∠C＝5：2：3
C．， D．a：b：c＝2：2：4
【分析】利用三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
解：A、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a＝c．b＝c，
∴a2+b2＝（c）2+（c）2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c＝2：2：4，
∴设a＝2k，b＝2k，c＝4k，
∵a+b＝2k+2k＝4k＝c，
∴不能组成三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．已知一组数据x1，x2，x3，…，x20的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x20+2的平均数为（ ）
A．7 B．9 C．21 D．23
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3，…，3x20的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
解：∵一组数据x1，x2，x3，…，x20的平均数为7，
∴x1+x2+x3+…+x20＝7×20＝140，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x20+2的平均数为：
（3x1+2+3x2+2+3x3+2+…+3x20+2）
＝[3（x1+x2+x3+…+x20）+40]
＝23，
故选：D．
【点评】此题考查算术平均数，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
15．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，注意x为整数．
解：设每组预定的学生为x人，
由题意可得，，
解得21＜x＜22，
∵x为正整数，
∴x＝22，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．14 D．9
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴CD＝DB，
∴△ADC的周长＝CD+DA+AC＝DB+DA+AC＝AB+AC＝10+4＝14，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，点到直线的距离，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分。其中18小题第一空2分,第二空1分；19小题每空1分)
17．计算：＝ 5 ．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
18．图1是边长分别为a和3a的矩形纸片，将4张相同的纸片紧密拼接，能得到三个正方形图案（如图2），设正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，正方形MNPQ的面积为S3．
（1）S2＝ 10a2 （用含a的代数式表示）；
（2）S1与S3的关系是 S1＝4S3 ．
【分析】（1）根据题意和图形，可知S2＝EF2，然后代入数据计算即可；
（2）根据题意和图形，可以分别计算出S1和S3，然后即可得到它们的关系．
解：（1）由图可得，
S2＝EF2＝a2+（3a）2＝a2+9a2＝10a2，
故答案为：10a2；
（2）由图可得，
S1＝（a+3a）2＝（4a）2＝16a2，
S3＝（3a﹣a）2＝（2a）2＝4a2，
∴S1＝4S3，
故答案为：S1＝4S3．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在直角坐标系xOy中，△OAB是等边三角形，反比例函数y＝的图象经过点A，点A坐标为（1，）．
（1）则k＝ ；
（2）如果以点B为顶点作等边△BA1B1，使点B1在x轴上，点A1在反比例函数y＝的图象上，则点A1的坐标为 ；
（3）若要使点B1在反比例函数y＝的图象上，需将△BA1B1向上平移 个单位长度．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，根据等边三角形的性质得到点B（2，0），设BD＝m，则A1D＝，得到点A1的坐标为，再将其代入函数解析中求出m，即可求解；
（3）先求出点，将x＝代入反比例函数中，得，则点在反比例函数的图象上，以此即可求解．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，），
∴，
∴k＝；
故答案为：；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，如图，
∵点A坐标为（1，），
∴OC＝1，
∵△AOB为等边三角形，
∴OB＝2OC＝2，
∴B（2，0），
∵△A1BB1为等边三角形，
∴∠BA1D＝30°，BD＝B1D＝，
设BD＝m，则A1D＝，
∴点A1的坐标为，
∵点A1在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得：m＝或（不合题意，舍去），
∴点A1的坐标为；
故答案为：；
（3）由（2）知，B（2，0），BD＝，
∴BB1＝2BD＝，OB1＝OB+BB1＝，
∴，
将x＝代入反比例函数中，得，
∴点在反比例函数的图象上，
∴要使点B1在反比例函数的图象上，需将△BA1B1向上平移个单位长度．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求反比例函数解析式、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，利用等边三角形的性质算出点A1的坐标是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知方程组的解是一对正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
