第一章-三角形的证明解答题（中档题）-2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练【北京市2021-2022八下期末试题汇编】

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第一章-三角形的证明解答题（中档题）-2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练【北京市2021-2022八下期末试题汇编】

一、解答题
1．（2022秋·北京西城·八年级统考期末）已知：如图1，线段a，b（）．

（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使．
④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；

（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ．
④以P为圆心，以 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

2．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的友爱点．

（1）在，，中，的友爱点是________；
（2）如图2，若P为内一点，且，求证：P为的友爱点；
（3）直线l为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个友爱点，直接写出的取值范围．
3．（2022秋·北京石景山·九年级统考期末）如图，AD是的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E重合），．

（1）比较与的大小；
（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明.
（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．

4．（2022秋·北京西城·八年级北京八中期末）如图，已知，，作图及步骤如下：
（1）以点为圆心，为半径画弧；
（2）以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；
（3）连接，交延长线于点．
（4）过点作于点，于点．
请根据以下推理过程，填写依据：
，
点、点在的垂直平分线上（________）
直线是的垂直平分线（________）
，
（等腰三角形________、________、________相互重合）
又，
（________）
在中，
（________）

5．（2022秋·北京·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．
请根据上述分析过程，完成解答过程．

6．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）一个三角形三边长分别为a，b，c．
（1）当a＝3，b＝4时，
① c的取值范围是________；
② 若这个三角形是直角三角形，则c的值是________；
（2）当三边长满足时，
① 若两边长为3和4，则第三边的值是________；
② 在作图区内，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：已知两边长为a，c（a＜c），求作长度为b的线段（标注出相关线段的长度）．

7．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．

8．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．

(1)依题意补全图形；
(2)猜想EF和EG的数量关系并证明；
(3)求证：ED＋EF＝2EM．
9．（2022秋·北京·八年级校联考期末）如图，在中，，．

（1）尺规作图：
①作边的垂直平分线交于点，交于点；
②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中；求的度数．
解：∵垂直平分线段，
∴，（_________）（填推理依据）
∴，（__________）（填推理依据）
∵，∴，
∵，
∴__________，
∴__________，
∵平分，
∴__________．
10．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小牧在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”

（1）请你用尺规作图，在图中作出线段的中点，并连接．（保留作图痕迹）
（2）请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．
已知：_____________．
求证：为直角三角形．
（3）补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点是线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
在中，∵，
∴，（___________）（填推理的依据），
同理，在中，．
在中
∵．
∴________，
∴在中， ，
∴为直角三角形．
11．（2022春·北京西城·七年级统考期末）已知，点A在射线OX上，点P在∠XOY外部，，以P为顶点，PA为一边，大小为α的角的另一边交射线OX于点M．

(1)如图1，当点M与点O位于PA所在直线异侧时，∠XOY的平分线与射线PA的交点为点N．补全图形并直接写出直线ON与直线PM的位置关系；
(2)当点M与点O位于PA所在直线同侧时，射线PM与射线OY交于点B，点C在线段BA的延长线上．
①如图2，若AP平分∠OAC，求证：BP平分∠OBC；
②当PM⊥OA时，直接写出α的度数并画出符合题意的图形．
12．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD 平分∠CAB，交BC 边于点 D，且CD＝BD，
求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（    ）；
A.两人都正确            B.甲正确，乙错误            C.甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．

13．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，点A，B分别为∠MON的边OM，ON上的定点，点C为射线ON上的动点(不与点O，B重合)．连接AC，过点C作CD⊥AC，过点B作BE∥OA，交直线CD于点F．

(1)如图1，若点C在线段OB的延长线上，
①依题意补全图1；
②用等式表示∠OAC与∠BFC的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若点C在线段OB上，直接用等式表示出∠OAC与∠BFC的数量关系．
14．（2022春·北京门头沟·七年级统考期末）动手操作题： 如图，三角形ABC， 按要求画图并填空，通过测量解决下面的问题：

