初中数学第六章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定完整版课件ppt

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正方形的定义正方形的性质正方形的判定中点四边形
1. 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；
特别提醒1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件:(1) 一组邻边相等.(2) 一个角是直角.2.正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形.
2. 四边形定义间的关系
如图1-3-1，在△ ABC 中，∠ ABC=90°，BD 平分∠ ABC 交AC 于点D，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形BEDF 是正方形.
解题秘方：紧扣定义中“四条边都相等，四个角都是直角”进行判定.
证明： ∵ DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∠ ABC=90°，∴∠ DEB=∠ EBF=∠ BFD=90°.∴四边形BEDF 是矩形.∴∠ DEB= ∠ EBF= ∠ BFD= ∠ FDE=90°，BE=FD，BF=ED.又∵ BD 平分∠ ABC，DE ⊥ BC，DF ⊥ AB，∴ DE=DF.∴ DE=DF=BF=BE. ∴四边形BEDF 是正方形.
1-1. 如图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°，DE 垂直平分AC，DF ⊥ BC.当△ ABC 满足条件____________________时，四边形DECF 是正方形.(要求：①不再添加任何辅助线；②只需填一个符合要求的条件)
AC＝BC(答案不唯一)
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)对称性：是轴对称图形，有4 条对称轴；(5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半.
特别提醒●正方形的特殊性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.2.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.
如图1-3-2，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，F为BC 延长线上一点，CE=CF.
解题秘方：从正方形中获取边、角相等的信息解决问题.
(1)求证：△ BCE ≌△ DCF；
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ BC=DC，∠ BCE= ∠ DCF=90° .又∵ CE=CF，∴△ BCE ≌△ DCF.
(2)若∠ BEC=60°，求∠ EFD 的度数.
解：∵△ BCE ≌△ DCF，∠ BEC=60°，∴∠ DFC= ∠ BEC=60° .∵ CE=CF，∠ ECF=90°，∴∠ CFE=45° .∴∠ EFD=∠ DFC－ ∠ CFE=60°－45°=15°.
2-1. 如图， 四边形ABCD 是正方形， 点E在BC 的延长线上. 如果BE=BD， 且AB=2 cm，求∠ E 的度数和BE 的长.
(1)从四边形出发：①四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.
方法点拨判定正方形的常见思路：1. 从边上证明. 矩形 正方形；2. 从角上证明.菱形 正方形；3. 从对角线上证明.(1)矩形 正方形；(2)菱形 正方形；(3)平行四边形 正方形；
如图1-3-3，点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
解题秘方：“先确定待证四边形是一种特殊的四边形，再加上边或角或对角线的关系”确定它是正方形.
证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴ BC=CD=DA=AB，∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90°.又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴ D′A=A′B=B′C=C′D.∴△ AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′(SAS).∴ D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠ 2= ∠ 3.∴四边形A′B′C′D′为菱形.∵∠ 1+ ∠ 2=90°，∴∠ 1+ ∠ 3=90°.∴∠ D′A′B′=180°－(∠ 1+ ∠ 3)=90°.∴四边形A′B′C′D′为正方形.
3-1. 如图， 在四边形ABCD 中，AB=BC，对角线BD 平分∠ ABC，P 是BD 上一点， 过点P 作PM ⊥ AD，PN ⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证∠ ADB=∠ CDB；
证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB＝∠CDB.
(2)若∠ ADC=90 °， 求证： 四边形MPND 是正方形.
证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°.∴PM＝MD.∴四边形MPND是正方形．
1. 中点四边形概念 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形.如图1-3-4，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形EFGH 就是中点四边形.
2. 常见的中点四边形(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形.(2)平行四边形的中点四边形是平行四边形.(3)矩形的中点四边形是菱形.(4)菱形的中点四边形是矩形.(5)正方形的中点四边形是正方形.
特别提醒:中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形；)两条对角线相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
如图1-3-5，顺次连接菱形ABCD 的各边中点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形EFGH 的面积.
解题秘方：要求中点四边形的面积，确定中点四边形的形状以及边的长度是关键.
4-1. 如图所示，在四边形ABCD 中， AC =BD，E，F，G，H 分别为边AB , BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH 为菱形.