高考数学一轮复习题型归纳讲义 专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明 题型归纳讲义 （原卷版+解析版）

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中考数学复习策略（仅供参考）中考复习中，数学占据了一定的位置，那么初三数学生要从哪几方面着手复习呢?1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。另外，对于一些易错题，要在复习阶段作为重点复习，反复审题，加强理解。2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。3、要注重总结规律，加强解题后的反思。期末考试前，学校一般都会组织模拟练习，学生要认真对待，注意记录、总结老师对模拟练习的讲评分析。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。 专题十一 《立体几何》讲义11.3  平行与垂直证明知识梳理.平行与垂直证明1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b  3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b 4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α        题型一. 平行问题考点1.线面平行1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：（1）直线MN∥平面PAD； 2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．（1）证明：PA∥平面BDE；  考点2.面面平行3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1． 4．如图所示，已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．（1）求证：E、B、F、D1四点共面（2）求证：平面A1GH∥平面BED1F．  考点3.线线平行5．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C； 6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求证：l∥BC．（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． 题型二. 垂直问题考点1.线面垂直1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；考点2.面面垂直3．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．4．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；考点3.线线垂直5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥ED；（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由． 题型三.存在性问题1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由． 2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C、D的点．（1）证明：DM⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且．（1）求证：PQ∥平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面B1C1BC？请给出证明．  题型四. 折叠问题1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P﹣ABCD，（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．   2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．   3．如图甲，⊙O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB，∠DAB．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．     题型五.平行与垂直选填综合1．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n；③若l∥α，且m∥α，则l∥m；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．则正确的命题个数为（　　）A．4 B．3 C．2 D．12．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（　　）A．5 B．8 C．10 D．63．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CHHD，AGGD，则下列说法错误的是（　　）A．AC∥平面EFH B．四边形EFHG是梯形 C．直线EG，FH，BD相交于同一点 D．BD∥平面EFG4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（　　）A． B． C． D．5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为（　　）A．1 B． C． D．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长度为（　　）A． B． C．2 D．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　           　．8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，若点M，N所在直线与平面ACC1A1不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是 　                　．9．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平面a∥平面AB1C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为　            　．10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为　           　． 课后作业. 平行与垂直证明1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求证：l∥BC．（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．   2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点（1）求证：BC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1∥平面C1BD．    3．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA1，D 是A1B1 中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．   4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．  5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．6．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为，求a的值；（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．