2023年浙江省金华市中考数学质检试卷（一）（含答案）

这是一份2023年浙江省金华市中考数学质检试卷（一）（含答案），共32页。试卷主要包含了2022的相反数是，下列运算正确的是，国家卫健委网站消息等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省金华市中考数学质检试卷（一）
一．选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．2022的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
2．下列运算正确的是（　　）
A．2x+y＝2xy B．x2•x3＝x6 C．2x6÷x2＝2x4 D．4x﹣5x＝﹣1
3．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（　　）
年龄（岁）
14
15
16
17
18
人数（人）
1
4
3
2
2
A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15
4．国家卫健委网站消息：截至2022年5月27日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次，用科学记数法表示33亿是（　　）
A．3.3×108 B．33×108 C．3.3×109 D．3.3×1010
5．已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
6．已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）cm2．
A．15π B．45π C．30π D．20π
7．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（　　）

A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤900
8．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（　　）

A． B． C． D．
10．矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示．若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ＝（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．从﹣3、﹣1、﹣π、0、3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是 　 　．
13．一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为 　 　．

16．如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB＝a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知BD＝3a米，QD＝3a米，则tan∠AQB＝　 　；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.5a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离 　 　米时，刚好能成功防守．

三．解答题（本题共8小题，共66分）
17．计算：+20220．
18．如图是由小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图1中的AB上画出△ABC的高线；
（2）在图2中的AC上找出一点E，画线段BE，使△ABE与△CBE面积比为3：7两部分；
（3）在图3中的BC上找一点F，画∠BAF，使得∠C＝2∠BAF．


19．为响应上级“双减”号召，某校开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次调查了 　 　人．
（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数．
（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．

20．图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民李阿姨测温时的手绘图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，额头为F，枪身DE与身体FQ保持垂直，量得胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠DBH的度数．
（2）根据疫情防控相关操作要求，规定测温时枪身端点E与额头F之间的距离需在3cm到5cm之间．若∠ABC＝75°，李阿姨与测温员之间的距离为48cm．求此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离，并判断测温枪与额头之间的距离是否在规定范围内，说明相应理由．（结果保留小数点后两位．参考数据：≈1.414，≈1.732）

21．如图，已知AB是⊙O的直径，△ABD为⊙O的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，OF⊥AD于点E，交CD于点F，∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求的长．

22．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点．
①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系．
②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值．

23．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC＝2，∠BOC＝60°，D为BC中点．某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E．
（1）点E的坐标为 　 　．
（2）好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R．若y′＝PQ+PR，点P横坐标为x．y′关于x的图象如图2，其中图象最低点F、G横坐标分别为、﹣．
①求y′与x之间的函数关系式．②写出该函数的两条性质．
（3）已知1＜x＜4
①若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：
由x2﹣4x﹣m＝0得m＝x2﹣4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围，请你完成解题过程．
②若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，求直接写出m的取值范围．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，4）、C（0，4）．将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA'B'C'，此时直线OA'、直线B'C'分别与直线BC相交于点P、Q．

