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高考数学一轮复习题型归纳讲义 专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义 (原卷版+解析版)
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中考数学复习策略(仅供参考)中考复习中,数学占据了一定的位置,那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题,也不要搞题海战术,要注重学习方法,回归课本,抓住典型题目进行练习。课本上的例题最具有典型性,可以有选择地做。在做例题时,要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳,不要就题论题。另外,对于一些易错题,要在复习阶段作为重点复习,反复审题,加强理解。2、要注重知识点的梳理,将知识点形成网络。学生经过一学期的学习,要将知识点进行总结归纳,找出区别与联系。把各章的知识点绘制成知识网络图,将知识系统化、网络化,把知识点串成线,连成面。3、要注重总结规律,加强解题后的反思。期末考试前,学校一般都会组织模拟练习,学生要认真对待,注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题,找出复习重点和自身的薄弱点,认真总结解题的规律方法,切忌不要闷头做题。 专题九 《平面向量》讲义9.1 线性运算、基本定理和坐标运算知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算一.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模).(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(没有方向上的规定)(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:与任一向量平行或共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量二.向量的线性运算(一)加法:求两个向量和的运算1.三角形法则:首尾连,连首尾2.平行四边形法则:起点相同连对角3.运算律交换律:+=+结合律:(+)+=+(+)(二)减法:共起点,连终点,指向被减(三)数乘:求实数λ与向量的积的运算1.数乘意义:|λ |=|λ|||,当λ>0时,λ与的方向相同;当λ<0时,λ与的方向相反;当λ=0时,λ=02.运算律(1)λ(μ)=(λμ)(2)(λ+μ)=λ+μ(3)λ(+)=λ+λ3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得=λ.4.平面向量基本定理如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使=λ1+λ2.其中,不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底三.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 题型一. 线性运算1.(2018•新课标Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则( )A. B. C. D.【解答】解:在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点, (),故选:A.2.(2015•新课标Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,3,则( )A. B. C. D.【解答】解:;∴;∴.故选:A.3.(2014•新课标Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则( )A. B. C. D.【解答】解:∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点, ∴()+()(),故选:A.4.已知A,B,C三点不共线,且点O满足,则( )A. B. C. D.【解答】解:因为点O满足16123,故121233;即:123⇒123;故选:A. 题型二. 共线向量基本定理1.设,是不共线的两个平面向量,已知,,若A,B,C三点共线,则k=( )A.2 B.﹣2 C.6 D.﹣6【解答】解:根据题意,若A,B,C三点共线,则,又由,,则有,解可得k=﹣6;故选:D.2.已知P是△ABC所在平面内的一点,若λ,其中λ∈R,则点P一定在( )A.AC边所在的直线上 B.BC边所在的直线上 C.AB边所在的直线上 D.△ABC的内部【解答】解:∵又,∴即,λ∴∴∴P点在AC边所在直线上.故选:A.3.在△ABC中,,.若点D满足,则( )A. B. C. D.【解答】解:∵,∴,∴,又由,.故,故选:B.4.△ABC内一点O满足,直线AO交BC于点D,则( )A. B. C. D.【解答】解:∵△ABC内一点O满足,直线AO交BC于点D,∴,令,则,∴B,C,E三点共线,A,O,E三点共线,∴D,E重合.∴,∴2322335.故选:A.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2021/7/10 22:05:39;用户:15942715433;邮箱:15942715433;学号:32355067 题型三. 三点共线定理1.(2007•全国卷Ⅱ)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若2,,则λ=( )A. B. C. D.【解答】解:在△ABC中,已知D是AB边上一点∵2,,∴,∴λ,故选:A.2.(2010•大纲版Ⅱ)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若,,||=1,||=2,则( )A. B. C. D.【解答】解:∵CD为角平分线,∴,∵,∴,∴故选:B.3.(2008•广东)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若,,则( )A. B. C. D.【解答】解:∵由题意可得△DEF∽△BEA,∴,再由AB=CD可得 ,∴.作FG平行BD交AC于点G,∴,∴.∵,∴,故选:B.4.(2009•安徽)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心,以1半径的圆弧AB上变动.若xy,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 2 .【解答】解:【方法一】建立如图所示的坐标系,则A(1,0),B(cos120°,sin120°),即B(,).