备战中考数学易错题精编 易错点06 圆 (解析版)

这是一份备战中考数学易错题精编 易错点06 圆 (解析版)，共42页。

中高考易错题的重要性
中考冲刺阶段，除了知识点的总结，进行模块化的复习和整理以外，对于易错的题型也是冲刺阶段必备的。复习板块之一。我们通常都说冲刺阶段一定要回归课本，对于基础的知识点以及知识的应用能力的提高是迫在眉睫的。那么易错体对于提升知识的应用能力以及巩固基础来说是非常重要的一个环节。
首先，冲刺阶段的易错题能够帮助我们快速的查缺补漏，总结经验教训，知识梳理，提高知识的应用能力。
其次，通过对错题分析，其中涉及到的知识点以及考点的分析与总结，它能够减少我们复习过程当中同类型的题或者是同一知识点的犯错频率。
第三，对于错题集的复习，最简单的方法就是盖住答案，然后重新来做一遍，从分析的角度条件的分析以及技巧的使用三个方面进行逐一的排除。
第四，在这些错题当中，并非所有的错题都是每个同学易错的，那么在第一遍的错题复习当中，我们就要进行排除，筛选出符合自己特点错题及其针对性也才更强。
如果自己已经完全掌握的，那么就当是对于知识点的再一次复习。这样的错题对于提升自己的能力来说也才是起到了最大的作用。

易错点06 圆
1． 圆的定义及相关概念（圆的圆心、直径、半径、面积、周长）
2． 圆周角、圆心角关系及相关计算
3． 垂径定理运用
4． 与圆有关的位置关系
5． 切线性质判定
6． 弧长、母线长，扇形面积、椎体体积表面积计算
7． 圆的综合应用

01 对弧、弦、圆心角等概念理解不深刻。
1．（2021·河南洛宁·一模）下列关于圆的说法，正确的是（ ）
A．弦是直径，直径也是弦
B．半圆是圆中最长的弧
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴
D．过三点可以作一个圆
【答案】C
【解析】
解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；
B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握这些性质，灵活运用它们解答．


1．（2020·浙江绍兴·模拟预测）下列语句中，不正确的个数（ ）
（1）三点确定一个圆
（2）平分弦的直径垂直于弦
（3）相等的圆心角所对的弧相等
（4）相等弧所对的弦相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故（1）错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（2）错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故（3）错误；
相等弧一定在同圆或等圆中，故（4）正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，属于基础知识，难度不大．
2．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（ ）

A．36° B．30° C．25° D．22.5°
【答案】B
【解析】
解：如图所示，连接OA，OB，OG，
由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α
∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，
∴OA=OB=OG=BG=AB，
∴△OAB和△OBG都是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBG=60°，
∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），
∴∠CBG=30°，
∴α=30°，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（2021·河北桥东·二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
半圆是直径所对的弧，但是不含直径，
故选B．
【点睛】
此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义．

02 圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
1．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，点在上，，则（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解： 点在上，，


故选：
【点睛】
本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．


1．（2016·山东聊城·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2．（2020·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：∵是的直径
∴∠
∵
∴
∴∠
∵
∴∠
∴∠
∴∠
故选：B．
【点睛】
此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键．
3．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．

【点睛】
本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

03 对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。
1．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）

A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
解：过点作，交于点，

是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．


1．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为，
故选C.

【点睛】
本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）

A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】B
【解析】
解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（2021·湖北黄冈·中考真题）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F．若，，则的长是（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【解析】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是的中位线，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．

04 切线的判定及性质应用
1．（2021·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．


【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠CAD＋∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，

∵tan∠CAD＝＝，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，
即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝，
∴tanB＝tan∠CAD＝＝，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC＝，
∴BC＝．
【解析】
（1）根据AB是⊙O的直径得出∠B＋∠BAC＝90°，等量代换得到∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，AD⊥OA，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由等边对等角得出∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得出∠M＝∠OAC，再根据对顶角相等得出∠DCM＝∠M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股定理求解即可．


1．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，BC与相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交于点F，连结BF．