【分析】（1）首先解关于x，y的方程组，根据解是一对正数即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围；
（2）根据a的范围确定2a+1和a﹣2的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可求解．
解：（1）解原方程组可得：，
因为方程组的解为一对正数
所以有 ，
解得：，
即a的取值范围为：；
（2）由（1）可知：2a+1＞0，
2﹣a＞0，
所以：2a+1＞0，
a﹣2＜0，
即|2a+1|+|a﹣2|，
＝（2a+1）+（2﹣a），
＝2a+1+2﹣a，
＝2a+3．
【点评】本题考查解一元一次方程组，去绝对值，解二元一次不等式组的解集，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了 200 户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有 480 户；
（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．
【分析】（1）根据题意即可得本次随机调查的户数；
（2）根据题意计算出选择A：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；
（3）结合两幅图形所给信息即可估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有多少户；
（4）根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
解：（1）根据题意，得
30÷15%＝200（户），
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
（2）∵200﹣80﹣40﹣30＝50（户），
∴条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，
（3）2400×＝480（户），
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
（4）根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是＝．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad，例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2，根据上述规定解决下列问题：
（1）计算（6，﹣4）★（4，﹣9）；
（2）若（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，求x的值．
【分析】（1）根据题干所给公式计算可得；
（2）由题意得出（2x+1）×（﹣1）﹣（﹣3）×（1﹣x）＝27，解之可得．
解：（1）（6，﹣4）★（4，﹣9）
＝﹣4×4﹣6×（﹣9）
＝﹣16+54
＝38；
（2）∵（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，
∴（2x+1）×（﹣1）﹣（﹣3）×（1﹣x）＝27，
解得x＝﹣5．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义和有理数的混合运算顺序与运算法则、解一元一次方程的能力．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣2bx+c（b，c是常数）．
（1）当b＝2，c＝3时，求二次函数的最大值；
（2）当c＝6时，函数有最大值为10，求b的值；
（3）当c＝3b且自变量1≤x≤5时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
【分析】（1）当b＝3，c＝4时，y＝﹣x2﹣6x+4＝﹣（x+3）2+13，即可求解；
（2）当c＝6，函数有最大值为10时，根据二次函数的性质即可求解；
（3）分﹣b＜1、1≤﹣b≤5、﹣b＞5分别求解即可．
解：（1）当b＝3，c＝4时，
y＝﹣x2﹣6x+4
＝﹣（x+3）2+13，
∴当x＝﹣3时，y最大＝13；
（2）当c＝6，
则y＝﹣x2﹣2bx+6
＝﹣（x+b）2+b2+6，
∵函数有最大值为10，
∴b2+6＝10，
∴b＝±2；
（3）当c＝3b时，
y＝﹣x2﹣2bx+3b
＝﹣（x+b）2+3b+b2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣b，
①﹣b＜1时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大．
∴﹣（1+b）2+3b+b2＝10，
∴b＝11；
②1≤﹣b≤5，当x＝﹣b时，y最大．
∴﹣（﹣b+b）2+3b+b2＝10，
∴b1＝﹣5，b2＝2（舍去）；
③﹣b＞5时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最大．
∴﹣（5+b）2+3b+b2＝10，
∴b＝﹣5（舍去），
综上所述可得：b＝11或b＝﹣5，
∴二次函数的表达式：y＝﹣x2﹣22x+33或y＝﹣x2+10x﹣15．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、韦达定理的运用等，综合性强，难度较大．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD＝，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．
解：（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP＝16.9cm．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△ABD∽△DCP是解本题的关键．
