黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

2022-2023年度哈九中高一下学期3月月考考试

数学学科试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

I卷

一､单选题，本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（    ）

A.    B.    C.    D.

2.函数一部分图象如下图所示，此函数的解析式为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.函数图象的一个对称中心是（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（    ）

A.2    B.4    C.6    D.8

5.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.已知是边长为1的正三角形，，则（    ）

A.    B.    C.    D.1

7.记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为.已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动.若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间（单位：）的函数解析式为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.设，且，若向量满足，则的最大值是（    ）

A.5    B.6    C.7    D.8

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列不等式中成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.已知向量和实数，下列说法正确的是（    ）

A.若，则或

B.

C.若则与共线同向

D.若，则为钝角三角形

11.已知函数，对任意均有，且在上单调递减，则下列说法正确的有（    ）

A.函数图像关于对称

B.函数的最小正周期为

C.函数的图像可由函数的图象向左平移个单位长度得到

D.若在上恒成立.，则的最大值为

12.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ）

A.    B.

C.    D.

II卷

二､填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）

13.__________.

14.已知向量与的夹角为，则实数__________.

15.在中，，若均大于0，则的值为__________.

16.已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，__________.

三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17.（本小题满分10分）

设两个非零向量与不共线.

（1）若，，求证三点共线.

（2）试确定实数，使和共线.

18.（本小题满分12分）

知.

（1）若为第一象限角，求；

（2）求的值.

19.（本小题满分12分）

已知向量与的夹角，且，.

（1）求，；

（2）求；

（3）与的夹角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）已知，且，求的值.

21.（本小题满分12分）

已知函数，且当时，的最大值为.

（1）求a的值；

（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围.

22.（本小题满分12分）

定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.

（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由.

（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围.

参考答案

1.B    2.A    3.C    4.B    5.A    6.A    7.D    8.B

9.AD    10.BD    11.ACD    12.BC

13.1    14.-2    15.15    16.

17.（1）因为，

所以

所以，共线，

又因为它们有公共点，

所以三点共线；

（2）因为和共线，

所以存在实数，使，

所以，

即.

又，是两个不共线的非零向量，

所以

所以，

所以或.

18.（1）因为，

所以，则.

因为为第一象限角，所以，

（2）由（1）知，

所以，

所以

19.（1）已知向量与的夹角，且，，则，

所以；

（2）

（3）与的夹角的余弦值为.

20.（1）.

所以函数的单调递增区间是

（2）

21.（1）

，

令，则在上的最大值为，

当时，的开口向下，对称轴为，

故当时，即时，在取到最大值，

则，解得或(舍去).

当时，即时，在取到最大值

则，解得(舍)

所以

（2）由（1）可得：，

令，则的开口向下，对称轴为，

故当或时，取到最小值，

故在上的值域，

又∵，则，故，

设在上的值域为，

若对任意的，总存在，使得，则，

当时，则，显然不成立，不合题意，舍去；

当时，则，可得，解得；

当时，则，可得，解得；

综上所述：实数b的取值范围为.

22.（1）因为

，

所以，函数存在相伴向量，，

所以，与共线的单位向量为或

.

（2）的“相伴函数”，

因为在处取得最大值，

所以，当，即时，有最大值，

所以，，

所以，

因为，，

所以，

所以，

令，则，

因为均为上的单调递减函数，

所以在上单调递减，

所以，

所以，，

所以，的取值范围为.