（1）求证：BF是的切线．
（2）若，，求EF的长．

【答案】
（1）证明如图，连接，

，
，
，

又切BC于点D，
，
，
．
又，，
，
，
是的切线．
（2）由（1）得：，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】
（1）连接，根据题意证明，即可证明BF是的切线；
（2）根据题意即（1）的结论可得，列比例求出FB的长，根据勾股定理求EF即可．
2．（2021·湖北黄冈·中考真题）如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积．

【答案】
证明：（1）如图，过点作于点，连接，
与相切于点，
，
平分，
，
在和中，，
，
，
是的半径，
又，
是的切线；
（2）如图，设分别交于点，连接，
的半径是1，
，
与相切于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
则图中阴影部分的面积为．


【解析】
（1）过点作于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）设分别交于点，连接，先根据圆的切线的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得．

3．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．

【答案】
解：（1）连接OD交BC于点F，如图，

∵点是的中点，
∴OD⊥BC，
∵DE//BC
∴OD⊥DE
∵OD是的半径
∴直线与相切；
（2）∵AC是的直径，且AB=10,
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥BC
∴∠OFC=90°
∴OD//AB

∴
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴．
【解析】
（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；
（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．

05 点和圆，圆和圆位置关系
1．（2021·广东花都·一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在⊙O内 B．点在⊙O上 C．点在⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：由题意可作图，如下图所示：

∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，熟记d，r法则是解题的关键．


1．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）


A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【解析】


∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵<5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
2．（2021·山东滨州·中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：连接AD，如右图所示，

∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，
∴∠DAC=90°，
∴AD==8，
∴cos∠ADC==，
∵∠ABC=∠ADC，
∴cos∠ABC的值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是求出cos∠ADC的值，利用数形结合的思想解答．
3．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）


A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【答案】C
【解析】
解：∵AD平分∠BAC，
∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；
故选C．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．

06 圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系，弧长、母线长，扇形面积、椎体体积表面积计算。
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．

【答案】108
【解析】

解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．


1．（2021·江苏淮安·中考真题）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___．
【答案】6
【解析】
解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，
3πl＝18π．
解得：l＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．
2．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________．

【答案】2
【解析】
∵母线长为，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解．
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为___________．

【答案】30
【解析】
解：∵圆锥的底面周长=2π×10=20π（cm），
∴，即：r=30，
故答案是：30．
【点睛】
本题主要考查弧长公式，圆锥底面周长，掌握圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图的弧长，是解题的关键．

07 与圆有关阴影部分面积计算。
1．（2021·山东泰安·中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．

【答案】4
【解析】
解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
则∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圆关于直线DE对称，
∴阴影部分的面积等于，
∴===4
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，
利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键．


1．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，是⊙O的弦，，点C是⊙O上的一个动点，且，若点M，N分别是，的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．

【答案】
【解析】
连接OA,OB，连接OM，如图


∵ ,
∴，
∵M为AB中点，
∴OM⊥AB，,
∴,
设OM=x，则AO=2x，在Rt△AOM中
即
，
解得x=1，
即 ,
S弓形ADB=S扇形OADB=，
∵M,N为边AB,BC的中点，
∴∥AC，
∴,
∴,
当C,O,M在同一直线上时，△ABC的面积最大，
由垂径定理可知，AC=BC,
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴ ,
在Rt△ACM中，
,
∴的最大值为： ,
∴,
∴阴影面积的最大值为：．
故填：．
【点睛】
本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积．
2．（2021·重庆·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）

【答案】
【解析】
解：∵AB为直径，
∴∠AOB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，∠BAD=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AO=BO，
∴S1=S2，
∴==4π﹣8，
故答案为：4π﹣8．

【点睛】
本题考查了圆周角定理、正方形的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、扇形的面积、三角形的面积，熟练掌握相关知识的性质和运用是解答的关键．
3．（2021·重庆渝中·二模）如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径，截面圆心到污水面的距离，则截面上有污水部分的面积为________．

【答案】48π-36．
【解析】
如图，连接OA，

∵OB=12，OC=6，OC⊥AB，
∴sin∠OBA= ，AC=BC，
∴∠OBA=30°，BC==6，AB=2BC=12，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴=48π，
∴=36，
∴阴影部分的面积为=48π-36．
故答案为：48π-36．
【点睛】
本题考查了垂径定理，特殊角的三角函数，扇形的面积，三角形的面积，熟练进行图形面积分割，并运用相应的公式计算是解题的关键．