25．如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+5．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点C（3，0），且与直线l1交于点D（t，﹣1）．
（1）写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；
（2）连接BC，求△BCD的面积；
（3）直线l2上是否存在一点P，使得△APB的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
【分析】（1）把点D（t，﹣1）代入y＝﹣3x+5即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l2的解析式；
（2）由y＝﹣3x+5求得A、B的坐标，从而求得AC的长，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）作点A关于直线l2的对称点A′，连接BA′交直线 l2于P，连接A′C，此时PA+PB的值最小，即△APB的周长最小，求出A′的坐标，然后求得直线BA′的解析式，最后与直线l2的解析式联立，解方程即可解决问题．
解：（1）∵直线l1经过点D（t，﹣1），
∴﹣1＝﹣3t+5，解得t＝2，
∴D（2，﹣1），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2经过点C（3，0），D（2，﹣1），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣3；
（2）由直线l1的表达式为y＝﹣3x+5可知A（，0），B（0，5），
∴AC＝3﹣＝，
∴S△BCD＝×（5+1）＝4；
（3）存在，理由如下：
作点A关于直线l2的对称点A′，连接BA′交直线 l2于P，连接A′C，此时PA+PB的值最小，即△APB的周长最小，
由直线l2为y＝x﹣3可知，∠ACD＝45°，
由轴对称的性质可知∠A′CD＝∠ACD＝45°，
∴∠ACA′＝90°，
∵A′C＝AC＝，C（3，0），
∴A′（3，﹣）
设此时BA′的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BA′的解析式为y＝﹣x+5，
解得，
∴P（，﹣）．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会根据轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
26．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，BD⊥AC于点D，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A＝60°，求出∠AQP＝30°，则AP＝AQ，再由题意得：AP＝3tcm，QB＝tcm，则AQ＝（12﹣t）cm，得3t＝（12﹣t），求解即可；
（2）过点P作PM⊥AB于M，过点Q作QN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性质得AP＝2AM，QB＝2BN，则AM＝t，BN＝t，再由勾股定理得PM＝t，QN＝t，得S△APQ＝9t﹣t2，证△BQE是等边三角形，得BE＝QB＝t，然后求出S△BQE＝t2，S△ABC＝36，求解即可；
（3）①当四边形PQED是平行四边形时，则PD＝QE，证△BQE是等边三角形，得QB＝QE＝PD，则t＝6﹣3t，求解即可；
②当四边形PDQE是平行四边形时，则PD＝QE，同①得△BQE是等边三角形，得QB＝QE＝PD，则t＝3t﹣6，求解即可．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠PQ⊥AC，
∴∠APQ＝90°，
∴∠AQP＝90°﹣60°＝30°，
∴AP＝AQ，
由题意得：AP＝3tcm，QB＝tcm，则AQ＝（12﹣t）cm，
∴3t＝（12﹣t），
解得：t＝，
∴当t为s时，PQ⊥AC；
（2）过点P作PM⊥AB于M，过点Q作QN⊥BC于N，如图1所示：
∴∠AMP＝∠QNB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠APM＝∠BQN＝30°，
∴AP＝2AM，QB＝2BN，
∴AM＝t，BN＝t，
在Rt△AMP中，由勾股定理得：PM＝＝＝t，
在Rt△QNB中，由勾股定理得：QN＝＝＝t，
∴S△APQ＝AQ•PM＝×（12﹣t）×t＝9t﹣t2，
∵OE∥AC，
∴∠QEB＝∠C＝60°，
∵∠QBE＝60°，
∴△BQE是等边三角形，
∴BE＝QB＝t，
∴S△BQE＝BE•QN＝×t×t＝t2，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝6，
∴S△ABC＝AC•BD＝×12×6＝36，
∴y＝S△ABC﹣S△APQ﹣S△BQE＝36﹣（9t﹣t2）﹣t2＝36﹣9t+t2，
∴当点P在线段AD上时，y与t的关系式为：y＝36﹣9t+t2；
（3）存在，理由如下：
①当四边形PQED是平行四边形时，如图2所示：
则PD＝QE，
∵OE∥AC，
∴∠QEB＝∠C＝60°，
∵∠QBE＝60°，
∴△BQE是等边三角形，
∴QB＝QE＝PD，
∵AD＝6，
∴PD＝6﹣3t，
∴t＝6﹣3t，
∴t＝；
②当四边形PDQE是平行四边形时，如图3所示：
则PD＝QE，
同①得：△BQE是等边三角形，
∴QB＝QE＝PD，
∵AD＝6，
∴PD＝3t﹣6，
∴t＝3t﹣6，
∴t＝3；
综上所述，当t为s或3s时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明△BQE是等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学一模试卷
一、选择题(共16个小题，1-10小题每题3分；11-16小题每题2分，共42分).
