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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数完美版ppt课件
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数完美版ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了§33幂函数，幂函数的概念，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。
高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第三章 函数的概念与性质
1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性 比较幂值的大小.
同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
二、幂函数的图象与性质
三、幂函数性质的综合运用
问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ ，这里c是S的函数；(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数.
提示 这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x是 ，α是 .注意点：①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关.
例1 (1)在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.
(2)已知y＝ ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
反思感悟 幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.
跟踪训练1 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_____.
解析 设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
问题2 根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
提示 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
问题3 你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这五个函数的图象吗？
问题4 观察函数图象以及函数解析式，完成下表.
在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减
在[0，＋∞)上单调递增
在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减
通过以上信息，我们可以得到：(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝x－1的图象都通过点 ；(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是 ，函数y＝x2是 ；(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，函数y＝x－1 ；(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴 ，向右与x轴___ .
注意点：一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增.且图象只出现在第一象限.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.
(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，
反思感悟 (1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.(2)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)f(x)＝g(x)；
解 当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)f(x)
解 ∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，
解 ∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，
解 ∵函数y1＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
③ 与 .
∴ ＝1，
(2)已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围.
解 ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2.
故 变为 .
∵函数y＝ 在R上是增函数，
∴由 ，得a＋1<3－2a，
反思感悟 比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想.
跟踪训练3 (1)比较下列各组数的大小：
②－3.143与－π3.
解 ∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝ .
1.知识清单：(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法.3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.
1.下列函数中不是幂函数的是A.y＝ B.y＝x3C.y＝3x D.y＝x－1
解析 只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式.
3.函数y＝ 的图象是
解析 函数y＝ 是非奇非偶函数，故排除A，B选项.
－2.3与0.24－2.3的大小关系是________________.
0.23－2.3>0.24－2.3
解析 因为函数y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.23<0.24，所以0.23－2.3>0.24－2.3.
1.下列函数：①y＝x3；②y＝ x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
2.若幂函数的图象过点(3， )，则该幂函数的解析式是A.y＝x－1 B.y＝C.y＝x2 D.y＝x3
3.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是
A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c
解析 在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d.
4.已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于A.1 B.2 C.1或3 D.3
解析 因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0.所以m<4.又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或3.
5.函数y＝ －1的图象关于x轴对称的图象大致是
解析 y＝ 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，
函数y＝ －1的图象可看作是由y＝ 的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，
则y＝ －1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
6.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则幂函数f(x)具有的性质是A.在其定义域上为增函数B.在(0，＋∞)上单调递减C.奇函数D.定义域为R
解析 设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减.
7.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是__________.
解析 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.故α<0.
8.给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.则正确结论的序号为_____.
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.
9.比较下列各组数的大小：
解 函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
(1) 和 ；
又3<3.2，所以 .
解 函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
(2) 和 ；
10.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数.(1)求f(x)的解析式；
解 由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围.
所以实数a的取值范围为(2,6).
11.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－ 的图象可能是
解析 选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－ 应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－ 应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－ >0，直线y＝ax－ 与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.
解析 因为函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
13.函数f(x)＝ ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是A.f(a)>f(b) B.f(a)
∴f(x)＝ ，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).
14.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝ .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是_____(填序号).
解析 对于函数①，f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
15.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是_____.
则y＝ ，由 ＝3，得x＝9，即明文是9.
16.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围.
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为 .
因为y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a
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1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
第三章 函数的概念与性质
1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性 比较幂值的大小.
同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
二、幂函数的图象与性质
三、幂函数性质的综合运用
问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ ，这里c是S的函数；(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数.
提示 这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x是 ，α是 .注意点：①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关.
例1 (1)在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.
(2)已知y＝ ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
反思感悟 幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.
跟踪训练1 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_____.
解析 设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
问题2 根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
提示 根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
问题3 你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这五个函数的图象吗？
问题4 观察函数图象以及函数解析式，完成下表.
在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减
在[0，＋∞)上单调递增
在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减
通过以上信息，我们可以得到：(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝x－1的图象都通过点 ；(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是 ，函数y＝x2是 ；(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，函数y＝x－1 ；(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴 ，向右与x轴___ .
注意点：一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增.且图象只出现在第一象限.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.
(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
解析 根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，
当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，
反思感悟 (1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.(2)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)f(x)＝g(x)；
解 当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)f(x)
解 ∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，
解 ∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，
解 ∵函数y1＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
③ 与 .
∴ ＝1，
(2)已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围.
解 ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2.
故 变为 .
∵函数y＝ 在R上是增函数，
∴由 ，得a＋1<3－2a，
反思感悟 比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想.
跟踪训练3 (1)比较下列各组数的大小：
②－3.143与－π3.
解 ∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝ .
1.知识清单：(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法.3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.
1.下列函数中不是幂函数的是A.y＝ B.y＝x3C.y＝3x D.y＝x－1
解析 只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式.
3.函数y＝ 的图象是
解析 函数y＝ 是非奇非偶函数，故排除A，B选项.
－2.3与0.24－2.3的大小关系是________________.
0.23－2.3>0.24－2.3
解析 因为函数y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.23<0.24，所以0.23－2.3>0.24－2.3.
1.下列函数：①y＝x3；②y＝ x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
2.若幂函数的图象过点(3， )，则该幂函数的解析式是A.y＝x－1 B.y＝C.y＝x2 D.y＝x3
3.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是
A.d>c>b>a B.a>b>c>dC.d>c>a>b D.a>b>d>c
解析 在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d.
4.已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于A.1 B.2 C.1或3 D.3
解析 因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0.所以m<4.又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或3.
5.函数y＝ －1的图象关于x轴对称的图象大致是
解析 y＝ 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，
函数y＝ －1的图象可看作是由y＝ 的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，
则y＝ －1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
6.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点 ，则幂函数f(x)具有的性质是A.在其定义域上为增函数B.在(0，＋∞)上单调递减C.奇函数D.定义域为R
解析 设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减.
7.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是__________.
解析 因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.故α<0.
8.给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.则正确结论的序号为_____.
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.
9.比较下列各组数的大小：
解 函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
(1) 和 ；
又3<3.2，所以 .
解 函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
(2) 和 ；
10.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数.(1)求f(x)的解析式；
解 由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围.
所以实数a的取值范围为(2,6).
11.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－ 的图象可能是
解析 选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－ 应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－ 应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－ >0，直线y＝ax－ 与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.
解析 因为函数f(x)＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
13.函数f(x)＝ ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是A.f(a)>f(b) B.f(a)
∴f(x)＝ ，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).
14.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝ .某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是_____(填序号).
解析 对于函数①，f(x)＝x－1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确；对于函数②，f(x)＝x－2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断③④中函数不符合条件.
15.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是_____.
则y＝ ，由 ＝3，得x＝9，即明文是9.
16.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足 的a的取值范围.
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为 .
因为y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a
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