数学（黄冈、孝感、咸宁卷）-学易金卷：2023年中考第二次模拟考试卷

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2023年中考数学第二次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
A
D
B
D
A
C
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．2的倒数是（   ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】B
【详解】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.
【详解】∵2×=1，
∴2的倒数是，
故选B .
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.
2．下列图标，是轴对称图形的是（   ）
A． B． C．  D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项进行分析判断即可得.
【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合的图形是解题的关键.
3．人体最小的细胞是血小板．5000000个血小板紧密排成一直线长约，数据5000000用科学记数法表示是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：数据5000000用科学记数法表示是．
故选：A
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4．如图，是由个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设每个小等边三角的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：先设每个小等边三角的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
5．若干桶方便面摆放在桌面上，它的三个视图如下，则这一堆方便面共有（    ）

A．7桶 B．8桶 C．9桶 D．10桶
【答案】B
【分析】根据三视图的知识，底层应有5桶方便面，第二层应有2桶，第三层有1桶，即可得出答案．
【详解】
综合三视图，这堆方便面底层应该有5桶，
第二层应该有2桶，
第三层应该有1桶，
因此共有桶
故选B
【点睛】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握□诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
6．如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）

A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
【答案】D
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【详解】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于4，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息．
7．如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（　　）

A．＋ B．1＋ C． D．＋1
【答案】A
【分析】设与EF交于H，连接AH，根据旋转的性质得到AH=AD=BC=2，根据直角三角形的性质得到∠AHE=∠GAH=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，设与EF交于H，连接AH，

∵AB=1，BC=2，
∴AH=AD=BC=2，AE=AB=1，
∴AH=2AE=2，
∵∠HEA=90°，
∴，
∴∠AHE=∠GAH=30°，
∵AE=AB=1，
∴HE=，
∴阴影部分的面积=S扇形AHG+S△AHE=，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在一个单位面积为1的方格纸上，，，，……是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，则的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察图形可以看出；；每4个为一组，由于，在轴负半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
【详解】解：观察图形可以看出；；……每4个为一组，
∵，
∴在x轴负半轴上，纵坐标为0，
∵、、、……的横坐标分别为0，，，……
∴的横坐标为．
∴的坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标的规律，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确寻找规律是解题的关键．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．若，则 _______．
【答案】3
【分析】根据，则，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查比例的性质，根据已知条件得出是解题的关键．
10．在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．若关于x的分式方程无解，则___________．
【答案】或3或
【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解．
【详解】解：
方程两边都乘，得
，
化简得，得：，
当时，方程无解；
当时，分母为零，分式方程无解，
把代入整式方程，；
把代入整式方程，得；
综上可得：或3或．
故答案是：或3或．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是分情况分析：当分式方程有增根的情况和分式方程化简后的整式方程无解的情况．
12．已知m，n是一元二次方程的两个根，则多项式的值为______．
【答案】8
【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系代入求解．
【详解】解：由题意：，；
将代入方程可得：，即；
∴原式=
=
=；
故答案为：8．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的根的定义，解题关键是牢记公式，并能利用根的意义将根代入方程得到相应等式，从而实现对所求多项式的降次．
13．如图，点、、都在格点上，则的正切值为__________．

【答案】
【分析】如图所示，过点B作于C，交延长线于D，先利用勾股定理和等面积法求出，，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作于C，交延长线于D，

由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．如图，在中，，，，为边上一点，沿将三角形进行折叠，使点落在点处，记与边的交点为，若，则的长为______．

【答案】
【分析】由，和折叠的性质，易知，根据正切函数可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴．
由折叠的性质可知，，
∴，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用三角函数解直角三角形．
15．如图，点A，B在函数的图象上，与函数的图象交于点C，轴，，则______．

【答案】
【分析】根据题意设A点、C点坐标，设出直线的直线解析式，代入C点坐标，求出B点坐标，再连接并延长交y轴于点M，根据直角三角形的性质得出，根据正切值的定义求出即可．
【详解】解：设直线和函数的交点为N，连接并延长交y轴于点M，如图所示，

由题意得：设点A坐标为，点C坐标为，设直线的解析式为，设点B坐标为，
把B点坐标代入直线解析式得，
∴，
把C点坐标代入直线解析式得：，
解得：，
∴B点坐标为，
∴，
，
∴，
设直线的解析式为，
把A点坐标代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线和函数相交于点N，
∴，
解得：，
把代入直线得：，
∴轴，N为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
等式两边同时平方得：，
令得：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数正切值，涉及到了反比例函数的性质直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
16．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于点，交于点，过点作于点，连接．现给出以下结论：

①；
②若，，则；
③；
④当时，．
其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】过O作，，交、于点G、H，根据角平分线性质可得到，即可判断①②，在中根据三角形内角和定理可得，可得，结合即可判断③，在上截取，当时，由③可得，即可得到，即可判断④，即可得到答案；
【详解】解：过O作，，交、于点G、H，
∵和的平分线，相交于点，，，，
∴，
∴平分角，故①正确；
∵，，
∴，故②错误；
在中根据三角形内角和定理可得，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
在上截取，
∵和的平分线，相交于点，平分角，
∴，，，
在与，
，
，
∴，
∴，
∴，
在与，
，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①③④；