(1)作∠ABC的平分线，交AC于点D；
(2)过点D作BC的平行线，交AB于点E；
(3)写出一对相等的角（角平分线平分的两个角相等除外）_______________；
(4)写出一对相等的线段_______________．
15．（2022秋·北京密云·八年级统考期末）对于平面内三个点P，A，B，给出如下定义：将线段与线段长度的和叫做线段关于点P的折线距离，记为．例如下图中，A，B，C三点共线，，，则线段关于点B的折线距离，线段关于点C的折线距离．

(1)如图，中，，，D是中点．

①_______．
②P是线段上动点，确定点P的位置使得的值最小，并求出的最小值．
(2)中，，过点C作的垂线l，点Q在直线l上，直接写出的最小值的取值范围．
16．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）在中，是边的中线，E是边上一点，交于点F．

(1)如图①，判断的形状并证明；
(2)如图②，，
①补全图形；
②用等式表示之间的数量关系并证明．
17．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）阅读下面材料：
直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法．
方法一  利用直尺和圆规作角的平分线．
已知：．
求作：的平分线．
作法：如图①，
（1）以点O为圆心，适当长为半径画孤，交于点M，交于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C．
（3）画射线．射线即为所求．

方法二  利用三角板画角的平分线．
画已知的平分线．
画法：
（1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且．
（2）画射线．射线即为所求．


(1)请证明方法一中的是的平分线；
(2)直接写出方法二中的是的平分线的依据．
18．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：．
小明发现，延长AD到点H，使DH=AD，连结BH，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．

19．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B为不重合的两个点，若点C到A，B两点的距离相等，则称点C是线段AB的“公正点”．特别地，当时，称点C是线段AB的“近公正点”．
(1)已知，，在点，，，中，线段AB的“公正点”为___________；
(2)已知点，作，射线MN交x轴负半轴于点N．
①若点P在y轴上，点P是线段MN的“公正点”，则点P的坐标是___________；
②若点是线段MN的“近公正点”，直接写出b的取值范围是___________．
20．（2022秋·北京·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是等边三角形，点在点的上方，以为边长作等边，连接，延长线段交轴于点．

(1)直接写出图中与线段长度相等的线段：________；
(2)线段的长度是否为一定值，若为定值，请给出定值并证明，若不是定值，请给出线段的取值范围；
21．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）我们规定：在同一平面内的点A以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“一次对称点”，将一次对称点再以直线为对称轴进行翻折后得到点，称作点A的“二次对称点”．

(1)如图1，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；
(2)如图2，已知直线与直线的夹角是，点A在直线上，依题意画出点A的“二次对称点”，并说出以为顶点的三角形的形状；
(3)如图3，如果“二次对称点”落在上，且点A在直线上，请依题意画出直线，保留作图痕迹．
22．（2022秋·北京·八年级校考期末）A．阅读下列材料：
下面是小明同学“作一个角等于 的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段（如图1），
求作：，使，
作法：如图2，
（1）分别以点A，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接；
（2）连接并延长，使得；
（3）连接，
就是所求的直角三角形．

请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法．

23．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，中，，（），为边上的中线，过点作于，交于点，作的角平分线于，交于．

(1)①补全图形1；
②求的度数（用含的式子表示）．
(2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你的结论．
24．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）如图，已知线段．

(1)选择合适的画图工具，按下列步骤画图：
①延长线段至点，使；
②在线段上方画射线，使；
③在射线上取一点（不与点重合），连接，．
(2)根据画出的图形，判断与的长短（直接写出答案）．

参考答案：
1．（1）见解析；（2）b，a，见解析
【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；
（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．
【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；

（2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝b．
④以P为圆心，以a的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．
如图，PEF就是所求作的等腰三角形．