1．下列代数式的运算结果为a12的是（ ）
A．a6+a6 B．a2•a6 C．a6•a6 D．a12÷a
2．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．﹣（+2）的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
4．下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A． B．3 C．2 D．2﹣
5．如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，小丽先沿北偏东57°走了一段距离后，转弯沿北偏西33°再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处∠ABC的度数为（ ）
A．33° B．57° C．90° D．100°
6．小数“0.00105”用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×10﹣3 B．1.05×10﹣4 C．10.5×10﹣4 D．0.105×10﹣3
7．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要x个小立方块，最少要y个小立方块，则x+y等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下，小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．应补充：且∠DAC＝∠ACB B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD D．应补充，且AD∥CB
9．若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
10．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．
11．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
12．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A﹣∠B B．∠A：∠B：∠C＝5：2：3
C．， D．a：b：c＝2：2：4
14．已知一组数据x1，x2，x3，…，x20的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x20+2的平均数为（ ）
A．7 B．9 C．21 D．23
15．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．14 D．9
二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分。其中18小题第一空2分,第二空1分；19小题每空1分)
17．计算：＝ ．
18．图1是边长分别为a和3a的矩形纸片，将4张相同的纸片紧密拼接，能得到三个正方形图案（如图2），设正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，正方形MNPQ的面积为S3．
（1）S2＝ （用含a的代数式表示）；
（2）S1与S3的关系是 ．
19．如图，在直角坐标系xOy中，△OAB是等边三角形，反比例函数y＝的图象经过点A，点A坐标为（1，）．
（1）则k＝ ；
（2）如果以点B为顶点作等边△BA1B1，使点B1在x轴上，点A1在反比例函数y＝的图象上，则点A1的坐标为 ；
（3）若要使点B1在反比例函数y＝的图象上，需将△BA1B1向上平移 个单位长度．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知方程组的解是一对正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
21．在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了 户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有 户；
（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad，例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2，根据上述规定解决下列问题：
（1）计算（6，﹣4）★（4，﹣9）；
（2）若（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，求x的值．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣2bx+c（b，c是常数）．
（1）当b＝2，c＝3时，求二次函数的最大值；
（2）当c＝6时，函数有最大值为10，求b的值；
（3）当c＝3b且自变量1≤x≤5时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
25．如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+5．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点C（3，0），且与直线l1交于点D（t，﹣1）．
（1）写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；
（2）连接BC，求△BCD的面积；
（3）直线l2上是否存在一点P，使得△APB的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
26．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，BD⊥AC于点D，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(本大题共16个小题，1-10小题每题3分；11-16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列代数式的运算结果为a12的是（ ）
A．a6+a6 B．a2•a6 C．a6•a6 D．a12÷a
【分析】根据同底数幂的乘除运算即可求出答案．
解：A、原式＝2a6，故A不符合题意．
B、原式＝a8，故B不符合题意．
C、原式＝a12，故C符合题意．
D、原式＝a11，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除运算，本题属于基础题型．
2．画△ABC的边BC上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；