（1）四边形OABC的形状是 　 　，当α＝90°时，的值是 　 　；
（2）①如图2，当四边形OA’B’C’的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA’B’C’的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一．选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．2022的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．2022 D．﹣2022
【分析】直接根据相反数的概念解答即可．
解：2022的相反数等于﹣2022，
故选：D．
【点评】此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．下列运算正确的是（　　）
A．2x+y＝2xy B．x2•x3＝x6 C．2x6÷x2＝2x4 D．4x﹣5x＝﹣1
【分析】根据合并同类项法则可以判断A和D；
根据同底数幂的乘法可以判断B；
根据整式的除法可以判断C．
解：A选项中2x与y不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B选项x2•x3＝x5，故该选项错误，不符合题意；
C选项根据单项式除以单项式的法则，系数相除，同底数幂相除，故该选项正确，符合题意；
D选项4x﹣5x＝﹣x，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，单项式除以单项式，解题时注意不是同类项不能合并．
3．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（　　）
年龄（岁）
14
15
16
17
18
人数（人）
1
4
3
2
2
A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15
【分析】根据众数的定义，出现最多的数据是众数；中位数是位于中间的数，即第6、7名队员，在求出这两个数的平均数即可．
解：∵年龄为15岁出现了4次，为最多次，故众数为15，
∵第6、7名队员的年龄分别为16、16，故中位数为16，
故选：A．
【点评】本题考查了众数及中位数的概念，在确定中位数的时候应该先排序，确定众数的时候一定要仔细观察．
4．国家卫健委网站消息：截至2022年5月27日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次，用科学记数法表示33亿是（　　）
A．3.3×108 B．33×108 C．3.3×109 D．3.3×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：33亿＝33×108＝3.3×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　）
A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′
【分析】根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补，列出式子计算即可．
解：180°﹣76°22′＝103°38′，
故选：A．
【点评】本题考查了补角的定义，度分秒的换算，掌握1°＝60′是解题的关键．
6．已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是（　　）cm2．
A．15π B．45π C．30π D．20π
【分析】根据圆锥侧面积的公式：底面周长×母线长÷2，进行计算即可得．
解：圆锥的侧面积：2π×3×5÷2＝15π（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积，掌握圆锥侧面积的公式是关键．
7．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（　　）

A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900
C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤900
【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，根据“冰墩墩单价×冰墩墩个数+雪容融单价×雪容融个数≤900”可得不等式．
解：设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，
根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．
8．在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（　　）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
【分析】首先确定AB的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出a的取值范围，即可得到正确选项．
解：∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
∴AB＜2，
∵点A所表示的实数为4，
∴2＜b＜6，
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE＝4EB，EF⊥AC于F，连结FB，则tan∠CFB＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据EF⊥AC及∠C＝90°得到EF∥BC，从而得到，再在Rt△ABC中，∠A＝30°，设AB＝2x，则BC＝x，AC＝，从而表示出CF，最后根据锐角三角函数的定义求出tan∠CFB．
解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
设AB＝2x，则CB＝x，
∴AC＝，
∴CF＝AC＝，
∴tan∠CFB＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形，涉及到平行线的判定，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数的定义等，解题关键是熟练使用相关概念进行推理．
10．矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕EF，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕MN，展开铺平后如图所示．若折痕EF与MN较小的夹角记为θ，则sinθ＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】过D作DH⊥AC于H，由翻折可得∠EOA＝∠EOC＝90°，∠MOD＝∠MOB＝90°，即可得∠DOH＝∠MOE＝θ，根据BC＝2AB，设AB＝m＝CD，则BC＝2m＝AD，即得AC＝m，OA＝OC＝OD＝m，由面积法得DH＝＝m，在Rt△DOH中，sin∠DOH＝＝，即得sinθ＝．
解：过D作DH⊥AC于H，如图：

根据题意可得：∠EOA＝∠EOC＝90°，∠MOD＝∠MOB＝90°，
∴∠EOD+∠DOH＝90°，∠MOE+∠EOD＝90°，
∴∠DOH＝∠MOE＝θ，
由矩形纸片ABCD中，BC＝2AB，
设AB＝m＝CD，则BC＝2m＝AD，
∴AC＝＝（m），
∴OA＝OC＝OD＝m，
∵2S△ADC＝AD•CD＝AC•DH，
∴DH＝＝m，
在Rt△DOH中，
sin∠DOH＝＝＝，
∴sinθ＝，
故选：A．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，作辅助线构造直角三角形解决问题．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠﹣3　．
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：x≠﹣3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
12．从﹣3、﹣1、﹣π、0、3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是 　　．
【分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得．
解：∵在﹣3．﹣1，﹣π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1、﹣π共3个，
∴抽取一个数，恰好为负数的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，则b的值为 　2022　．
【分析】一元二次方程x2+bx+2021＝0的一个根为x＝﹣1，那么就可以把x＝﹣1代入方程，从而可直接求b的值．
解：把x＝﹣1代入x2+bx+2021＝0中，得
1﹣b+2021＝0，
解得b＝2022，
故答案是：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝　3　．

