第一章-三角形的证明解答题（提升题）-2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练【北京市2021-2022八下期末试题汇编】

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第一章-三角形的证明解答题（提升题）-2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练【北京市2021-2022八下期末试题汇编】

一、解答题
1．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．

（1）如图1，当时，则_______°；
（2）当时，
①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．
2．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．

在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．
（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，
①当时，ABC关于直线的对称度的值是 ：
②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是 ．
（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．
（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．
3．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
（2）如图2，线段AD交PC于点E，
①设，求的度数；
②求证：．
4．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．

（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：_______ （填“是”或“否”） ；
②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝，则DE＝_______；
③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．
①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；
②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为_______（用含a的式子表示）．
5．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．
已知点，．
（1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”；
（2）在点，，中，______是线段OA和OB的“等距点”；
（3）点为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”．
①当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；
②若点P在内，请直接写出满足条件的m的取值范围．
6．（2022秋·北京昌平·九年级统考期末）已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


7．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F．
（1）根据题意完成作图；
（2）猜想DF的长并证明；
（3）若点M在射线OC上，且满足，直接写出线段ME的最小值．

8．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和四边形OABC，给出如下定义：若在四边形OABC上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为四边形OABC的“关联点”．
如图，已知点，，．

(1)在点，，中，四边形OABC的关联点是______；
(2)点G为直线上一点．
①若直线过点，点G是四边形OABC的关联点，求点G的横坐标的取值范围；
②若直线上，不存在点G是四边形OABC的关联点，直接写出k的取值范围．
9．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．

(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．

①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
10．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线l是过点M且垂直于y轴的直线，点关于直线l的轴对称点Q，连接，过Q作垂直于y轴的直线与射线交于点，则称为P点的M中心对称点．

(1)如图1，当，时Q点坐标为____________，点坐标为____________；
(2)若P点的M中心对称点为，，则____________，P点的坐标为____________；
(3)在（1）中，在内部（不含边界）存在点N，使点N到和的距离相等，则N点横坐标n的取值范围是___________．
11．（2022秋·北京丰台·八年级期末）在平面中，对于点，，，若，且，则称点是点和点的“垂等点”．在平面直角坐标系中，

(1)已知点，点，则点，，中是点和点的“垂等点”的是_______；
(2)已知点，．
①若在第二象限内存在点，使得点是点和点的”垂等点”，写出点的坐标（用含的式子表示），并说明理由；
②当时，点，点是线段，上的动点（点，点不与点，，重合）．若点是点和点的”垂等点”，直接写出点的纵坐标的取值范围．
12．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）康康同学在研究等边三角形，如图1，已知是等边三角形，D为边的中点，E为中线上一点（E不可取A点，可取D点），点E关于直线的对称点是点F．连接，，．

(1)①在图1中补全图形；
②他发现E点在中线上运动时，是一种特殊三角形．
请你回答是 三角形；
③利用图1证明这个结论．
(2)康康同学发现当E点在中线上运动时，的长度也有规律的变化．当为最大值时，在图2中画出点F，并连接与交于点P．
①按要求画出图形；
②在上存在一点Q，使的值最小，猜想这最小值____________（填>，