B．此图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；
C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；
D．此图形中AD不是AB边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．﹣（+2）的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解：﹣（+2）＝﹣2，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
4．下列各数中，与的积为有理数的是（ ）
A． B．3 C．2 D．2﹣
【分析】根据实数运算的法则对各选项进行逐一解答即可．
解：A、×＝，故A错误；
B、×3＝3，故B错误；
C、×2＝6，故C正确；
D、×（2﹣）＝2﹣3，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数运算的法则是解答此题的关键．
5．如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，小丽先沿北偏东57°走了一段距离后，转弯沿北偏西33°再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处∠ABC的度数为（ ）
A．33° B．57° C．90° D．100°
【分析】根据题意可得：∠CAB＝57°，∠DBC＝33°，AC∥DE，然后利用平行线的性质可得∠ABE＝∠CAB＝57°，再利用平角定义，进行计算即可解答．
解：如图：
由题意得：
∠CAB＝57°，∠DBC＝33°，AC∥DE，
∴∠ABE＝∠CAB＝57°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠ABE＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．小数“0.00105”用科学记数法表示为（ ）
A．1.05×10﹣3 B．1.05×10﹣4 C．10.5×10﹣4 D．0.105×10﹣3
【分析】科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：0.00105＝1.05×10﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
7．用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要x个小立方块，最少要y个小立方块，则x+y等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据左视图以及俯视图，可以在俯视图中标出各个位置的正方体的个数，进而得到x+y的值．
解：如图，根据俯视图标数法，可知最多需要7个，最少需要5个，即x+y＝12，
（第2行3个空可相互交换）
故选：A．
【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
8．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉琪发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下，小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处．
∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．应补充：且∠DAC＝∠ACB B．应补充：且AB＝CD
C．应补充：且AB∥CD D．应补充，且AD∥CB
【分析】由平行四边形的判定方法即可判断．
解：A、应补充：且∠DAC＝∠ACB，得到AD∥BC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形，正确，故A不符合题意；
B、应补充：且AB＝CD，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形，正确，故B不符合题意；
C、应补充：且AB∥CD，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故C符合题意．
D、应补充，且AD∥CB，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形，正确，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，中心对称，旋转的性质，关键是掌握：平行四边形的判定方法．
9．若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．
解：∵ab≠0，
∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；
①当a＞0，b＞0时，
+＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时，
+＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时，
+＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时，
+＝﹣1+1＝0；
综上所述，+的值为：±2或0．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值的定义，运用分类讨论思想和熟练掌握并正确运用绝对值的定义是正确解题的关键．
10．数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．
【分析】由正方形的边长为1，可得的长度为2，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB＝lr，计算即可．
解：∵正方形的边长为1，
∴的长度＝2，
∴S扇形DAB＝lr＝×2×1＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB＝lr．
11．木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，
∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，
∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，
∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，
∴AC∥DF，
故C不符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，
∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，