故答案为：b，a．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键．
2．（1）P1、P2；（2）见解析；（3）0＜m＜2
【分析】（1）根据A（x1，y1）、和B（x2，y2）之间的距离公式AB=以及友爱点定义解答即可；
（2）由题意易知∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，进而可求得∠PAC=∠OCP=30°，则可得出∠ACP=∠APC=75°，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；
（3）由题意，△ABC在友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC=AC三种情况，分别讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵点，关于y轴对称，点在y轴上，
∴AP1=BP1，故P1是的友爱点；
∵AP2= ，CP2= ，
∴AP2= CP2，故P1是的友爱点；
∵AP3=，CP3=，
BP3=，BC=，
∴故P3不是的友爱点，
综上，的友爱点是P1、P2，
故答案为：P1、P2；
（2）∵点，，，
∴OA=OB=OC，AC= BC， ∠BOC=90°，
∴∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，
∵，
∴∠PAC=∠OCP=30°，
∴∠ACP=45°+30°=75°，
∴∠APC=180°－∠PAC－∠ACP=180°－30°－75°=75°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AP=AC=BC，
∴P为的友爱点；
（3）由题意，△ABC的友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC三种情况，
若AP=BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，即点P在y轴线段OC上，
若AP=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上；
若AP=BC，则点P在以点A为圆心，BC即AC长为半径的圆上，
如图，设AC的中点为G，则G的坐标为（－2，2），
由图可知，当直线l为过点G和过点且与轴平行的直线在x轴之间时，直线上存在的三个友爱点，
∴m的取值范围为0＜m＜2．

【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键．
3．（1），理由见详解；（2），理由见详解；（3）DH⊥AC．
【分析】（1）过点A作AG⊥CE，然后利用HL证明Rt△ABD≌Rt△AFG，即可得到结论成立；
（2）连接AE，则AE=AF，则AG垂直平分EF，则，即可得到答案；
（3）连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，由等腰三角形的性质知∠BAM+∠ABM=90°，再利用四边形内角和定理说明∠ACB+∠BAM=90°，则∠ACD=∠ABM，由∠AMB=∠ADB=90°，由四点A、B、D、M共圆解决问题．
【详解】解：（1）；
理由如下：过点A作AG⊥CE，如图：

根据题意，点B关于直线AC的对称点为E，
∴AC平分∠BCE，
∵AD⊥BC，AG⊥CE，
∴AD=AG，
∵AF=AB，
∴Rt△ABD≌Rt△AFG（HL），
∴；
（2）；
理由如下：连接AE，如图：

∵Rt△ABD≌Rt△AFG，
∴，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴AB=AE，
∴AE=AF，
∴AG垂直平分EF，
∴，
∴，
∴；
（3）DM⊥AC，理由如下：
连接BF，取BF的中点M，连接AM，DM并延长交AC于H，

∵AB=AF，点M为BF的中点，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵点B关于直线AC的对称点为E，
∴∠ACB=∠ACF，
∵∠ABC=∠AFE，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠BAF+∠BCF=180°，
∴∠ACB+∠BAM=90°，
∴∠ACD=∠ABM，
∵∠AMB=∠ADB=90°，
∴四点A、B、D、M共圆，
∴∠ABM=∠ADM，
∴∠ADM+∠HDC=90°，
∴∠ACD+∠HDC=90°，
∴DH⊥AC．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
4．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线；底边上的高；底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半
【分析】据题中的几何语言画出对应的几何图形，然后利用线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质和含30度的直角三角形三边的关系填写依据．
【详解】解：如图，

，
点、点在的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
直线是的垂直平分线（两点确定一直线），
，，
（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合），
又，
（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在中，
（在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半）．
故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一直线；顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线；角平分线上的点到角的两边的距离相等；在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
5．（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析
【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出，然后根据轴对称的性质得到，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出，即可求出，再由进行求解即可；
（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵，
∴，
∵B、D关于AP对称，
∴，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，
∴，
∴，
∴，
∴
∴∠AEB＝60°．

