数学（新高考Ⅰ卷B卷）2023年高考第二次模拟考试卷（参考答案）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·参考答案

13． 1560（5分）

14． （5分）

15．6（5分）

16．（5分）

17．【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则，解得，

，

，解得，

，

即，；（5分）

（2）由（1）得，

.（10分）

18．【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，

由已知得：②，

由①②联立得：，

因为，所以．

故AB，AD，AC成等比数列；（6分）

（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，

故，由（1）知：③，

在△ABD中，设，由已知得，

由余弦定理得：，

即④，

在△ACD中，设，由已知得，

由余弦定理得：，

⑤，

由⑤＋④×2整理得：⑥，

由③⑥联立整理得：，

解得：或，

当时，由可求得，所以故舍去，

当时，由可求得，满足，

在△ABC中，由余弦定理得

综上：（12分）

19．【答案】(1)平均数和方差分别为12.5，0.43

(2)不成立，理由见解析

【详解】（1）由题意知，

，

所以，（3分）

．

所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43．（6分）

（2）结合已知，由（1）得，，

所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立．（12分）

20．【答案】(1)

(2)

【详解】（1）连结．

因为点为圆锥的顶点，所以平面．

分别取，的中点，，

连接，，，，则在圆中，．

由平面，得．

又，故平面，

所以．

所以．

同理，．

于是．（6分）

（2）因为，即所以即

．

在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，．

又因为平面，所以轴，从而．

则，，．

设平面的法向量为，

则，即，

不妨取，则，，此时．

设平面的法向量为，

则，即

不妨取，则，，此时．

所以．（10分）

又二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．（12分）

21．【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）抛物线E的焦点关于其准线的对称点为，

所以，即．

因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以，，

所以线段的中点为，所以，．

故C的方程为．（2分）

（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．

当时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，

，，，则．（4分）

当时，直线l的方程为，设，，线段AB的中点为，．

联立，消去y，得，

则，，（6分）

所以，

则．

由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为，

令，得，

则．

又，

所以．

综上，．（12分）

22．【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）由直线是的切线，可设切点为，则，解得，于是.

若，则，不符题意；

若，则，不符题意；

有一个取时均不成立，故只有才可以让成立.

于是，下设，则，故在上单调递增，故，于是，也即，

所以的取值范围为；（6分）

（2），在上单调递增，

当时，，，

下令，则，故为增函数，

于是，即，.

根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，即，此时不可能有三个根；

当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，此时不可能有三个根；

当时，，在上递增，注意到，，，递减，当，，递增，故为极小值点，而，故不可能有三个根；

当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，

而，故. 由.

由有三个根，则，

即，由，结合对勾函数性质推出，故，即（12分）