故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
12．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2m，则表示y与x函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，可设y＝，由于点（0.2，500）在此函数解析式上，故可先求得k的值．
解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，
由于点（0.2，500）在此函数解析式上，
∴k＝0.2×500＝100，
∴y＝．
故选：B．
【点评】考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠C＝∠A﹣∠B B．∠A：∠B：∠C＝5：2：3
C．， D．a：b：c＝2：2：4
【分析】利用三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
解：A、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a＝c．b＝c，
∴a2+b2＝（c）2+（c）2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a：b：c＝2：2：4，
∴设a＝2k，b＝2k，c＝4k，
∵a+b＝2k+2k＝4k＝c，
∴不能组成三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
14．已知一组数据x1，x2，x3，…，x20的平均数为7，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x20+2的平均数为（ ）
A．7 B．9 C．21 D．23
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3，…，3x20的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数．
解：∵一组数据x1，x2，x3，…，x20的平均数为7，
∴x1+x2+x3+…+x20＝7×20＝140，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x20+2的平均数为：
（3x1+2+3x2+2+3x3+2+…+3x20+2）
＝[3（x1+x2+x3+…+x20）+40]
＝23，
故选：D．
【点评】此题考查算术平均数，掌握平均数的计算方法是解决问题的关键．
15．某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（ ）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，然后求解即可，注意x为整数．
解：设每组预定的学生为x人，
由题意可得，，
解得21＜x＜22，
∵x为正整数，
∴x＝22，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝10，AC＝4，则△ACD的周长是（ ）
A．24 B．18 C．14 D．9
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴CD＝DB，
∴△ADC的周长＝CD+DA+AC＝DB+DA+AC＝AB+AC＝10+4＝14，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，点到直线的距离，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分。其中18小题第一空2分,第二空1分；19小题每空1分)
17．计算：＝ 5 ．
【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可．
解：原式＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
18．图1是边长分别为a和3a的矩形纸片，将4张相同的纸片紧密拼接，能得到三个正方形图案（如图2），设正方形ABCD的面积为S1，正方形EFGH的面积为S2，正方形MNPQ的面积为S3．
（1）S2＝ 10a2 （用含a的代数式表示）；
（2）S1与S3的关系是 S1＝4S3 ．
【分析】（1）根据题意和图形，可知S2＝EF2，然后代入数据计算即可；
（2）根据题意和图形，可以分别计算出S1和S3，然后即可得到它们的关系．
解：（1）由图可得，
S2＝EF2＝a2+（3a）2＝a2+9a2＝10a2，
故答案为：10a2；
（2）由图可得，
S1＝（a+3a）2＝（4a）2＝16a2，
S3＝（3a﹣a）2＝（2a）2＝4a2，
∴S1＝4S3，
故答案为：S1＝4S3．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在直角坐标系xOy中，△OAB是等边三角形，反比例函数y＝的图象经过点A，点A坐标为（1，）．
（1）则k＝ ；
（2）如果以点B为顶点作等边△BA1B1，使点B1在x轴上，点A1在反比例函数y＝的图象上，则点A1的坐标为 ；
（3）若要使点B1在反比例函数y＝的图象上，需将△BA1B1向上平移 个单位长度．
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，根据等边三角形的性质得到点B（2，0），设BD＝m，则A1D＝，得到点A1的坐标为，再将其代入函数解析中求出m，即可求解；
（3）先求出点，将x＝代入反比例函数中，得，则点在反比例函数的图象上，以此即可求解．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，），
∴，
∴k＝；
故答案为：；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，如图，
∵点A坐标为（1，），
∴OC＝1，
∵△AOB为等边三角形，
∴OB＝2OC＝2，
∴B（2，0），
∵△A1BB1为等边三角形，
∴∠BA1D＝30°，BD＝B1D＝，
设BD＝m，则A1D＝，
∴点A1的坐标为，
∵点A1在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得：m＝或（不合题意，舍去），
∴点A1的坐标为；
故答案为：；
（3）由（2）知，B（2，0），BD＝，
∴BB1＝2BD＝，OB1＝OB+BB1＝，
∴，
将x＝代入反比例函数中，得，
∴点在反比例函数的图象上，
∴要使点B1在反比例函数的图象上，需将△BA1B1向上平移个单位长度．