（2）AE＝BE＋CE．
证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．
∵∠AEB＝60°，
∴△BGE是等边三角形，
∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，
∴∠ABG＝∠CBE．
在△ABG和△CBE中，

∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键
6．（1）①；②或5；（2）①2或或5；②图见解析．
【分析】（1）①根据三角形的三边关系定理即可得；
②分斜边长为和斜边长为两种情况，分别利用勾股定理即可得；
（2）①先根据已知等式得出，再分中有一个为3，；中有一个为4，；中有一个为3，另一个为4三种情况，分别代入求解即可得；
②先画出射线，再在射线上作线段，然后在射线上作线段，最后作线段的垂直平分线，交于点即可得．
【详解】解：（1）①由三角形的三边关系定理得：，即，
故答案为：；
②当斜边长为时，，
当斜边长为时，，
综上，的值为或5，
故答案为：或5；
（2）①由得：，
因此，分以下三种情况：
当中有一个为3，时，不妨设，则，
将代入得：，解得，符合题设，
当中有一个为4，时，不妨设，则，
将代入得：，解得，符合题设，
当中有一个为3，另一个为4时，不妨设，则，
将代入得：，解得，符合题设，
综上，第三边的值是2或或5，
故答案为：2或或5；
②由得：，
如图，线段即为所求．

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系定理、作线段和线段垂直平分线（尺规作图）等知识点，较难的是题（2）①，正确分三种情况讨论是解题关键．
7．选择已知①，结论②（或选择已知②，结论①）；证明见解析
【分析】选择①作为已知，②作为结论时证明∠ACE =∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论；选择②作为已知，①作为结论时，证明∠ACE =∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论．
【详解】解：选择已知 ① ，结论 ② ．          
证明：∵CE平分∠BCD，

∴∠DCE=∠BCE．                         
∵∠ACD=∠B．                            
∴∠DCE +∠ACD=∠BCE +∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA．     
∵AF平分∠BAC，
∴CF=EF．     
选择已知 ② ，结论 ① ．               
证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE．
∵∠ACD=∠B．                            
∴∠DCE +∠ACD=∠BCE +∠B．
∴∠ACE =∠AEC．
∴EA=CA．                                                   
∵CF=EF．
∴AF平分∠BAC．
【点睛】本题主要考查民角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
8．(1)见详解；
(2)EF=EG；理由见详解；
(3)见详解．

【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）由题意，得到EM垂直平分OD，则OE=DE，得到∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，由角平分线的定义，得∠AOC=∠BOC，再由三角形的外角性质，即可得到结论成立；
（3）在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，则ED＋EF =OH，然后有OD=2EM，再证明△ODG≌△OHG（AAS），得到OD=OH，即可得证．
（1）
解：根据题意，如图：

（2）
解：EF=EG；
理由如下：如图，

∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，
∴线段EM是△OED的高，也是中线，
∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，
∴OE=DE，
∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG；
（3）
解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：

则EH=EF，
∵OE=DE，
∴ED＋EF=OE+EH=OH，
∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，
∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，
∴OD=2EM；∠EHG=45°，
∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，
∴△ODG≌△OHG（AAS），
∴OD=OH，
∴ED＋EF＝2EM．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
9．（1）①图见解析；②图见解析；（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，等边对等角，110，80，40．
【分析】（1）①根据线段垂直平分线的尺规作图即可得；
②先连接，再根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得．
【详解】解：（1）①作边的垂直平分线交于点，交于点如图所示：
②连接，作的平分线交于点如图所示：

（2）∵垂直平分线段，
∴，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴，（等边对等角）
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握尺规作图和线段垂直平分线的性质是解题关键．
10．（1）见详解；（2）在中，是的中线，且；（3）等边对等角；或．
【分析】（1）根据作出AB的垂直平分线，交AB于D，连接CD，问题得解；
（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；
（3）根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，即可得到，问题得证．
【详解】（1）解：如图，CD即为所求作的线段，