【分析】由折叠的性质得出∠EPQ＝∠EPF＝∠DPF＝90°，AE＝EP，BE＝EP，CD＝PD，则可求出AB＝2，则可求出PD的长，则可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵折叠矩形后，A，B，C恰好都落在同一点P上，
∴∠EPQ＝∠EPF＝∠DPF＝90°，AE＝EP，BE＝EP，CD＝PD，
∴E，P，D三点共线，Q，P，F三点共线，AE＝BE，
∵AE＝1，
∴AB＝2AE＝2，
∴CD＝2，
∴PD＝2，
∴DE＝PE+PD＝1+2＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，求出AB的长是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为 　或　．

【分析】分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，②如图2，∠AB'D'＝90°，分别作辅助线，构建相似三角形，证明三角形相似列比例式可得对应a的值．
解：分两种情况：
①如图1，∠D'AB'＝90°，延长C'B'交AB于G，过点D'作D'H⊥AB，交BA的延长线于H，

∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，
∵tan∠ABD＝，即，
设B'G＝3x，BG＝4x，
∴BB'＝a＝5x，
由平移得：DD'＝BB'＝5x，
∴D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，
∴AG＝AB＝BG＝4﹣4x，
∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，
∠AD'H+∠HAD'＝90°，
∴∠AD'H＝∠GAB'，
∵∠H＝∠AGB'＝90°，
∴△D'HA∽△AGB'，
∴，即＝，
∴x＝，
∴a＝5×＝；
②如图2，∠AB'D'＝90°，延长C'B'交AB于M，则C'M⊥AB，

∴∠AMB'＝90°，
由平移得：B'C'＝BC＝3，
同理设B'M＝3m，BM＝4m，则BB'＝a＝5m，
∴AM＝4﹣4m，
∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，
∴∠D'B'C'＝∠MAB'，
∵∠C'＝∠AMB'＝90°，
∴△D'C'B'∽△B'MA，
∴，即，
∴m＝，
∴a＝5m＝5×＝；
综上，a的值是或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平移的性质、勾股定理、三角函数、三角形相似的性质和判定、直角三角形的性质等知识点；解题关键是画出两种情况的图形，依题意进行分类讨论．
16．如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB＝a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知BD＝3a米，QD＝3a米，则tan∠AQB＝　　；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.5a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离 　a　米时，刚好能成功防守．

【分析】如图，过点B作BH⊥AQ于H，计算BH和HQ的长，根据三角函数定理可得tan∠AQB＝；延长MN交AD于E，取MN的中点O，过点N作JK⊥AD于K，过点O作OJ⊥JK于J，根据三角函数定义列比例式计算JN和NK的长，可得结论．
解：如图，过点B作BH⊥AQ于H，

Rt△ADQ中，AD＝a+3a＝4a，DQ＝3a，
∴AQ＝5a，
Rt△ABH中，sinA＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝a，
∴AH＝a，
∴HQ＝5a﹣a＝a，
∴tan∠AQB＝＝＝；
延长MN交AD于E，取MN的中点O，过点N作JK⊥AD于K，过点O作OJ⊥JK于J，
Rt△MNQ中，MN＝0.5a＝a，
∴tan∠MQN＝＝，
∴MQ＝a，
∴NQ＝＝a，
∵BQ＝3a，
∴BN＝BQ﹣NQ＝3a﹣a＝a，
∵∠DBQ＝45°，
∴BK＝NK＝a，
∵BH∥EM，
∴∠ABH＝∠AEM，
∵∠AHB＝∠EKN＝90°，
∴∠A＝∠ENK＝∠ONJ，
∵cos∠ONJ＝＝cosA＝，
∵O是MN的中点，
∴ON＝a，
∴NJ＝a，
∴JK＝JN+NK＝a+a＝a，
即MN中点与AB距离a米时，刚好能成功防守．
故答案为：，a．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
三．解答题（本题共8小题，共66分）
17．计算：+20220．
【分析】将二次根式化为最简二次根式，将特殊角的三角函数值求出来，计算出代数式的绝对值，再计算出0指数幂，最后进行加减运算即可．
解：原式＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握0指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．如图是由小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图1中的AB上画出△ABC的高线；
（2）在图2中的AC上找出一点E，画线段BE，使△ABE与△CBE面积比为3：7两部分；
（3）在图3中的BC上找一点F，画∠BAF，使得∠C＝2∠BAF．