设∠AOC=α,则(cosα,sinα).∵xy(x,0)+(,y)=(cosα,sinα);则,解得,∴x+ysinα+cosα=2sin(α+30°).∵0°≤α≤120°.∴30°≤α+30°≤150°.∴x+y有最大值2,当α=60°时取最大值2.【解法二】xy,∴x2+y2+2xy•x2+y2+2xycos120°=x2+y2﹣xy,∴x2+y2﹣xy=1,∴(x+y)2﹣3xy=1,∴(x+y)2﹣1=3xy≤3•,∴•(x+y)2≤1,解得x+y≤2.故答案为:2.5.(2017•新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若λμ,则λ+μ的最大值为( )A.3 B.2 C. D.2【解答】解:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,设圆的半径为r,∵BC=2,CD=1,∴BD∴BC•CDBD•r,∴r,∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2,设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),∵λμ,∴(cosθ+1,sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,∴λ+μcosθsinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选:A.6.(2006•湖南)如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则x的取值范围是 (﹣∞,0) ;当时,y的取值范围是 .【解答】解:如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边,∴x的取值范围是(﹣∞,0);当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在DE上,CDOB,CEOB,∴y的取值范围是(,).故答案为:(﹣∞,0);(,) 题型四. 坐标运算1.已知向量(3,﹣2),(x,y﹣1)且∥,若x,y均为正数,则的最小值是( )A.24 B.8 C. D.【解答】解:∵∥,∴﹣2x﹣3(y﹣1)=0,化简得2x+3y=3,∴()(2x+3y)(66)(12+2)=8,当且仅当2x=3y时,等号成立;∴的最小值是8.故选:B.2.已知A(﹣3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在第二象限内,,且,设,则λ的值为( )A.1 B. C. D.【解答】解:由已知设C(x,y),则有y=22,x=﹣22,即C(﹣2,2),又,由向量相等的充要条件得:﹣2=﹣3λ,即,故选:D.3.如图,正方形ABCD中,E为AB上一点,P为以点A为圆心,以AB为半径的圆弧上一点,若xy(xy≠0),则以下说法正确的是: ①④ (请将所有正确的命题序号填上)①若点E和A重合,点P和B重合,则x=﹣1,y=1;②若点E是线段AB的中点,则点P是圆弧的中点;③若点E和B重合,且点P为靠近D点的圆弧的三等分点,则x+y=3;④若点E与B重合,点P为上任一点,则动点(x,y)的轨迹为双曲线的一部分.【解答】解:以AB为x轴,AD为y轴建立直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,如图,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),(1,1).因为xy(xy≠0),所以,对于①,若点E和A重合,点P和B重合,则E(0,0),P(1,0),(0,﹣1),(1,0),xy⇒(1,1)=x(0,﹣1)+y(1,0),即,故①正确;则x=﹣1,y=1;对于②,若点E是线段AB的中点,则E(,0),(,﹣1);若点P是圆弧的中点,则P(cos45°,sin45°),即P(,),(,),xy⇒(1,1)=x(,﹣1)+y(,),即,此方程组无解,故②错误;对于③,若点E和B重合,则E(1,0),(1,﹣1);又点P为靠近D点的圆弧的三等分点,则P(cos60°,sin60°),即P(,),(,),xy⇒(1,1)=x(1,﹣1)+y(,),即,解得,则x+y,故③错误;对于④,若点E与B重合,则E(1,0),(1,﹣1);又点P(a,b)为上任一点,则(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1,a2+b2=1),xy⇒(1,1)=x(1,﹣1)+y(a,b),即,由a2+b2=1得:1,整理得:x2=1,则动点(x,y)的轨迹为双曲线的一部分,故④正确.综上所述,说法正确的是①④,故答案为:①④. 课后作业. 线性运算、基本定理和坐标运算1.在平行四边形ABCD中,E为AB中点,BD交CE于F,则( )A. B. C. D.【解答】解如图,∵平行四边形ABCD中,E为AB中点,∴,∴DF,∴ ,故选:A.2.设x∈R,向量(x,1),(1,﹣2),且∥,则||=( )A. B. C. D.5【解答】解:根据题意,向量(x,1),(1,﹣2),若∥,则﹣2x=1,解可得x,则(,1),故(,﹣1),则||,故选:A.3.已知O是△ABC所在平面内一点,且满足,若|AB|=2,,则△ABC的外接圆的面积为 .【解答】解:已知等式||=|2|=||,变形得:||=||,∵,∴||=||,两边平方,整理得:•0,即A,∵|AB|=c=2,|AC|=b,∴a,由正弦定理2R,得到R,则△ABC的外接圆的面积为πR2.故答案为:4.在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC与不同的两点M,N,若,则的最小值为( )A.2 B.4 C. D.9【解答】解:∵点O是BC的中点,∴又∴∵M、O、N三点共线,∴故当且仅当,即m,n时取到等号,故的最小值为:故选:C.5.如图,正方形ABCD中,E为线段CD的中点,若λμ,则λ+μ= 1 .【解答】解:依题意,,则,故.故答案为:1.6.已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且BD=2AD,AE=2EC,点P是线段DE上的任意一点,若xy,则xy的最大值为( )A. B. C. D.【解答】解:如图所示,,.∵点P是线段DE上的任意一点,∴存在实数k使得k,与xy比较可得:,∴2x+y,∴,化为xy,当且仅当2x=y时取等号.故选:B.声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2021/7/10 22:16:58;用户:15942715433;邮箱:15942715433;学号:32355067
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