2023年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷）（含解析）

2023年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷）

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  根据有关部门测算，年春节假期天，全国国内旅游出游人次．数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是(    )
 

A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 三个视图均相同

4.  为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  一个圆锥的底面直径是，母线长是，则圆锥侧面展开图的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小系为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出(    )

A. 和的面积之差 B. 和的面积之和
C. 和的面积之和 D. 和的面积之和

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  写出一个大于的负数        ．

11.  分解因式：            ．

12.  一个不透明的袋子里装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是红球的概率为        ．

13.  定义一种新运算：对于任意的非零实数，，若，则的值为______．

14.  如图，在中，点在上，，以为半径的圆与相切于点是边上的动点，当为直角三角形时，的长为        ．

15.  如图，矩形中，，点为上一点，将沿着翻折得到，恰有，且，则的长为        ，的值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

17.  本小题分
如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．
再将图中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形画出两种不同的涂法；
再将图中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．
 

18.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于等于，请根据图象直接写出的取值范围．

19.  本小题分
某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间单位：小时的合格标准，为此随机调查了名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
学生目前每周劳动时间统计表

画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准时间取整数小时，并用统计量说明其合理性．

20.  本小题分
知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足参考数据：，，，，，，，，
如图，现有一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上．
当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端与地面距离的最大值；
当梯子底端距离墙面时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

21.  本小题分
为抗击疫情，支援市，市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往市．甲、乙两辆货车从市出发前往市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往市．乙车维修完毕后立即返回市．两车离市的距离与乙车所用时间之间的函数图象如图所示．
甲车速度是______，乙车出发时速度是______；
求乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
乙车出发多少小时，两车之间的距离是？请直接写出答案．
 

22.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，，是边上一点不与，重合，是边上一点，求证：∽．
如图，在的条件下，已知，当为等腰三角形时，求的长．
【拓展提高】
如图，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上若，求的值．
 

23.  本小题分
如图，为的直径，弦交于点不与点，重合，连结，．
求证：；
如图，若，求证：；
在的条件下．
如图，若，求的值；
如图，连结并延长与的延长线交于点，设，与四边形的面积之比为，求关于的函数表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据积的乘方判断选项；根据幂的乘方和同底数幂的除法判断选项；根据平方差公式判断选项．
本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据三视图的定义判断即可．
【解答】
解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个圆．
故选：．
【点评】
本题主要考查了三视图，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．  

4.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是．
故选：．
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
此题主要考查了众数、中位数的概念，正确把握中位数的概念是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，，，
所以侧面展开图扇形的弧的长为，
由扇形面积的计算公式得，
圆锥侧面展开图的面积为，
故选：．
先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．
本题考查弧长的计算，扇形面积的计算，掌握弧长、扇形面积的计算公式是正确计算的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，，
，
，
，
，
故选项B、C正确；
，
，故选项D正确；
故选：．
根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得和的长，再根据平行线的性质，即可得到的长，从而可以判断和，然后即可得到的长，即可判断；从而可得到答案．
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故选：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
．
故选：．
先根据二次函数的解析式判断出函数图象开口方向和对称轴，再由进行判断即可．
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设、、、分别交、、、于点、、、，
，，
，
，
设正方形和正方形的边长都是，正方形的边长为，
，
，
，，
，，
，
整理得，
，
的结果与值的大小无关，
故A不符合题意；
，
和的面积之和可由的值求得，
故B符合题意；
，
和的面积之和不能由的值求得，
故C不符合题意；
，
和的面积之和不能由的值求得，
故D不符合题意，
故选：．
设、、、分别交、、、于点、、、，由，，证明，设正方形和正方形的边长都是，正方形的边长为，则，，可求得，可推导出；；；，可知符合题意．
此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、矩形的面积公式、三角形的面积公式、整式的乘法等知识，正确地用代数式表示图中阴影部分的面积是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：大于的负数有，，等，
故答案为：．
根据有理数的大小比较法则和负数的意义找出即可．
本题考查了负数和有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
化为整式方程得：，
解得：，
检验：当时，，
原方程的解为：．
故答案为：．
根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：为的切线，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
当时，，
当时，，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
根据切线的性质得到，再在中利用正弦的定义可求出，则，当时，易得，当时，．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．
 