【分析】（1）先判断出BC＝AC＝5，进而AB边上的高也是AB边的中线，所以找出AB的中点即为垂足，而中点利用矩形的对角线的交点即为中点，进而可作出高线；
（2）在线段AC上截取AE＝，连接BE即可；
（3）先判断出AC＝BC，利用格点找到T点，连接AG（使AG⊥BC）交BC于点F，点F即为所求作．
解：（1）如图：CD即为所求；

（2）如图：BE即为所求；在线段AC上截取AE＝，则EC＝5﹣＝，
∵△ABE与△CBE面积比即为AE：EC＝3：7．

（3）如图：点F即为所求．CT⊥AB，AF⊥BC，∠B是公共角，所以∠BAF＝∠TCB，
又因为∠ACB＝2∠TCB，所以∠ACB＝2∠BAF．

【点评】本题考查了作图﹣应用和设计作图，熟悉网格中的垂直作图规则是解题的关键．
19．为响应上级“双减”号召，某校开设了阅读、运动、娱乐、其他等四个方面的课后延学活动．下面是随机抽取的部分同学参加活动的统计情况，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次调查了 　200　人．
（2）补全折线统计图，并求出扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数．
（3）若该校共有2400名学生，试估算参加“阅读”方面活动的共有多少人．

【分析】（1）根据运动人数40人所占的百分比是20%计算总人数；
（2）根据各部分所占的百分比求得娱乐和其他的人数，进行补全折线统计图；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）40÷20%＝200（人），
∴在这次研究中，一共调查了200名学生；
（2）娱乐人数：200×40%＝80（人），
其他人数：200﹣60﹣40﹣80＝20（人），
补全折线统计图如图：

∴根据人数占比可知，
∴扇形统计图中“其他”所对的圆心角度数为10%×360°＝36°；
（3）（人），
答：参加“阅读”方面活动的大约有720人．
【点评】本题考查了折线统计图，扇形统计图，求扇形统计图中某项的圆心角以及用样本估计总体，掌握扇形统计图反映的是各部分所占总体的百分比，折线统计图反映的是事物的变化趋势是关键．
20．图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民李阿姨测温时的手绘图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，额头为F，枪身DE与身体FQ保持垂直，量得胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．
（1）求∠DBH的度数．
（2）根据疫情防控相关操作要求，规定测温时枪身端点E与额头F之间的距离需在3cm到5cm之间．若∠ABC＝75°，李阿姨与测温员之间的距离为48cm．求此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离，并判断测温枪与额头之间的距离是否在规定范围内，说明相应理由．（结果保留小数点后两位．参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】（1）过点D作DG⊥BH，垂足为G，则DE＝HG＝8cm，从而求出BG的长，然后在Rt△DGB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）延长HB交MN于点K，利用（1）的结论可求出∠ABK＝45°，然后在Rt△ABK中，利用锐角三角函数的定义进行计算求出BK，从而求出EF的长，进行比较即可解答．
解：（1）过点D作DG⊥BH，垂足为G，

则DE＝HG＝8cm，
∵BH＝28cm，
∴BG＝BH﹣HG＝20（cm），
在Rt△DGB中，DB＝40cm，
∴cos∠DBH＝＝＝，
∴∠DBH＝60°，
∴∠DBH的度数为60°；
（2）延长HB交MN于点K，