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键作辅助线．

四、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】，不等式组的正整数解为：1，2，3
【分析】分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．
【详解】解：解不等式得．
解不等式得，
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集是解题的关键．
18．已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点．

(1)求证：；
(2)当，时，求的长？
(3)当时，求的最大值？
【答案】(1)证明见解析
(2)6
(3)4

【分析】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论；
（2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则；
（3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

（2）解：延长到M使得，
由（1）可得，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴；

（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴当为直径时，最大，
设圆心为O，连接，过点O作于M，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
19．某校为了解“阳光体育”活动的开展情况，从全校1000名学生中，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能从A、B、C、D中选择一项自己喜欢的活动项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

A：踢毽子   B：乒乓球    C：篮球    D：跳绳
根据以上信息，解答下列问题：
(1)被调查的学生共有 人，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求表示区域D的扇形圆心角的度数；
(3)全校学生中喜欢篮球的人数大约是多少人？
【答案】(1)，图见解析
(2)
(3)人

【分析】（1）用B的百分比和人数求出总人数，用总人数减去已知的人数，得到A的人数，画图即可；
（2）用D的人数除以总人数，求出百分比，乘以360°即可；
（3）用20除以50得到喜欢篮球的百分比，然后乘以总人数即可估算
【详解】（1）解：，

画图如下；

（2）
∴表示区域D的扇形圆心角的度数
（3）（人）．
答：估计全校学生中喜欢篮球的人数有400人．
【点睛】本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

(1)求点的坐标和反比例函数的解析式；
(2)点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)6

【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得B、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BDx轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，

代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝−1，
∴D（−1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用．
21．如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接OD．

∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22．某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
售价x（元/件）


销售量（件）
100


①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元
(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32

【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．
【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，
由题意，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
当时：；
∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；
（2）解：①设利润为，由表格，得：
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当售价为元时，利润最大为：元；
当，，
∵，
∴当时，利润最大为元；
综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．
②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，
∴A型纪念品的件数小于100件，
∴，此时该商场购进型纪念品为件，
∴购进型纪念品为件，
∵A型纪念品的件数不小于50件，
∴，
∴，
设总利润为y元，根据题意得：
，
∴
，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴当时，y有最大值，
∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．
23．【背景】
如图1，矩形中，，，、分别是、的中点，折叠矩形使点落在上的点处，折痕为．
【操作】
（1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点（不写作法，保留作图痕迹）；
【应用】
（2）求的度数和的长；
（3）如图2，若点是直线上的一个动点．连接，在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是__________ ；

【拓展】
（4）如图3，若点是射线上的一个动点．将沿翻折，得，延长至，使，连接．当是直角三角形时，的长为多少？请直接写出答案：__________．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）4或6或8或12
【分析】（1）连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于，两点，连接即为所求．
（2）由折叠可知，再证明垂直平分，得到，则为等边三角形，得到，则；
（3）如图所示，取中点，连接，， 由直角三角形斜边上的直线的性质得到，则为等边三角形．证明，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此求解即可；
（4）分如图4-1，4-2，4-3，4-4四种情况，分别求出对应的的长即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；

（2）由折叠可知，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，；
（3）如图所示，取中点，连接，，
∵，为中点，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形．
∵为等边三角形，
∴，．
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴．
∴的最小值为，
故答案为：；

（4）如图4-1所示，当时，在射线上时，此时点与点重合，
∴；

如图4-2所示，当时，此时点T与点A重合，
由折叠的性质可得，
∴，
∴；

如图4-2所示，当时，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴；

如图4-4所示，当时，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，当是直角三角形时，的长为4或6或8或12，
故答案为：4或6或8或12．

【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题， 勾股定理，圆周角定理，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．已知抛物线与轴交于点和点，对称轴是直线，与轴交于点，点在抛物线上（不与A，重合）．
(1)当时．
①求抛物线的解析式；
②点在直线的下方，且的面积最大，求此时点的坐标；
(2)若直线，分别与轴交于点、判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)是定值，3

【分析】（1）①将，对称轴为直线，代入求解即可得到答案；②设，直线的解析式为，解出直线解析式，过点作轴，交于点，用m表示出H点，列出面积关于m的解析式，利用函数性质即可得到答案；
（2）根据对称轴是直线，得到，，设点，求出直线、的解析式，求出D、E坐标，即可得到答案；
【详解】（1）解：①当时，二次函数的解析式为．
∵对称轴为直线，，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
②设，直线的解析式为．
∵，，
∴解得
∴直线的解析式为．
过点作轴，交于点．

∴，
∴，
∴

，
∴当时，最大，
∴；
（2）解：是定值，理由如下，
∵对称轴是直线，，

∴，
∴，
∴，
设，
则直线的解析式为，
直线的解析式为，
∴，，
∴，
，
∴；
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数动点最大面积问题，二次函数动点线段问题，解题的关键是作辅助线表示出点的坐标．