数学（新高考Ⅰ卷B卷）2023年高考第二次模拟考试卷（全解全析）

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2023年高考数学第二次模拟考试卷数学·全解全析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、单选题1．已知集合则（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为单调递增，所以，所以,又由解得，所以，所以，故选:C.2．在复平面上满足条件的复数z所对应的点的轨迹是A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【答案】C【详解】设（），由，得，所以，即点到两点和的距离和为，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，故选C.3．已知向量，，则“”是“与共线”的（    ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】向量，，则，解得或，所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选：A4．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（    ）A．11小时 B．14小时 C．17小时 D．20小时【答案】C【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以2为首项，3为公差的等差数列，则.设当给药时间为小时的时候，患者的血药浓度为，血药浓度峰值为a，则数列是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以，令，即，解得，所以当血药浓度为峰值的时，给药时间为.故选：C.5．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（    ）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010【答案】B【详解】数列为等差数列,若所以与异号首项,则公差 所以则,所以由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得 所以的最大值为,即故选:B6．函数在的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】，是奇函数，故A错误；，故BD错误.故选：C.7．如图，二次函数的图象为曲线，过上一点P（位于x轴下方）作的切线与的正半轴，的负半轴分别交于点，当轴及轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P到x轴的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于二次函数曲线和坐标轴围成的面积一定，阴影面积取到最小值，等效于求的最小值，设，由，，故切线的斜率为，所以切线方程为，令，解得，令，解得，由题意切点在轴下方，且，故，所以，记，，令得，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，取得最小值，此时到轴的距离为.故选：A8．已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，则由得，化简得，令函数，即得，则得函数在上为单调减函数，因为是定义在上的奇函数，所以因为,，即得，所以，即.故选：D 二、多选题9．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（    ）A．所有不同分派方案共种B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种【答案】BCD【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,则不同分派方案共（种）.判断正确.故选：BCD10．如图，已知函数的图象与轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（    ）A．B．的最小正周期为4C．一个单调增区间为D．图象的一个对称中心为【答案】BCD【详解】由，设 ，则，，选项A中，点A处，，则 ，即，，解得 ，A错误；选项B中，依题意，得 ，故，最小正周期，B正确；选项C中，由，得，结合最高点 ，知，即，当 时，，故 是的一个单调增区间，C正确；选项D中，时，故 是图象的一个对称中心，D正确.故选：BCD.11．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，垂足为点O，，E为的中点，则下列结论错误的是（    ）A． B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】ABD【详解】解：因为，所以，在上取点，使得，连接，则，所以，又，所以是异面直线，A错误；因为，所以，又，所以，同理，过点O作交于点G，则，取的中点F，连接，则，所以，且，所以四边形为梯形，所以相交，而平面，所以与平面相交，B错误；又，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，C正确；由，，得，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，且直线与平面交于点，所以平面与平面不垂直，D错误.故选：ABD．12．已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（   ）A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称B．g(2023)＝2C．D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点【答案】ACD【详解】因为f(1－x)是偶函数，所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；因为g(x＋2)为偶函数，所以有，因此函数关于直线对称，由，因此函数关于点对称，由，所以函数的周期为4，在中，令，得，在中，令，得，所以，故选项B不正确；由，令，得，因此选项C正确；因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，所以函数在上单调递增，且，所以当时，函数有两个零点，当时，由函数的周期为4，可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，故选：ACD 三、填空题13．的展开式中的项的系数是________.【答案】1560【详解】由题意，，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是.故答案为：1560.14．计算：_______.【答案】【详解】原式15．函数的最大值为M，最小值为N，则_____．【答案】6【详解】由题意得，，∴函数关于点对称，∴函数取得最大值与最小值的点关于对称，∴.故答案为：6．16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为___________.【答案】【详解】连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以.故答案为：四、解答题17．已知等差数列和等比数列满足，.(1)求数列，通项公式(2)设数列中满足，求和【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，，，解得，，即，；（2）由（1）得，.18．在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；(2)若，求．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，由已知得：②，由①②联立得：，因为，所以．故AB，AD，AC成等比数列；（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，故，由（1）知：③，在△ABD中，设，由已知得，由余弦定理得：，即④，在△ACD中，设，由已知得，由余弦定理得：，⑤，由⑤＋④×2整理得：⑥，由③⑥联立整理得：，解得：或，当时，由可求得，所以故舍去，当时，由可求得，满足，在△ABC中，由余弦定理得综上：19．希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）序号（i）12345678910长度11.613.012.811.812.012.811.512.713.412.4           序号（i）11121314151617181920长度12.912.813.213.511.212.611.812.813.212.0 (1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；(2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）参考数据：，，，．【答案】(1)平均数和方差分别为12.5，0.43(2)不成立，理由见解析 【详解】（1）由题意知，，所以，．所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43．（2）结合已知，由（1）得，，所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立．20．如图，已知圆锥，AB是底面圆О的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，.设二面角与二面角的大小分别为与.(1)求的值；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【详解】（1）连结．因为点为圆锥的顶点，所以平面．分别取，的中点，，连接，，，，则在圆中，．由平面，得．又，故平面，所以．所以．同理，．于是．（2）因为，即所以即．在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．则，，．又因为平面，所以轴，从而．则，，．设平面的法向量为，则，即，不妨取，则，，此时．设平面的法向量为，则，即不妨取，则，，此时．所以．又二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．21．已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．(1)求C的方程；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）抛物线E的焦点关于其准线的对称点为，所以，即．因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以，，所以线段的中点为，所以，．故C的方程为．（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．当时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，，，，则．当时，直线l的方程为，设，，线段AB的中点为，．联立，消去y，得，则，，所以，则．由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为，令，得，则．又，所以．综上，．22．已知函数，.(1)若直线是的切线，函数总存在，使得，求的取值范围；(2)设，若恰有三个不等实根，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）由直线是的切线，可设切点为，则，解得，于是.若，则，不符题意；若，则，不符题意；有一个取时均不成立，故只有才可以让成立.于是，下设，则，故在上单调递增，故，于是，也即，所以的取值范围为；（2），在上单调递增，当时，，，下令，则，故为增函数，于是，即，.根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，即，此时不可能有三个根；当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，此时不可能有三个根；当时，，在上递增，注意到，，，递减，当，，递增，故为极小值点，而，故不可能有三个根；当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，而，故. 由.由有三个根，则，即，由，结合对勾函数性质推出，故，即