则∠AKB＝90°，
∵∠DBH＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠ABK＝180°﹣∠DBG﹣∠ABK＝45°，
在Rt△ABK中，AB＝24cm，
∴BK＝AB•cos45°＝24×＝12（cm），
∴EF＝48﹣BK﹣BH＝48﹣12﹣28≈3.03（cm），
∴此时枪身端点E与李阿姨额头F之间的距离约为3.03cm，
∵规定范围在3cm到5cm之间，
∴在规定范围内．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，△ABD为⊙O的内接三角形，C为BA延长线上一点，连接CD，OF⊥AD于点E，交CD于点F，∠ADC＝∠AOF．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求的长．

【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得∠OAD+∠AOF＝90°，再根据等腰三角形的性质，可得∠OAD＝∠ODA，从而可得∠ADC+∠ODA＝90°，进而可得∠ODC＝90°，即可得证；
（2）在Rt△ODC中，由可得∠C＝30°，然后证明△OAD是等边三角形，解直角三角形△ABD求出AD＝2，可得OD＝2，再利用弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵OF⊥AD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠OAD+∠AOF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC＝∠AOF，
∴∠ADC+∠ODA＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
解：在Rt△ODC中，，
∴∠C＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝，
∴OD＝2，
∴的长为：．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点．
①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系．
②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①若y1＝y2，则M、N关于抛物线对称轴对称，即可求解；
②y1﹣y2＝（x12﹣4x1+3）﹣（x22﹣4x2+3）＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2），而x1+x2＝2（x1﹣x2），得到y1﹣y2的函数表达式，进而求解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
①若y1＝y2，则M、N关于抛物线对称轴对称，
即x＝2＝（x1+x2），
即x1+x2＝4；
②y1﹣y2＝（x12﹣4x1+3）﹣（x22﹣4x2+3）＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2），
∵x1+x2＝2（x1﹣x2），
∴y1﹣y2＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2）＝2（x1﹣x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2）
＝2（x1﹣x2﹣1）2﹣2≥﹣2，
即y1﹣y2的最小值为﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数函数表达式的求解、函数的对称性、配方法求函数的最值等，有一定的综合性，难度适中．
23．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC＝2，∠BOC＝60°，D为BC中点．某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E．
（1）点E的坐标为 　（，）　．
（2）好奇的小明在探索一个新函数．若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R．若y′＝PQ+PR，点P横坐标为x．y′关于x的图象如图2，其中图象最低点F、G横坐标分别为、﹣．
①求y′与x之间的函数关系式．②写出该函数的两条性质．
（3）已知1＜x＜4
①若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有解，求m的取值范围．小明思考过程如下：
由x2﹣4x﹣m＝0得m＝x2﹣4x，m是关于x的二次函数，根据x的范围可以求出m的取值范围，请你完成解题过程．
②若关于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，求直接写出m的取值范围．
【分析】（1）解直角三角形求出OB，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式和直线OC的解析式，再联立两解析式求出交点坐标即可；
（2）①根据函数解析式可得点R、Q的坐标，然后分情况列出y与x之间的函数关系式即可；
②根据函数图象可直接得出其性质；
（3）①根据二次函数的对称轴及开口方向，求出1＜x＜4时m＝x2﹣4x的取值范围即可；
②将问题转化为1＜x＜4时，二次函数＝x2﹣mx+2与x轴有交点的问题，即需满足x＝1时，y＞0或x＝4时，y＞0且x＝m时，y≤0，据此求解即可．
解：（1）∵tan∠BOC＝tan60°＝，
∴＝，
∴OB＝2，
∴C（2，2），D（2，），
设反比例函数解析式为y＝，直线OC的解析式为y＝k2x，
将点D（2，）代入y＝得：
＝，
解得：k1＝2，
∴反比例函数解析式为：y＝，
将点C（2，2）代入y＝k2x得：
2＝2k2，
解得：k2＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
联立，
解得：，，
∵点E在第一象限，
∴E（，）；
故答案为：（，）；
（2）①∵反比例函数解析式为y＝，直线OC的解析式为y＝x，点P横坐标为x，
∴R（x，），Q（x，x），
∴当x＞0时，y'＝PQ+PR＝x+，
当x＜0时，y'＝PQ+PR＝﹣x﹣；
②由图可知：
该函数图象关于y轴对称；
当x＜0时，y随x的增大先减小后增大；
（3）①二次函数m＝x2﹣4开口向上，对称轴为x＝2，
∴在l＜x＜4的情况下，当x＝2时，有最小值m＝﹣4，
当x＝4时，m＝0，
∴﹣4≤m＜0；
②∵当l＜x＜4时，关于x的方程x2﹣mx+2＝0有解，
∴当l＜x＜4时，二次函数y＝x2﹣mx+2与x轴有交点，
∵二次函数y＝x2﹣mx+2开口向上，对称轴为x＝＝m，
∴当x＝1时，y＝x2﹣mx+2＞0，
解得：m＜3，
或当x＝4时，y＝x2﹣mx+2＞0，
解得：m＜，
且当x＝m时，y＝x2﹣mx+2≤0，
解得：m≥4或m≤﹣4，
综上所述，m的取值范围为4≤m＜．
【点评】本题是反比例函数、正比例函数、二次函数的综合题，考查了解直角三角形，待定系数法的应用，求函数图象的交点坐标，二次函数的性质等知识，掌握数形结合思想的应用是解答本题的关键．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣8，0），直线BC经过点B（﹣8，4）、C（0，4）．将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA'B'C'，此时直线OA'、直线B'C'分别与直线BC相交于点P、Q．