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求反比例函数解析式、等边三角形的性质、坐标与图形变化﹣平移，利用等边三角形的性质算出点A1的坐标是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．已知方程组的解是一对正数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简：|2a+1|+|a﹣2|．
【分析】（1）首先解关于x，y的方程组，根据解是一对正数即可得到一个关于a的不等式组，从而求得a的范围；
（2）根据a的范围确定2a+1和a﹣2的符号，然后根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可求解．
解：（1）解原方程组可得：，
因为方程组的解为一对正数
所以有 ，
解得：，
即a的取值范围为：；
（2）由（1）可知：2a+1＞0，
2﹣a＞0，
所以：2a+1＞0，
a﹣2＜0，
即|2a+1|+|a﹣2|，
＝（2a+1）+（2﹣a），
＝2a+1+2﹣a，
＝2a+3．
【点评】本题考查解一元一次方程组，去绝对值，解二元一次不等式组的解集，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．在疫情期间，线上买菜需求激增，某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：天虹到家，B：叮咚买菜，C：每日优选，D：盒马鲜生）
（1）本次随机调查了 200 户居民；
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若小区共有2400户居民，请估计该小区居民选择“C：每日优选”的大约有 480 户；
（4）某日下午，王阿姨想购买橙子和卷心菜，各APP的供货情况如下：天虹到家仅有橙子在售，叮咚买菜仅有卷心菜在售，每日优选仅有卷心菜在售，盒马鲜生的橙子、卷心菜均已全部售完，求王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率．
【分析】（1）根据题意即可得本次随机调查的户数；
（2）根据题意计算出选择A：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；
（3）结合两幅图形所给信息即可估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有多少户；
（4）根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
解：（1）根据题意，得
30÷15%＝200（户），
答：本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
（2）∵200﹣80﹣40﹣30＝50（户），
∴条形统计图的A：天虹到家为50户，
如图为补全的条形统计图，
（3）2400×＝480（户），
答：估计该小区居民选择“C：每日优鲜”的大约有480户；
故答案为：480；
（4）根据题意画出树状图，
根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是＝．
答：王阿姨随机选择两个不同的APP能买到橙子和卷心菜的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．
22．对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad，例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2，根据上述规定解决下列问题：
（1）计算（6，﹣4）★（4，﹣9）；
（2）若（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，求x的值．
【分析】（1）根据题干所给公式计算可得；
（2）由题意得出（2x+1）×（﹣1）﹣（﹣3）×（1﹣x）＝27，解之可得．
解：（1）（6，﹣4）★（4，﹣9）
＝﹣4×4﹣6×（﹣9）
＝﹣16+54
＝38；
（2）∵（﹣3，2x+1）★（﹣1，1﹣x）＝27，
∴（2x+1）×（﹣1）﹣（﹣3）×（1﹣x）＝27，
解得x＝﹣5．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握新定义和有理数的混合运算顺序与运算法则、解一元一次方程的能力．
23．已知二次函数y＝﹣x2﹣2bx+c（b，c是常数）．
（1）当b＝2，c＝3时，求二次函数的最大值；
（2）当c＝6时，函数有最大值为10，求b的值；
（3）当c＝3b且自变量1≤x≤5时，函数有最大值为10，求此时二次函数的表达式．
【分析】（1）当b＝3，c＝4时，y＝﹣x2﹣6x+4＝﹣（x+3）2+13，即可求解；
（2）当c＝6，函数有最大值为10时，根据二次函数的性质即可求解；
（3）分﹣b＜1、1≤﹣b≤5、﹣b＞5分别求解即可．
解：（1）当b＝3，c＝4时，
y＝﹣x2﹣6x+4
＝﹣（x+3）2+13，
∴当x＝﹣3时，y最大＝13；
（2）当c＝6，
则y＝﹣x2﹣2bx+6
＝﹣（x+b）2+b2+6，
∵函数有最大值为10，
∴b2+6＝10，
∴b＝±2；
（3）当c＝3b时，
y＝﹣x2﹣2bx+3b
＝﹣（x+b）2+3b+b2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣b，
①﹣b＜1时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大．
∴﹣（1+b）2+3b+b2＝10，
∴b＝11；
②1≤﹣b≤5，当x＝﹣b时，y最大．
∴﹣（﹣b+b）2+3b+b2＝10，
∴b1＝﹣5，b2＝2（舍去）；
③﹣b＞5时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最大．
∴﹣（5+b）2+3b+b2＝10，
∴b＝﹣5（舍去），
综上所述可得：b＝11或b＝﹣5，
∴二次函数的表达式：y＝﹣x2﹣22x+33或y＝﹣x2+10x﹣15．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、韦达定理的运用等，综合性强，难度较大．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD＝，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．
解：（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴，
∴CP＝16.9cm．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△ABD∽△DCP是解本题的关键．
25．如图，直线l1的表达式为y＝﹣3x+5．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点C（3，0），且与直线l1交于点D（t，﹣1）．