08 圆的综合题
1．（2021·福建泉州·模拟预测）如图1，在直角坐标系中，直线与、轴分别交于点、两点，的角平分线交轴于点．点为直线上一点，以为直径的经过点，且与轴交于另一点．

（1）求证：轴是的切线；
（2）请求的半径，并直接写出点的坐标；
（3）如图2，若点为上的一点，连接，且满足，请求出的长？

【答案】
（1）证明：如图，连接，

的角平分线交轴于点，
，
，
，
，
，
，
为半径，
轴是的切线；
（2）解：，，
，，
在中，由勾股定理可得：，
设半径，则，
，
，
，
，
，
，
∴，
如图，过点C作CM⊥y轴于点M，则，

∴，
，
，
解得：，，
∴，
的坐标为；
（3）解：如图，过点作于，连接、，

是直径，
，，
，
，
在中，由勾股定理可知：，
∴，
∴（舍负），
∴，
设，则，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵在中，由勾股定理可知：，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴（舍负），
∴，
在中，由勾股定理可知：，
．
【解析】
（1）要证明轴是的切线，只需要连接后证明即可．
（2）由（1）可知，则，设半径为后，利用对应边的比相等列方程即可求出半径的值，再证明，由此可求得点C的坐标．
（3）由于，所以可以连接、构造直角三角形．再过点作，然后利用勾股定理即可求出的长度．


1．（2021·广东·珠海市紫荆中学一模）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的⊙O交于点，交于点，过点作交于点，交于点，过点的弦交于点（不是直径），点为弦的中点，连接，恰好为⊙O的切线．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求四边形的面积．


【答案】
（1）证明：连接，，
∵为直径，点为弦的中点，
∴，点为弦的中点，
∴垂直平分，∴，
∵，，∴，
∴，
∵为的切线，∴，
∴，∴，∴是的切线．
（2）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，
∴EP⊥AB，
∵CG⊥AB，
∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠EAQ＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AQE（AAS），
∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，
∴∠CEH＝∠AHG，
∵∠AHG＝∠CHE，
∴∠CHE＝∠CEH，
∴CH＝CE，
∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形，
∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形，
∵sin∠ABC═sin∠ACG═＝，
∵AC＝15，
∴AG＝9，
∴CG＝＝12，
∵△ACE≌△AQE，
∴AQ＝AC＝15，
∴QG＝6，
∵HQ2＝HG2+QG2，
∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，
解得：HQ＝，
∴CH＝HQ＝，
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝×6＝45．


【解析】
（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
（2）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论．
2．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线折叠得到，交于点．连接交于点，延长和相交于点，过点作交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．


【答案】
（1）证明：∵将沿直线折叠得到，
∴．
∴点在的垂直平分线上．
同理得：点在的垂直平分线上．
∴即，
∵．
∴．
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
解得：或（舍去）．
∴，，
∴．

【解析】
（1）欲证明直线是的切线，只需推知即可；
（2）根据折叠的性质得到：．通过相似三角形的对应边成比例得到：．所以．
（3），所以需要求得线段、的长度；利用（2）中的和锐角三角函数的定义求得；根据得到，即；结合勾股定理知．所以．利用方程思想求得答案．
3．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）二模）如图，中，，过中点，且与、分别交于点、．

（1）求证：直线是的切线；
（2）延长交于点，连结、，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

【答案】
解（1）证明：连接OC，如下图：

∵OA=OB，C为AB的中点，
∴，
∵点C在上，
∴AB是的切线；
（2）根据圆周角定理可知，
，，
由（1）可得，
∴；
（3）作于N，延长DF交AB于M，如下图：

∵，，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴OC∥DM，
∵，
∴，
∴四边形OCMN是矩形，
∴， ，
在中，，，
∴．
【解析】
（1）连接OC，证即可证直线AB是的切线；
（2）由圆周角定理可得，，由（1）证即可；
（3）作于N，延长DF交AB于M，在中求出DM、CM即可求出CD．