（1）四边形OABC的形状是 　矩形　，当α＝90°时，的值是 　　；
（2）①如图2，当四边形OA’B’C’的顶点B′落在y轴正半轴上时，求的值；
②如图3，当四边形OA’B’C’的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得出四边形OABC是矩形．当α＝90°时，可知＝，根据比例的性质得出＝；
（2）①利用相似三角形的性质，△COP∽△A′OB′求得CP的比，求得BP、CP；△B′CQ∽△B′C′O求得BQ进而得出答案；
②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．
（3）构造全等三角形和直角三角形，运用勾股定理求得PC的长，进一步求得坐标．
解：（1）∵O为坐标原点，点A（﹣8，0），直线BC经过点 B（﹣8，6）、C（0，6），
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝6，∠AOA＝90°，所以四边形ABCD是矩形；
当a＝90°时，P与C重合，如图所示：

根据题意＝，即是矩形的长与宽的比，则＝．
（2）①图2中，

∵∠POC＝∠B′OA′，∠PCO＝∠OA′B′＝90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴，
即，
∴CP＝，BP＝BC﹣CP＝．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴＝，即，
∴CQ＝3，BQ＝BC+CQ＝11．
∴＝＝，
∴＝；
②图3，在△OCP和△B′A′P中，

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP＝B′P．设B′P＝x，
在Rt△OCP中，（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝．
∴S△OPB′＝．
（3）存在这样的点P和点Q，使BP＝BQ．
点P的坐标是P1（﹣9﹣，6），P2（﹣，6）．
【对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求】
过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC，
∵S△POQ＝PQ•OC，
S△POQ＝OP•QH，
∴PQ＝OP．
设BP＝x，
∵BP＝BQ，
∴BQ＝2x，
如图4，当点P在点B左侧时，
OP＝PQ＝BQ+BP＝3x，
在Rt△PCO中，（8+x）2+62＝（3x）2，
解得，（不符实际，舍去）．
∴PC＝BC+BP＝9+，
∴P1（﹣9﹣，6）．
如图5，当点P在点B右侧时，
∴OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝8﹣x．
在Rt△PCO中，（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝．
∴PC＝BC﹣BP＝，
∴P2（﹣，6），
综上可知，存在点P1（﹣9﹣，6），P2（﹣，6），使BP＝BQ．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判断与性质．