15.【答案】  

【解析】解：连接，过点作于点，如图，

根据折叠的性质可知，，
，
，
又，
，即为等腰三角形，
，，
，
在中，，
，
由勾股定理得，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
．
故答案为：，．
连接，过点作于点，根据折叠性质可知，则，由三角形外角性质得，进而得到为等腰三角形，则，，再根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可．
本题主要考查折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角性质，灵活作出辅助线，正确构造出直角三角形解决问题是解题关键．
 

16.【答案】解：

．
解不等式，得．
解不等式，得．
这个不等式组的解集为． 

【解析】根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法．
根据不等式的基本性质解决此题．
本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、单项式乘多项式、解一元一次不等式组，熟练掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、单项式乘多项式的乘法法则、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
 

17.【答案】见下图：
见下图：
 

【解析】根据轴对称图形的性质得出答案即可；
根据中心对称图形的性质得出答案即可．
此题主要考查了利用旋转设计图案，熟练掌握对称图形的性质是解题关键．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
，，
，
点坐标为，
将点，代入，
得，
解得，
一次函数表达式为，
反比例函数的表达式为，一次函数的表达式；
点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于等于，
且，
由图象可知，或． 

【解析】将点代入反比例函数表达式，求出，再进一步求出点坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；
根据点在该反比例函数图象上，且它到轴距离小于等于，可得且，结合图象即可确定的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
；
小时，
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为小时．
以下两种方案选一即可
从平均数看，标准可以定为小时，
理由：平均数为小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为小时，把标准定为小时，至少有的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．
从中位数的范围或频数看，标准可以定位小时，
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在范围内，把标准定为小时，至少有的学生目前能达标，同时至少有的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性． 

【解析】根据数据所占比例得出结论即可；
按平均数的概念求出平均数即可；
根据平均数或中位数得出标准，并给出相应的理由即可．
本题主要考查统计的知识，熟练掌握平均数，中位数等统计的基础知识是解题的关键．
 

20.【答案】解：，当时，取最大值，
在中，，
米，
梯子顶端与地面的距离的最大值为米；
在中，，
，
，
，
人能安全使用这架梯子． 

【解析】根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可；
根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图象可得，
甲车的速度为：，
乙车出发时速度是：，
故答案为：，；
乙车返回过程中，设乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式是，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式是；
设乙车出发小时，两车之间的距离是，
当时，
，
解得；
当时，
，
解得；
当时，
乙车返回的速度为：，
，
解得；
答：乙车出发小时或小时或小时，两车之间的距离是．
根据函数图象中的数据，可以计算出甲车速度和乙车出发时速度；
根据函数图象中的数据，可以计算出乙车返回过程中，乙车离市的距离与乙车所用时间的函数解析式；
根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
∽；
解：如图，

当时，
，，
，
，
，
如图，

当时，，
∽，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：如图，

作，交于，
由可知：，
∽，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
设，
在中，，，，
，
，舍去，
，
． 

【解析】由，得出，进一步得出结论；
当时，可推出；当时，可得，，从而，进一步得出结果；
作，交于，可推出∽，，从而，求得的长，可证得∽，从而，从而求得，设，在中列出，，从而解得的值，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

23.【答案】证明：连接，如图，

为的直径，
，
．
，
；
证明：连接，，如图，

，，
．
，
∽，
，
，
；
解：，
设，则，
，，

∽，
，
．
，
．
，，
，
．
．
设，则，
，，
∽，
，
，
，，

．
为的直径，
．
．
连接，如图，

四边形为的内接四边形，
．
，
∽，
．
，
设，则，
，
．
由知：，．
，
，
，
∽，
，
，


，，
∽，
．
，
，
关于的函数表达式为． 

【解析】连接，利用圆周角定理解答即可；
连接，，利用相似三角形的判定与性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
设，则，利用相似三角形的判定与性质和的结论得到，利用相似三角形的判定与性质得到，的关系，进而得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理即可求得结论；
利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关概念与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．