高中3 向心加速度学案设计

向心加速度

【学习目标】

1．理解向心加速度的概念。

2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。

3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。

【学习重难点】

1．理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。

2．向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。

【新知探究】

要点一 对向心加速度的理解

1．加速度定义公式：a＝，a的方向与Δv的方向一致。

2．速度的变化量Δv＝是矢量式，其运算规律符合平行四边形定则。

3．方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。

（1）匀速圆周运动虽然线速度的大小不变，但速度方向时刻改变，Δv就是由于速度方向的变化产生的。

0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心。

→0时，Δv指向圆心，所以加速度指向圆心。

4．物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

5．圆周运动的性质：不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。

要点二 向心加速度的几种表达式

1．不同形式的各种表达式

（1）对应线速度：an＝

（2）对应角速度：an＝rω2

（3）对应周期：an＝r

（4）对应转速：an＝4π2n2r

（5）推导公式：an＝ωv

2．理解

（1）当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增加或周期的减小而增大。

（2）当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。

（3）当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。

an与r的关系图像，如图1所示。

图1

由an—r图像可以看出：an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。

3．向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动

（1）向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。

①对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，其只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。

②

图2

而对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图2所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度，还有切向加速度。向心加速度表达速度方向改变的快慢，切向加速度表达速度大小改变的快慢。

（2）an＝＝rω2＝ωv，适用于匀速圆周运动和变速圆周运动，要注意的是变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某时刻的向心加速度。要求某一时刻的向心加速度，必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算。

【学习小结】

3．向心加速度意义：描述速度方向变化的快慢的物理量。

答疑解惑

如何理解向心加速度的含义？

分析：速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向（如坐标轴）之间的夹角来描述。做匀速圆周运动的物体的速度方向（圆周的切线方向）时刻在变化，在Δt时间内速度方向变化的角度Δφ等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期T内半径转过2π弧度，速度方向变化的角度也是2π弧度。因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度。

即ω＝＝

上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢。角速度相等，速度方向变化的快慢相同。

由向心加速度公式an＝ω2r＝＝vω可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速度的大小有关，从a＝vω看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积。

图3

例如：在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的A、B、C三点，它们有相同的角速度ω，但线速度不同，，，，如图3所示。因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等，。

又如：A、B两个物体分别沿半径为和做圆周运动，＝，它们的角速度不同，设，因此它们的线速度的关系为，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即。但速度方向变化的快慢却不同。

综上所述：向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率。速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢。

典例剖析

一、对向心加速度的理解

例1 关于向心加速度，下列说法正确的是（    ）

A．向心加速度是描述线速度变化的物理量

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D．向心加速度的大小也可用a＝来计算

解析  加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A错，B对。只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定，C错。公式a＝适用于匀变速运动，圆周运动是变加速运动，D错。

答案  B

方法总结

深刻理解向心加速度的物理意义是描述速度方向改变快慢的，方向始终指向圆心，所以它是变量。

二、对向心加速度的表达式的理解

例2 如图4所示

图4

为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知（    ）

A．质点P的线速度大小不变

B．质点P的角速度大小不变

C．质点Q的角速度随半径变化

D．质点Q的线速度大小不变

解析  由an＝知：v一定时，an∝，即an与r成反比，由an＝rω2知：ω一定时，an∝r。从图像可知，质点P的图线是双曲线，即a与r成反比，可得质点P的线速度大小是不变的。同理可知：质点Q的角速度是不变的。

答案  A

方法总结

由an＝＝ω2r分析，an究竟与半径成正比还是成反比，要看清是v一定还是ω一定。

三、传动装置的向心加速度的计算

例3 如图5所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1轮的半径为R，且R>r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，（设转动过程中不打滑）则（    ）

图5

A．M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度

B．M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度

C．M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度

D．M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度

解析  因为两轮的转动是通过皮带传动的，又因皮带在传动过程中不打滑，故两轮边缘各点的线速度大小一定相等，在O1轮边缘上任取一点Q，因为R>r，所以由an＝可知，aQ<aM，再比较Q、N两点的向心加速度大小，因为Q、N是在同一轮上的两点，所以角速度ω相等，又因为RQ>RN，则由an＝ω2r可知，aQ>aN，综上可见，aM>aN。选项A正确。