证明：∵点E、F分别到A、B的距离相等，
∴点E、F分别在AB的垂直平分线上，
∴点D为AB中点，
∴CD即为所求作的线段；
（2）已知：在中，是的中线，且．
求证：为直角三角形．
故答案为：在中，是的中线，且；
（3）证明：∵点是线段的中点，
∴，
又∵
∴，
在中，∵
∴，（等边对等角）（填推理的依据）
同理，在中，．
在中
∵．
∴或，
∴在中， ，
∴为直角三角形．
故答案为：等边对等角；或；
．
【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，几何文字语言、符号语言的转化，等腰三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键
11．(1)补全图形见解析，ON∥PM
(2)①证明见解析；②α=30°，图见解析

【分析】（1）根据角平分线的定义补全图形，且∠YON=∠XON=α，再根据三角形的外角性质可得∠PMN=α=∠XON，进而利用平行线的判定即可作出结论；
（2）①根据平行线的判定和角平分线的定义进行判断即可作出结论；②根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余求解即可．
(1)
解：补全图形如图1：

直线ON与直线PM的位置关系为ON∥PM，理由：
∵ON平分∠XOY，∠XOY=2α，
∴∠YON=∠XON=α，
∵PA∥OY，
∴∠XAN=∠XOY=2α，
∵∠P+∠PMA=∠XAN，∠P=α，
∴∠PMA=α，即∠PMA=∠XON，
∴ON∥PM；
(2)
①如图2，∵PA∥OY，
∴∠PAO=∠XOY=2α，∠OBP=∠P=α，∠PAC=∠OBC，
∵PA平分∠OAC，
∴∠PAC=∠PAO=2α，则∠OBC=2α，
∴∠PBC=∠OBC-∠OBP=2α-α=α，
∴∠OBP=∠PBC，
∴BP平分∠OBC；
②符合题意的图形如图3，
∵PA∥OY，
∴∠OBP=∠P=α，
∵PM⊥OA，
∴∠XOY+∠OBP=90°，
∴2α+α=90°，则α=30°．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
12．（1）C ；（2）见解析
【分析】（1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；
（2）按照乙的分析方法进行即可．
【详解】（1）甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，
故选C；
（2）依据题意，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图．
∵D为BC中点．
∴．   
在△CAD和△BED中

∴△CAD≌△BED(SAS)．
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴
∴
∴     
∴AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是构造辅助线得到全等三角形．
13．(1)①见解析，②，理由见解析
(2)

【分析】（1）①根据题意作出图形；②设交于点，根据平行线的性质可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得，即可得出；
（2）设交于点，根据平行线的性质可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得，等量代换即可得出结论．
（1）
解：①如图所示，

②，理由如下，
如图，设交于点，

，
，
，
，
；
（2）
解：如图，设交于点，

，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)（答案不唯一）
(4)

【分析】（1）根据角平分线的作法，即可作出角平分线；
（2）根据平行线的作法，即可作出平行线；
（3）根据题目条件即可判断；
（4）关键题目条件即可判断．
（1）
解：如图所示，

（2）
解：如图所示，

（3）
解：由题意知，（答案不唯一）；
（4）
解：由题意知，．
【点睛】本题主要考查作图，熟练掌握基本知识是解题的关键．
15．(1)①；②的最小值是；
(2)．

【分析】（1）①如图，连接，先求解，再利用新定义可得；②如图，作关于的对称点，连接交于，连接交于，过作于，证明，此时值最小，再利用勾股定理可得∴；
（2）如图，延长至，使，连接交于，证明是的垂直平分线，可得，此时最小，再利用三角形的三边关系可得答案．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵，，D是中点．
∴，
∴；
②如图，作关于的对称点，连接交于，连接交于，过作于，