（1）写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；
（2）连接BC，求△BCD的面积；
（3）直线l2上是否存在一点P，使得△APB的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．
【分析】（1）把点D（t，﹣1）代入y＝﹣3x+5即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l2的解析式；
（2）由y＝﹣3x+5求得A、B的坐标，从而求得AC的长，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）作点A关于直线l2的对称点A′，连接BA′交直线 l2于P，连接A′C，此时PA+PB的值最小，即△APB的周长最小，求出A′的坐标，然后求得直线BA′的解析式，最后与直线l2的解析式联立，解方程即可解决问题．
解：（1）∵直线l1经过点D（t，﹣1），
∴﹣1＝﹣3t+5，解得t＝2，
∴D（2，﹣1），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2经过点C（3，0），D（2，﹣1），
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣3；
（2）由直线l1的表达式为y＝﹣3x+5可知A（，0），B（0，5），
∴AC＝3﹣＝，
∴S△BCD＝×（5+1）＝4；
（3）存在，理由如下：
作点A关于直线l2的对称点A′，连接BA′交直线 l2于P，连接A′C，此时PA+PB的值最小，即△APB的周长最小，
由直线l2为y＝x﹣3可知，∠ACD＝45°，
由轴对称的性质可知∠A′CD＝∠ACD＝45°，
∴∠ACA′＝90°，
∵A′C＝AC＝，C（3，0），
∴A′（3，﹣）
设此时BA′的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BA′的解析式为y＝﹣x+5，
解得，
∴P（，﹣）．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会根据轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
26．如图，在等边三角形ABC中，边长为12cm，BD⊥AC于点D，点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3cm/s；同时点Q由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点Q的直线QE∥AC，交BC于点E，连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）当点P在线段AD上时，设四边形PQEC的面积为ycm2，求y与t的关系式；
（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A＝60°，求出∠AQP＝30°，则AP＝AQ，再由题意得：AP＝3tcm，QB＝tcm，则AQ＝（12﹣t）cm，得3t＝（12﹣t），求解即可；
（2）过点P作PM⊥AB于M，过点Q作QN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性质得AP＝2AM，QB＝2BN，则AM＝t，BN＝t，再由勾股定理得PM＝t，QN＝t，得S△APQ＝9t﹣t2，证△BQE是等边三角形，得BE＝QB＝t，然后求出S△BQE＝t2，S△ABC＝36，求解即可；
（3）①当四边形PQED是平行四边形时，则PD＝QE，证△BQE是等边三角形，得QB＝QE＝PD，则t＝6﹣3t，求解即可；
②当四边形PDQE是平行四边形时，则PD＝QE，同①得△BQE是等边三角形，得QB＝QE＝PD，则t＝3t﹣6，求解即可．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠PQ⊥AC，
∴∠APQ＝90°，
∴∠AQP＝90°﹣60°＝30°，
∴AP＝AQ，
由题意得：AP＝3tcm，QB＝tcm，则AQ＝（12﹣t）cm，
∴3t＝（12﹣t），
解得：t＝，
∴当t为s时，PQ⊥AC；
（2）过点P作PM⊥AB于M，过点Q作QN⊥BC于N，如图1所示：
∴∠AMP＝∠QNB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠APM＝∠BQN＝30°，
∴AP＝2AM，QB＝2BN，
∴AM＝t，BN＝t，
在Rt△AMP中，由勾股定理得：PM＝＝＝t，
在Rt△QNB中，由勾股定理得：QN＝＝＝t，
∴S△APQ＝AQ•PM＝×（12﹣t）×t＝9t﹣t2，
∵OE∥AC，
∴∠QEB＝∠C＝60°，
∵∠QBE＝60°，
∴△BQE是等边三角形，
∴BE＝QB＝t，
∴S△BQE＝BE•QN＝×t×t＝t2，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝6，
∴S△ABC＝AC•BD＝×12×6＝36，
∴y＝S△ABC﹣S△APQ﹣S△BQE＝36﹣（9t﹣t2）﹣t2＝36﹣9t+t2，
∴当点P在线段AD上时，y与t的关系式为：y＝36﹣9t+t2；
（3）存在，理由如下：
①当四边形PQED是平行四边形时，如图2所示：
则PD＝QE，
∵OE∥AC，
∴∠QEB＝∠C＝60°，
∵∠QBE＝60°，
∴△BQE是等边三角形，
∴QB＝QE＝PD，
∵AD＝6，
∴PD＝6﹣3t，
∴t＝6﹣3t，
∴t＝；
②当四边形PDQE是平行四边形时，如图3所示：
则PD＝QE，
同①得：△BQE是等边三角形，
∴QB＝QE＝PD，
∵AD＝6，
∴PD＝3t﹣6，
∴t＝3t﹣6，
∴t＝3；
综上所述，当t为s或3s时，使得以P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明△BQE是等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
相关试卷
2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考三模数学试题： 这是一份2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考三模数学试题，共7页。
2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）： 这是一份2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学三模试卷（含解析）： 这是一份2023年河北省沧州市南皮县桂和中学中考数学三模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
