备战中考数学易错题精编 易错点04 三角形 (解析版)

这是一份备战中考数学易错题精编 易错点04 三角形 (解析版)，共38页。试卷主要包含了交于一点，该点叫三角形的垂心等内容，欢迎下载使用。
中高考易错题的重要性
中考冲刺阶段，除了知识点的总结，进行模块化的复习和整理以外，对于易错的题型也是冲刺阶段必备的。复习板块之一。我们通常都说冲刺阶段一定要回归课本，对于基础的知识点以及知识的应用能力的提高是迫在眉睫的。那么易错体对于提升知识的应用能力以及巩固基础来说是非常重要的一个环节。
首先，冲刺阶段的易错题能够帮助我们快速的查缺补漏，总结经验教训，知识梳理，提高知识的应用能力。
其次，通过对错题分析，其中涉及到的知识点以及考点的分析与总结，它能够减少我们复习过程当中同类型的题或者是同一知识点的犯错频率。
第三，对于错题集的复习，最简单的方法就是盖住答案，然后重新来做一遍，从分析的角度条件的分析以及技巧的使用三个方面进行逐一的排除。
第四，在这些错题当中，并非所有的错题都是每个同学易错的，那么在第一遍的错题复习当中，我们就要进行排除，筛选出符合自己特点错题及其针对性也才更强。
如果自己已经完全掌握的，那么就当是对于知识点的再一次复习。这样的错题对于提升自己的能力来说也才是起到了最大的作用。

易错点04 三角形
1． 线段、角、相交线与平行线
2． 三角形及其性质
3． 全等三角形
4． 等腰三角形
5． 直角三角形
6． 相似三角形
7． 解直角三角形

01 三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
1．（2021·湖北当阳·一模）如图，在中，，垂足是点，，，的平分线交于点，若，则的长是（ ）

A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
解：∵平分，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义，解题的关键是熟知相关知识．


1．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°−15°＝30°，
∴∠ACD＝90°−∠DAC＝90°−30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵ADBC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴2AB＞BC，故②错误；
∵OA＝OC，
∴，，故③④正确；
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA＝OD＝OC是解题的关键．
2．（2021·山东乳山·模拟预测）（信息阅读）垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）交于一点，该点叫三角形的垂心．
（问题解决）如图，在中，，，H为的垂心，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：如图，延长 分别交于

为的垂心，




，
∴∠BHC=102°．
故选：
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，垂心的定义，正确理解垂心的定义构建需要的四边形是解题的关键.
3．（2021·湖南长沙·二模）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）

A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【解析】
解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，属于基础题型．

02 三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法。
1．（2021·广东·惠州一中一模）已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：根据题意得：，，
解得，，
因为是最大边，所以，
即．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可．


1．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'， M是BC的中点，P是A'B'的中点， 连接PM，则线段PM的最大值是（ ）


A．4 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】
解：如图所示，连接PC，
∵∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
由旋转的性质可知：，，
∵P、M分别是、BC的中点，
∴，，
∵，
∴PM的最大值为3，且此时P、C、M三点共线，
故选C．

【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）锐角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，则AC的长可以是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠B＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝，∠BCD＝45°，
当AC＝1时，点D与A重合，△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
当AC＝时，，则△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
当AC＝时，AC＜CD，
∴∠ACD＞∠A，则△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；
当AC＝时，
∴∠ACD＜∠A，则△ABC是锐角三角形；选项D符合题意，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．（2021·贵州汇川·三模）等腰三角形三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根则的值为（ ）
A．15 B．24 C．15或24 D．22或24
【答案】B
【解析】
解：当2为底边长时，则a=b，
∵、是关于的一元二次方程的两根，
∴a+b=10，ab= n+1，
∴a=b=5．
∵5，5，2能围成三角形，
∴n+1=5×5，
解得：n=24；
当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为8，
∵8，2，2不能围成三角形，
∴此种情况不存在．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．

03 三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。
1．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图，延长BE交AC于点G，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和是解题的关键．


1．（2021·广东·江门市第二中学二模）将一块含30°角的直角三角板按图中所示摆放在一张矩形纸片上．若，则的度数是（　　）

A．79° B．101° C．111° D．91°
【答案】B
【解析】
解：如图，∵∠D=90°，∠1=79°
∴∠DBC=90°-∠1=90°-79°=11°，
∵∠ABC=90°
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=90°+11°=101°，
∵DG∥EF，
∴∠2=∠ABD=101°，
故选B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
2．（2016·山东无棣·一模）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
【答案】B
【解析】
解：如图，连接DE，

在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A′＋∠B＋∠C＝180°①．
在△A′DE中∠A′＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠A′DE＋∠A′ED＝360°③；
①＋②﹣③得2∠A′＝∠1＋∠2，
即2∠A＝∠1＋∠2．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和，折叠问题的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
3．（2021·河南安阳·二模）如图，直线，一个含45°角的直角三角板如图所示放置，点在直线上，直角顶点在直线上，已知么，则的度数为（ ）