则，，，
∴， ，此时值最小，
∵，，
∴，
由可得，
∴，都为等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴，，则，
∴，
∴，
∴的最小值是．
（2）如图，延长至，使，连接交于，

而，则是的垂直平分线，
∴，
∴，此时最小，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查的是折线距离的定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的加法与乘法运算，三角形的三边关系的应用，轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，理解新定义，利用轴对称构建最短路径的图形是解本题的关键．
16．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)①补全图形见解析，②，理由见解析．

【分析】(1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形．
(2) 过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以．
【详解】（1）等腰三角形．
证明：∵，是边的中线，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴是等腰三角形．
（2）①补全图形．

②之间的数量关系是．
证明：过点E作于点H．

∵，是边的中线，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

【分析】（1）先根据证明，得到，即可证明是的平分线；
（2）在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
（2）解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
18．见解析
【分析】由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得．
【详解】证明：延长到点，使

∵为中点
∴
在和中

∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19．(1)
(2)①   ②

【分析】根据定义可以知道“公正点”在线段的垂直平分线上，即可解题；
①根据题意可得是等边三角形，由根据等边三角形的性质即可求出P的坐标；
②点是线段MN的“近公正点”，即形成的三角形是等边三角形，计算求出取值范围即可．
【详解】（1）由于垂直平分线上的点到线段两端距离相等，，，
所以垂直平分线为，即点和为线段的“公正点”．
故答案为：
（2）①如图，连接，则点P在的垂直平分线上，
，
，
是等边三角形，
，
，
即．
故答案为

②如图，由①可知点在点时的纵坐标b最小，
当点在时，点的纵坐标b最大，这时，
又，
，
，
，
故答案为：

【点睛】本题考查垂直平分线和等边三角形的性质，熟练运用性质是解题的关键．
20．(1)
(2)是定值，

【分析】（1）根据等边三角形性质得出，求出，证出即可；
（2）先求出，求出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：和是等边三角形


即
在和中

（）
，
故答案为：；
（2）解：当点B运动时，的长度不发生变化
理由是：


由（1）可得





．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，利用数形结合的思想是解题关键．
21．(1)图见详解，是直角三角形
(2)图见详解，为等腰直角三角形
(3)图见详解

【分析】（1）根据题意作出图形，然后问题可求解；
（2）根据（1）中的作法可进行作图，然后问题可求解；
（3）根据题意画出图形即可．
【详解】（1）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点B，然后连接，交于点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，交于点，同理可作，如图示，

设与的交点为点E，由题意得：，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：按（1）的作法进行作图，如图所示：

由题意得：，
∴，
∵直线与直线的夹角是，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
同理可得也为等腰直角三角形；
（3）解：以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点B，连接，交直线于点C，然后以点C为圆心，长为半径画弧，交于点，再以点A为圆心，为半径画弧，交直线于点，进而以点、为圆心，大于长的一半为半径画弧，交于一点D，连接，则直线即可求；如图所示：

【点睛】本题主要考查复杂的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
22．见详解
【分析】根据等边三角形画的角，根据等腰三角形三线合一画直角即可得到答案．
【详解】解：①反向延长 至，使，
②分别以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，；
就是所求的直角三角形，
．
【点睛】本题考查特殊角直角三角形画法，解题的关键是知道的角及直角的画法．
23．(1)①见解析；②
(2)，见解析

【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；②根据三角形内角和的性质，求解即可；
（2）连接，通过证明，得到是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：①补全图形

②∵，是的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2），证明：
连接，

∵，，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∵
∴
∴
∵在和中

∴
∴
∵是的中点，
∴是的垂直平分线．
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴．
∴
【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键是能够灵活利用相关性质进行求解．
24．(1)见解析
(2)画图见解析，

【分析】（1）根据画图步骤画图即可；
（2）根据等腰三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：

（2）解：如图：∵当时，
∴当时，．

【点睛】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质是解答本题的关键．