答案  A

方法总结

分析传动问题关键有两点：其一是同一轮上的各点角速度相同；其二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度相同。再正确的选择an＝ω2r或an＝v2/r，进行求解。

效果自测

1．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ）

A．由an＝知an与r成反比

B．由an＝ω2r知an与r成正比

C．由ω＝知ω与r成反比

D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比

答案  D

解析  由关系式y＝kx知，y与x成正比的前提条件是k为定值。只有当v一定时，才有an与r成反比；只有当ω一定时，才有an与r成正比。

2．在匀速圆周运动中，下列物理量中不变的是（    ）

A．角速度

B．线速度

C．向心加速度

D．转速

答案  AD

解析  线速度和向心加速度都是矢量，方向时刻改变，是变量，故只有AD正确。

3．关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（    ）

A．它们的方向都是沿半径指向地心

B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴

C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大

D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小

答案  BD

解析  如图所示，

地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cosφ，其向心加速度为an＝ω2r＝ω2R0cosφ。由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项D正确，选项C错误。

4．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为（    ）

A．2 m/s2   B．4 m/s2   C．0    D．4π m/s2

答案  D

5．甲乙两球均在水平面上做匀速圆周运动，甲球的轨道半径是乙球轨道半径的2倍，甲球的转速是30 r/min，乙球的转速是15 r/min，则两小球的向心加速度之比为（    ）

A．1∶1    B．2∶1    C．8∶1   D．4∶1

答案  C

解析  ω＝2πn，an＝ω2r，故＝（）2＝8∶1，C项正确。

6．如图所示，

压路机前后轮半径之比是1∶3，A、B分别是前后轮边缘上的点，C为后轮上的一点，它到后轮轴心的距离是后轮半径的一半。则当压路机运动后三点A、B、C的角速度之比为________，向心加速度之比为________。

答案  3∶1∶1  6∶2∶1

解析  压路机在地面上行驶，不打滑时，两轮边缘的线速度大小相等，这里的地面好像是连接两轮的皮带。

因压路机前后轮在相等时间内都滚过相同的距离，则前、后轮边缘上的A、B线速度大小相等，而同一轮上的B、C点具有相同的角速度。

根据vA＝vB，ωB＝ωC和v＝ωr

可得ωA∶ωB＝∶＝∶＝3∶1

所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶1∶1

根据an＝ω2r，可得aA＝ωrA，aB＝ωrB，aC＝ωrC

所以aA∶aB∶aC＝（3ωC）2rA∶（ω·3rA）∶（ω·rA）＝9∶3∶＝6∶2∶1．

探究归纳

题型① 对向心加速度的认识

例1：关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（    ）

A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C．匀速圆周运动不属于匀速运动

D．向心加速度越大，物体速率变化越快

答案  BC

解析  向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，所以A错；由向心加速度的意义可知B对，D错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，属于曲线运动，很显然C正确。

拓展探究 下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（    ）

A．向心加速度越大，物体速率变化越快

B．向心加速度越大，物体速度变化越大

C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快

D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

答案  C

归纳总结

深刻理解向心加速度的物理意义及矢量性，是做对的前提。

题型② 向心加速度的表达式的应用

例2：如图1所示，

图1

一球体绕轴O1O2以角速度ω旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（    ）

A．A、B两点具有相同的角速度

B．A、B两点具有相同的线速度

C．A、B两点的向心加速度方向都指向球心

D．A、B两点的向心加速度数值相同

答案  A

解析 

A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如上图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的轨道半径rA＝Rsin 60°，B运动的轨道半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错。

拓展探究 关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是（    ）

A．由于an＝，所以线速度大的物体向心加速度大

B．由于an＝，所以旋转半径大的物体向心加速度小

C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物体向心加速度大

D．以上结论都不正确

答案  D

归纳总结

分析此类问题，要理解线速度、角速度、向心加速度的概念和定义式及v、ω、an、r之间的关系，并能正确选择关系式。

题型③ 传动装置的向心加速度的计算

例3：如图2所示，

图2

O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r2＝2r1，r3＝1.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑）（    ）

A．1∶2∶3        B．2∶4∶3

C．8∶4∶3        D．3∶6∶2

答案  C

解析  因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1。

由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式an＝rω2，可得

aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5

由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C。

归纳总结

讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：

（1）皮带传动问题，两轮边缘线速度相等，常选择公式an＝。

（2）同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。