高考数学一轮复习题型归纳讲义 专题11 立体几何 11.2外接球和内切球 题型归纳讲义 （原卷版+解析版）

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中考数学复习策略（仅供参考）中考复习中，数学占据了一定的位置，那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。另外，对于一些易错题，要在复习阶段作为重点复习，反复审题，加强理解。2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。3、要注重总结规律，加强解题后的反思。期末考试前，学校一般都会组织模拟练习，学生要认真对待，注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。 专题十一 《立体几何》讲义11.2  外接球与内切球题型一. 长方体模型1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC，则球O的体积等于（　　）A． B． C． D．【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD3，∴球的半径R，∴V球πR3．故选：D．2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为　200π　．【解答】解：四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2，AD＝BC＝2，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．设长方体的长宽高分别为a，b，c．则，那么：2（a2+b2+c2）＝400．a2+b2+c2＝200．长方体的对角线：，外接球的半径2R．∴R＝5．四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝200π．故答案为：200π．3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　　．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为，∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积VS△ABC×hS△PAB×PC2×2×2△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC2，∴h∴正方体中心O到截面ABC的距离为故答案为 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/22 15:04:44；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067 题型二. 柱体模型1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）A．π B． C． D．【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r，∴该圆柱的体积：V＝Sh．故选：B．2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于　8π　．【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得：，∴，∴由正弦定理得：2r，∴r＝1，∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM，MC＝r＝1，∴R2＝12+12＝2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，故答案为：8π．3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）A．10π B．18π C．20π D．9π【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R，则R，所以该球的表面积为20π．故选：C．声明：试题型三. 正棱锥模型1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）A． B．16π C．9π D．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2＝（4﹣R）2+（）2，∴R，∴球的表面积为4π•（）2．故选：A．2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（　　）A． B． C． D．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，∴a该正三棱锥的体积：．故选：C．3．如图ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）A． B． C． D．【解答】解：设球的半径为R，则∵底面正方形的外接圆的半径为，∴由勾股定理可得R2＝（）2+（2﹣R）2，∴R，∴球的表面积为4πR2π．故选：D． 题型四. 一般锥的外接球1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且，AC＝2，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为　　．【解答】解：因为，AC＝2，则AB⊥BC，且△ABC外接圆的半径为1，因为该三棱锥体积的最大值为，则V，则h＝4，即点D到平面ABC的距离最大为4，设球的半径为R，则R2＝1+（4﹣R）2，解之得R，则表面积为，故答案为：．2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）A．64π B．65π C．66π D．128π【解答】解：由于PB＝PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，由于平面ABC⊥平面PBC，即有PO'⊥平面ABC，∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，∴PB＝6，PO'＝4，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，∴sin∠ABC，∴2r，设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，则（）2+h2＝（4h）2+（4）2＝R2，解得R．球O的表面积为4πR2＝65π，故选：B．3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P﹣BD﹣C的大小为，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（　　）A．π B．π C．π D．π【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC，PE＝CE设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，∴R，h，∴三棱锥P﹣BCD的外接球体积为．故选：C．4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（　　）A． B． C． D．【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径，所以点O到平面ABC的距离，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为，此棱锥的体积为，故选：A． 题型五. 内切球1．将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（　　）A． B． C． D．2π【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr，∴r＝1，h2，设内切球的半径为R，则，∴R，VπR3π（）3π，故选：A．2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　）A．1：3 B．1： C． D．【解答】解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，设侧棱长为a，则它的对角线的长度为：a球的半径为：，再设正三棱锥内切球的半径为r，根据三棱锥的体积的两种求法，得[3]×r，∴r，∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．故选：D．3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内切球，则球O的表面积为（　　）A． B． C． D．【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，设球O的半径为r，，解得r所以球O的表面积为：4．故选：A．  课后作业. 外接球与内切球1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积是　π　．【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形，∴OA⊥OB，∴AB中点N为△AOB的外心，取PA中点M，则MN∥PB，∵PB⊥底面ABCD，∴MN⊥底面ABCD，∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，∵PB＝1，∠APB，∴AP＝2，∴外接球半径为1，体积为π，故答案为：．2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　　）A．π B．2π C．π D．3π【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O＝1，∴Rt△O1OA中，O1A．又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE＝AO1cos30°．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r，可得截面面积为S＝πr2．故选：C．3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）A．12 B．18 C．24 D．54【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C，OO′2，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：18．故选：B．4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（　　）A． B．6π C． D．8π【解答】解：如图取BD中点H，AC中点M，连接MH因为AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC所以BD⊥CH，BD⊥AH，则BD⊥面ACH，三角形ACH是等腰直角三角形．所以MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH，所以球心必落在直线MH上，设为点O，连接OA、OD，则OA＝OD＝OC＝OB．设OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以OD2＝x2+1在三角形AOH中，OA2＝x22﹣2xcos45°所以x2+1＝x22﹣2xcos45°，解得x，所以故外接球的表面积S＝4故选：A．5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（　　）A．3 B．2 C． D．1【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30° 得：AC＝2，SA＝2又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30° 得：BC＝2，SB＝2 则：SA＝SB，AC＝BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：VAB•S△SCD，因为：SD，CD，SC＝4 所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）（16）则：sin∠SDC由三角形面积公式得△SCD的面积SSD•CD•sin∠SDC3所以：棱锥S﹣ABC的体积：VAB•S△SCD故选：C．6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC，AP＝3，AB＝2，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 　57π　；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为 　　．【解答】解：如图，Q是边BC上的一动点，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则当AQ⊥BC时，∠PQA，由tan，得AQ，在△ABQ中，BQ，∵sin，∴，则∠CAQ，由tan∠CAQ，得CQ，∴BC＝BQ+CQ＝3+3＝6，设△ABC外接圆的半径为r，则2r，可得r．设三棱锥外接球的半径为R，则，可得外接球的表面积S＝4πR2＝57π；在Rt△AQC中，AC，可得△ABC是等腰三角形，三棱锥P﹣ABC的表面积为S＝2236，设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r′，则r′，解得r′．即三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为．故答案为：57π；．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/22 15:24:44；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067