A．45° B．60° C．65° D．75°
【答案】D
【解析】
解：∵l1∥l2，
∴∠DCA=∠1=30°，
∵∠DCA +∠DCB=90°，
∴∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠2=180°-∠B-∠DCB=180°-45°-60°=75°，
故选：D．
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．


04 全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。着重学会论证三角形全等。
1．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．

【答案】
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，
∴AB∥CD．
【解析】
先证明BE＝DF，然后证明Rt△AEB≌Rt△CFD得到∠B＝∠D，则AB∥CD．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形全等的性质与判定条件．


1．（2021·浙江·温州市第十二中学二模）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．

【答案】
证明：（1），
，
，
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已得：，
，
，
，
，
，
由（1）已证：，
．
【解析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；
（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据全等三角形的性质即可得．
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由．

【答案】
证明：（1）如图1，∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵ADBC，
∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）答：如图2，EG垂直平分DF．
理由是：∵∠ADF＝∠F，∠ADF＝∠GDF，
∴∠F＝∠GDF，
∴DG＝FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥FD；

【解析】
（1）根据AAS或ASA证明三角形全等；
（2）由（1）得DE=EF，再根据等腰三角形三线合一的性质得出结论；
3．（2021·江苏昆山·一模）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

【答案】
解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
【解析】
（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．

05 两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。
1．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是_____．

【答案】
【解析】
∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
根据作图过程可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，
∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，
∴BE＝AE，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，
∴∠AEC＝∠C，
∴AE＝AC，
∴BE＝AE＝AC，
∴△BAC∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
整理得：
解得BE＝或（舍去），
故答案为：．
【点睛】
本题考查了作角平分线，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是问题的关键．


1．（2021·江苏海安·一模）如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线EF分别交边AB、AC于点E、F．当CD＝2BD时，的值为___．

【答案】
【解析】
解：如图，连接DE，DF，

∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，AF＝DF，
在△AEF和△DEF中，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠EAF＝∠EDF＝60°，
∴∠EDB＋∠FDC＝120°，
∵∠EDB＋∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△EBD∽△DCF，
∴，
设BD＝x，则CD＝2x，BE＝y，
∴CF＝，
∴DE＝AE＝AB−BE＝3x−y，
∴DF＝AF＝AC−CF＝BC−CF＝3x−，
∴，
∴8x2＝5xy，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△EBD∽△△DCF．
2．（2021·北京·101中学三模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，：＝___．

【答案】1
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴△AOE∽△COB，
∴：=，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
∴：==1：9，
故答案为：1：9．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为__．

【答案】7
【解析】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，
∴DP=AD-AP=2，∠BCD =∠ECF=90°
∵BP⊥PE，
∴∠BPE=90°，
∴∠APB+∠DPF=90°．
∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠DPF．
又∵∠A=∠D，
∴△APB∽△DFP，
∴，即，
∴
∴
∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，
∴△PFD∽△EFC，
，即
∴CE=7．
故答案为：7．

【点睛】
本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．

06 等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。
1．如图，OP平分，，，，，垂足为D，则________．

【答案】2
【解析】
解：作PE⊥OB于E，

∵∠BOP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．


1．（2021·贵州铜仁·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．

【答案】
【解析】
解：∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM==4，
又S△AMC=MN•AC=AM•MC，
∴MN=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长．
2．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，正六边形的面积是，则对角线的长是 __．

【答案】8
【解析】
解：设正六边形的边长为，
正六边形的面积是，
，
解得
连接，

在正六边形中，，，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查正六边形的性质、含30°直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）如图，在中，，，，点是斜边上的动点且不与，重合，连接，点与点关于直线对称，连接，当垂直于的直角边时，的长为__．

【答案】1或3
【解析】
解：，，∠C=90°
，
，
①如图1中，当时，设直线交于，
由轴对称的性质可知，直线平分，
∴平分，
，
∵AC⊥BC，，
，
，
，
；

②当于时，同法可证，
综上所述，满足条件的的值为1或3．
故答案为：1或3．

【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．

07 运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。
1．（2021·福建·邵武市教师进修学校模拟预测）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．

【答案】
【解析】
解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=CE=，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴．
∴，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，
解得:，
在Rt△AOF中，，
∴．
故答案为: ．
【点睛】
本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．


1．如图，在中，，，，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处．若，则点P到AB距离的最小值为________．

【答案】1.2
【解析】
解：以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值=FH-FP=FH-FG．
由翻折的性质可知，PF=CF=2，
∴点P在⊙F上，

∵AC=6，BC=8，
∴AB==10，AF=AC-CF=4，
由△AHF∽△ACB，
∴，
∴，
∴FH=3.2，
∴点P到AB的距离的最小值=FH-FG=3.2-2=1.2．
故答案为：1.2．
【点睛】
本题考查了翻折变换，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．（2021·江苏·常州实验初中二模）如图，长方形中，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___．

【答案】2或18或2．
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，如图所示：

，
，
，
，
、、三点共线，
的面积，，
，
，
；
②当点在线段的延长线上，且经过点时，满足条件，如图所示：

，
，
在和中，
，
，
，
，
；
综上所知，的长为2或18，
故答案为：2或18．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
3．（2021·河北·模拟预测）如图，已知在中，．，，分别是，的中点，连接．若，则的面积是______．

