数学（江苏无锡卷）-学易金卷：2023年中考第二次模拟考试卷

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2023年中考数学第二次模拟考试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．的意义是（　　）
A．3个相乘 B．3个相加 C．乘以3 D．的相反数
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方和相反数的定义可直接得出答案．
【详解】解：是在前面加了一个负号，
因此的意义是的相反数，
故选D．
【点睛】本题考查有理数的乘方及相反数，解题的关键是注意与的区别，表示的相反数，表示3个相乘．
2．2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，本次载人飞行任务取得圆满成功，下列航天图标中，是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】A、是中心对称图形，故此选项合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．已知，则计算的结果是（    ）
A．1156 B． C． D．
【答案】C
【分析】将转化为，再利用乘方的意义即可计算．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的乘方，关键在于将转化为再进行计算．
4．小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（    ）

A．中位数是3 B．众数是6 C．平均数是 D．方差是
【答案】D
【分析】根据折线统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，方差，即可做出判断．
【详解】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
中位数为2本；
平均数为（本）；
众数为2本；
方差为：；
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数的含义与计算，熟记概念与计算方法是解本题的关键．
5．已知a是方程的一个解，则的值为（    ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形能力．
6．①大小相等的两个角互为对顶角；②两点之间，线段最短；③两角之和为，则这两个角互为邻补角；④点到直线的距离是点到这条直线的垂线段；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑦图形平移的方向一定是水平的；⑧内错角相等；其中是真命题的有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据对顶角，线段的性质，邻补角，点到直线的距离，平行公理，垂线的性质，平移，以及平行线的性质分别判断即可．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故为假命题；
②两点之间，线段最短，故为真命题；
③两角之和为，则这两个角互为补角，故为假命题；
④点到直线的距离是点到这条直线的垂线段的长度，故为假命题；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；
⑥同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故为假命题；
⑦图形平移的方向不一定是水平的，有可能是竖直的以及其他方向的，故为假命题；
⑧两直线平行，内错角相等，故为假命题；
∴真命题有1个，
故选B．
【点睛】本题考查了命题与定理，涉及对顶角，线段的性质，邻补角，点到直线的距离，平行公理，垂线的性质，平移，以及平行线的性质，这些都是几何部分的基础知识，熟练掌握方可准确判断．
7．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
8．如图是甲、乙两张完全相同的三角形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的矩形，则（    ）

A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
【答案】A
【分析】根据图形可得甲可以拼成一个与原来面积相等的矩形，图形乙可以拼成一个与原来面积相等的矩形．
【详解】解：所做图形如图所示：

甲乙够可以拼成一个与原来面积相等的矩形，
故选：A．
【点睛】本题考查图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．
9．若一次函数y=kx+b(k、b是常数)的图象不经过第二象限，则一次函数的图象（   ）
A．过二、三、四象限 B．过二、四象限 C．不过第一象限 D．不过第三象限
【答案】C
【分析】根据图象不经过第二象限，确定k>0，b≤0，从而确定函数为或且kb＜0求解即可
【详解】∵函数的图象不经过第二象限，
∴k>0，b≤0，
∴为或且kb＜0，
∴函数图像分布在二、四象限或二、三、四象限，
即函数图像不经过第一象限，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握图像分布与的关系是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【答案】A
【分析】由题意得：，从而利用等边三角形的判定可得是等边三角形，然后分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
分三种情况：
当时，以点O为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点，；
当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交x轴于点；
当时，作的垂直平分线，交x轴于点；
综上所述：以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有2个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：______．
【答案】
【分析】用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是找出公因式．
12．请写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题：__________，此逆命题是__________（“真”“假”）命题．
【答案】     对角线互相平分的四边形是平行四边形     真
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．
【点睛】本题主要考查的是命题的真假判断、互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则根据题意可列不等式为______．
【答案】2(30-x)+5x≤100
【分析】设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，根据费用不超过100元钱即可列出不等式．
【详解】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30-x)本笔记本，
根据题意得：2(30-x)+5x≤100，
故答案为：2(30-x)+5x≤100．
【点睛】题目主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．
14．为了贯彻落实“双减”政策，某校七年级在课后辅导中开设剪纸、舞蹈、硬笔书法、篮球、田径五个课程．小明同学随机抽取了部分七年级学生对这五个课程的选择情况进行调查（规定每人必须且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为______名．

【答案】
【分析】根据扇形统计图求得舞蹈课程的百分比，再用1200乘以舞蹈课程所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，根据这个统计图估计七年级1200名学生中选择舞蹈课程的学生约为：（名），
故答案为：．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，依据扇形统计图求出舞蹈课程所占的百分比是解题的关键．
15．的相反数是________；的绝对值是___________．
【答案】         
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，以及绝对值的意义，进行求解即可．
【详解】解：的相反数是；
∵，
∴．
故答案为：，．
【点睛】本题考查相反数的定义，绝对值的意义，以及比较实数大小．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，负数的绝对值，是它的相反数，是解题的关键．
16．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______．

【答案】8
【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，

∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=CD，
∴BE=CF=AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17．如图所示，，点是轴上一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．则线段的最小值是__________．

