高中数学新教材必修第二册课件PPT 第6章 §6.3 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示第六章　 §6.3　平面向量基本定理及坐标表示1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.学习目标同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其性质，我们也学会了用“坐标语言”去描述向量的加法、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标去表示两向量的数量积呢？导语随堂演练课时对点练一、平面向量数量积的坐标表示二、平面向量的模三、平面向量的夹角、垂直问题内容索引一、平面向量数量积的坐标表示问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？提示　i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .x1x2＋y1y2例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于A.10 B.－10 C.3 D.－3√解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于A.6 B.5 C.4 D.3√解析　由题意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.反思感悟　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2,2)，B(0,0)，C(2,0)，二、平面向量的模1.若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ .x2＋y2例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于√解析　∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.√解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.三、平面向量的夹角、垂直问题设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.x1x2＋y1y2＝02.a⊥b⇔ .注意点：(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆.(2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角.例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2).(1)求a与b夹角的余弦值；解　因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.解　因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.√(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝_____.解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m，1)，∴a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1,3).又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.71.知识清单：(1)平面向量数量积的坐标表示.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).课堂小结2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.随堂演练1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于√1234解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为√1234a·b＝3×5＋4×12＝63.3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于√1234解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，71234课时对点练1.(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是A.|a|＝b2 B.a·b＝0C.a∥b D.(a－b)⊥b√解析　|a|＝b2＝2，故A正确，B，C显然错误，a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.故D正确.基础巩固12345678910111213141516√2.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于√解析　由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，123456789101112131415163.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形√12345678910111213141516所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.4.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于√解析　a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　∵四边形OABC是平行四边形，123456789101112131415166.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝ 则b等于A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3)√解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，12345678910111213141516又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).7.已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝____.4解析　∵a＋2b＝(1,5)，∴a·(a＋2b)＝4.123456789101112131415168.设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝_____.－1解析　由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.123456789101112131415169.已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1).12345678910111213141516故c＝(－3,3)或c＝(3，－3).(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.12345678910111213141516即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，因为θ∈[0，π]，(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；12345678910111213141516设a－b与a之间的夹角为θ，(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围.12345678910111213141516易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，11.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1√解析　由m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.12345678910111213141516综合运用√12345678910111213141516√√12345678910111213141516＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，12345678910111213141516A.(－3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)√此时点P的坐标为(3,0).12345678910111213141516解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.1234567891011121314151615.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是A.锐角 B.钝角C.直角 D.不确定√拓广探究12345678910111213141516所以p·q＝sin A－cos B>0，12345678910111213141516又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.1234567891011121314151612345678910111213141516即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.由(1)知x＋2y＝0，与上式联立，化简得y2－2y－3＝0，解得y＝3或y＝－1.当y＝3时，x＝－6，12345678910111213141516