【答案】24
【解析】
解：∵，分别是，的中点，，
∴DE是的中位线，即：BC=2DE=2×4=8，
∵．，
∴AB2+BC2=AC2，
∴是直角三角形，∠B=90°，
∴的面积=6×8÷2=24，
故答案是：24．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

08 特殊角的三角函数值及计算。
1．（2022·北京石景山）计算：．
【答案】
解：，
，
，
．
【解析】
将特殊角的三角函数值代入，然后利用二次根式的运算法则计算即可得．



1．计算：．
【答案】
解：


=．
【解析】
根据二次根式的性质、零指数幂的性质、45°的余弦值和绝对值的性质计算即可．
2．计算：．

【答案】
解：
．
【解析】
先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算．
3．计算：．
【答案】
解：


．
【解析】
先根据特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂化简，再合并，即可求解．

09 解直角三角形的实际应用。
1．如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）

【答案】
解：由题意得：∠AEC=∠AED=90°，AB=DE=40m，∠EAD=60°，∠CAE=30°，
∴，
∴，
∴，
即乙楼CD的高度为53m．
【解析】
由题意易得∠AEC=∠AED=90°，AB=DE=40m，然后根据特殊三角函数值可求解AE，CE的长，进而问题可求解．


1．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中．如图，为了测量陶行知纪念馆的高度，小李在点处放置了高度为1.5米的测角仪，测得纪念馆顶端点的仰角，然后他沿着坡度的斜坡走了6.5米到达点，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点．（结果精确到0.1，参考数据：，，）

（1）求点到纪念馆的水平距离；
（2）求纪念馆的高度约为多少米？
【答案】
解：（1） AB延长交地面于H，过点F作FG⊥CH于G，过点D的水平线交AH与E，
∵坡度的斜坡走了6.5米到达点，
设FG=x，CG=2.4x，CF=6.5米，
在Rt△FGC中，根据勾股定理得，即，
解得米，
∴CG=2,4x=6米，
∵BF∥CH，AH⊥CH，
∴BF⊥AH，
∴∠FBH=∠BHG=90°，
∵FG⊥CH，
∴∠FGH=90°，
∴四边形BHGF为矩形，
∴BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，
∴CH=HG +CG=4+6=10米，
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=90°，
∵DE∥CH，
∴∠DEH+∠BHG=180°，
∴∠DEH=180°-∠BHG=90°，
∴∠DEH=∠DCH=∠BHG=90°，
∴四边形EHCD为矩形，
∴DE=CH=10米，
（2）在Rt△AED中，，DE=10米，
∴AE=DE·tan51°≈10×1.23=12.3米，
∵BH=2.5米，EH=CD=1.5米
∴AB=AE+EH-BH=12.3+1.5-2.5=11.3米．

【解析】
（1）AB延长交地面于H，过点F作FG⊥CH于G，过点D的水平线交AH与E，根据坡度的斜坡走了6.5米到达点，设FG=x，CG=2.4x，CF=6.5米，在Rt△FGC中，根据勾股定理得，即，解方程米，得出CG=2,4x=6米，可证四边形BHGF为矩形，得出BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，CH=HG +CG=4+6=10米，再证四边形EHCD为矩形，得出DE=CH=10米；
（2）在Rt△AED中，，DE=10米，利用三角函数AE=DE·tan51°≈10×1.23=12.3米即可．再利用线段和差AB=AE+EH-BH代入数据计算即可
2．图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求AC的长度：
（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离 cm．

【答案】
解：（1）过点F作FG⊥DE于点G，
∴∠FGD＝∠FGC＝90°，
在Rt△DGF中，
∵∠CDF＝30°，
∴FG＝FD•sin30°＝30×＝15（cm），
∴DG＝FD•cos30°＝30×＝15（cm），
在Rt△CGF中，
∵∠DCF＝45°，
∴CG＝FG＝15（cm），
∴CD＝CG+DG＝15+15（cm），
∵CE：CD＝1：3，
∴CE＝CD＝×（15+15）＝5+5（cm），
∴DE＝EC+CD＝5+5+15+15＝20+20（cm），
∵DE＝BC＝AB，
∴AC＝AB+BC＝2DE＝2×（20+20）＝40+40（cm），
即AC的长度为（40+40）cm．
（2）作AH⊥ED延长线于H，
在Rt△AHC中，
∵∠ACH＝45°，
∴AH＝AC•sin45°＝（40+40）×＝20+20（cm），
故答案为：（20）．

【解析】
（1）过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求出AC；
（2）作AH⊥ED延长线于H，根据AH＝AC·sin45°求出AH即可．
3．如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）


【答案】
解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∵∠CAE=45°，
∴∠C=45°，
∴∠C=∠CAE，
∴AE=CE，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠BDE=90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴AE=BD=30m，
∴CE=AE=30m，，
∴CD=CE+DE=45m，
答：建筑物CD的高度约为45m．

【解析】
如图所示，过点A作AE⊥CD于E，先证明AE=CE，然后证明四边形ABDE是矩形，则AE=BD=30m，CE=AE=30m，，由此即可得到答案．