【答案】2
【分析】连接，以为边长作等边，连接，可得到为等边三角形，通过得到，即当点在轴上运动时，点在直线上运动，作交直线于，于，得到当在直线上运动到点位置时，线段的最小值为．
【详解】解：连接，以为边长作等边，连接，

，，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
当点在轴上运动时，点在直线上运动，
作交直线于，于，
，，
，，
，
显然，当在直线上运动到点位置时，线段的最小值为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，作出恰当的辅助线，是解题的关键．
18．如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________．

【答案】4
【分析】延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，根据得到的关系，然后利用勾股定理，即可用表示出所求的式子，从而求解．
【详解】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，

设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用得到的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．（8分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据特殊角三角函数值进行计算即可；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）原式＝
＝；
（2），
，
或，
，．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数与因式分解法解一元二次方程，解题关键是牢记特殊角的三角函数值和因式分解法．
20．（8分）先化简，再求值：，其中；
解不等式组：  并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），；（2），数轴见解析
【分析】（1）根据分式的混合运算化简代数式，将字母的值代入进行计算即可求解．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）

；
当时，原式；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式的解集如图，

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确的计算是解题的关键．
21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1=∠2，AB=ED．

(1)求证：BD=CD．
(2)若∠A=150°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)80°

【分析】（1）根据平行线的性质可得，依据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，再由各角之间的数量关系得出，利用等边对等角及三角形内角和定理即可得出结果．
(1)
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理及等边对等角等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．
22．（10分）看图回答问题：

(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【答案】(1)理由见详解
(2)

【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；
（2）根据题意设多边形的边数为，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵设多边形的边数为，则边形的内角和是，
∴内角和一定是度的倍数，
∵，
∴内角和为不可能．
（2）解：设多边形的边数为，
∴，解得，，
∴多边形的边数是，
∴小华求的是十三边形的内角和．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
23．（10分）某校八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛，并从其中分别随机抽取了20名学生的成绩（用x表示），共分成四组：，，，．其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．根据以上信息，解答下列问题：

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90


九年级
90

100


(1)直接写出上述a、b、c的值：___________，__________，__________．
(2)你认为这次比赛中哪个年级的竞赛成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共1000人参加了此次航天科普知识竞赛活动，参加此次活动成绩优秀的九年级学生大约有多少人？
【答案】(1)40，96，92.5
(2)九年级的成绩相对更好，理由见解析
(3)估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数为700人

【详解】（1）解：由题意知，
九年级成绩为C的学生所占百分数为：，
因此；
八年级20名学生的成绩中96出现的次数最多，因此；
将九年级20名学生的成绩从低到高排序，第10位和第11位分别为92，93，
因此；
故答案为：40，96，92.5．
（2）解：九年级的成绩相对更好．理由如下：
九年级测试成绩的众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级．
（3）解：（人），
答：估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数为700人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等知识点，难度不大，解题的关键是熟练掌握中位数、众数的定义，理解方差的意义．
24．（10分）如图，Rt中，是斜边上的高，，．

(1)求证；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）依据，，即可判定；
（2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到比例式，代入数据即可得出的长．
【详解】（1）证明：是斜边上的高，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
25（10分）．如图，在中，，，是边上的中线，过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）先根据直角三角形的性质、垂直的定义可得，再根据定理即可得证；
（2）先根据线段中点的定义可得，再根据全等三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
（2）解：，
，
是中线，
，
由（1）已证：，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
26．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
(3)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)销售单价应定为元或40元
(3)销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是元

【分析】（1）根据利润=（售价进价）数量列出对应的函数关系式即可；
（2）根据（1）所求关系式，把代入求解即可；
（3）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，
解得或，
∴销售单价应定为元或40元；
（3）解：
，
∵，
∴当时，最大，最大为，
∴销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键．
27．（10分）如图，是等腰三角形，，，分别在的右侧，的左侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点．

(1)求证：；
(2)作射线交于点，交射线于点．
①补全图形，当时，求的度数；
②当的度数在给定范围内发生变化时，的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出的度数；若变化，请给出的度数的范围．
【答案】(1)见解析
(2)①补全图形见解析，；②不变，理由见解析

【分析】（1）根据等角对等边以及等边三角形的性质得出，，进而得出，根据等角对等边即可得证；
（2）①根据题意补全图形，根据（1）的结论与已知条件得出垂直平分,进而得出，根据等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，继而在中，根据三角形内角和定理即可求解；
②设，
根据① 的方法与步骤进行验证即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵等边三角形和等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2）①如图所示，

由（1）可得，
又∵，
∴垂直平分,
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②不变
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点．

(1)求与的函数关系式；
(2)直接写出当时，的取值范围；
(3)点为一次函数图象上一点，点的横坐标为，若将点向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数的图象上，求的值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)的值为1或

【分析】（1）将两点坐标分别代入两个表达式即可；
（2）即的图象在的上面，根据两个交点分界选择合适范围即可；
（3）根据点的平移规律得到最后的点坐标，然后代入二次函数表达式，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入得，，
∴；
把点代入中，得
∴，
把点、分别代入中，得，
解得，
∴；
（2）解：观察图象可知，当时，的取值范围是或；
（3）解：∵点为一次函数图象上一点，∴，
将点向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点，
把代入，得，
解得
所以的值为1或
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的结合，相关知识点有：求函数表达式、点的平移等，数形结合是解题的关键．