2022-2023学年甘肃省白银市会宁县会师中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省白银市会宁县会师中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  矩形具有而菱形不具有的性质是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角

2.  如图，在中，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，菱形的对角线，相交于点，若，，，垂足为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  关于反比例函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 两个分支分布在第二、四象限
C. 当时，随的增大而减小 D. 两个分支关于轴成轴对称

5.  如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  已知两个相似多边形的面积比是：，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图为二次函数的图象，在下列说法中：；方程的根是，；；当时，随的增大而减小；；下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影圆形的示意图已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  已知，则______．

12.  抛物线的顶点坐标是______．

13.  已知方程的两根为，则        ．

14.  在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于：，则点的坐标为________．

15.  如图，已知反比例函数为常数，的图象经过点，过点作轴，垂足为若的面积为，则______．

16.  菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积是        ．

17.  中，、分别是边与的中点，，下面四个结论：；∽；的面积与的面积之比为 ：；的周长与的周长之比为 ：；其中正确的有______ 只填序号

18.  电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台长为，试计算主持人应走到离点至少______处．结果精确到

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

19.  解方程：．

四、解答题（本大题共9小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解方程：用配方法

21.  本小题分
．
．

22.  本小题分
已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．
请你在图中画出此时在阳光下的投影；
在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．

23.  本小题分
如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于点，交于点．
求证：
∽；
．

24.  本小题分
在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标．
请你用画树状图或列表的方法，写出点所有可能的坐标；
求点在函数的图象上的概率．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
请画出向左平移个单位长度后得到的；
以点为位似中心，将缩小为原来的，得到，请画出．

26.  本小题分
如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于且．
求这两个函数的解析式；
求直线与双曲线的两个交点，的坐标和的面积；
根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围．

27.  本小题分
如图，在矩形中，已知，，点沿边从点开始向点以个单位长度的速度运动；点沿边从点开始向点以每秒个单位长度的速度运动．如果，同时出发，用秒表示运动的时间．

请解答下列问题：
当为何值时，是等腰直角三角形？
当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？

28.  本小题分
如图，直线和抛物线的交点是，，已知抛物线的顶点的横坐标是．
求抛物线的解析式及顶点坐标；
在轴上是否存在一点，与，组成等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不在，请说明理由；

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故A选项错误；
B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故B选项错误；
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C选项正确；
D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故D选项错误；
故选：．
根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．
本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
故选D．
根据的值结合即可得出的值，此题得解．
本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握同角的正、余弦值的平方和为是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
利用菱形的面积公式：，即可解决问题．
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、把点代入反比例函数得不成立，故A选项错误；
B、，它的图象在第一、三象限，故B选项错误；
C、当时，随的增大而减小，故C选项正确；
D、图象的两个分支关于对称，故D选项错误．
故选：．
根据反比例函数的性质，，函数位于一、三象限，在每一象限随的增大而减小．
本题考查了反比例函数的性质：
当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为，底面直径为，
侧面积为：，
故选C．
首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
 

6.【答案】 

【解析】解：两个相似多边形的面积比是：，
两个相似多边形的相似比是：，
两个相似多边形的周长比是：，
设较大多边形的周长为为，
由题意得，：：，
解得，，
故选：．
根据相似多边形面积之比等于相似比的平方求出相似比，根据相似多边形周长之比等于相似比去周长比，列式计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出，求出的长度．
由题意推出，然后，在中，，即可推出的长度．
【解答】

解：，，
，
平分，
，
，
，
，
点是的中点，
．
故选A．

8.【答案】 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出，，的值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
，，
，故正确，
方程的根是，，故正确，
当时，，故正确，
该抛物线的对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，故错误，
，得，故错误，
抛物线与轴两个交点，
，故正确，
故选：．
根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，依题意知，米，米，米，
由∽得，
即，
得，
故，
故选：．
欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

11.【答案】或 

【解析】解：当时，根据比例的等比性质，得；
当时，即，则．
或．
故答案为：或

此题分情况考虑：
当时，根据比例的等比性质，求得的值；
当时，即，求得的值．
掌握比例的等比性质，注意等比性质的条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：解法：利用公式法的顶点坐标公式为，
代入数值求得顶点坐标为；
解法：利用配方法，
所以顶点的坐标是．
故答案为：．
本题可以运用配方法求顶点坐标，也可以根据顶点坐标公式求坐标．
本题考查求抛物线的顶点坐标的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系代入即可求解．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键在两根积与两根和公式的熟练程度．
 

14.【答案】或 

【解析】解：在同一象限内，与是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是：，坐标为，
则点的坐标为：，
不在同一象限内，与是以原点为位似中心的位似图形，其中相似比是：，坐标为，
则点的坐标为：，
故答案为：或
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案．
此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依据比例系数的几何意义可得两个三角形的面积都等于，其中，解得，
故答案为：．
根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系．
本题考查反比例系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于该知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
 

16.【答案】 

【解析】解：设菱形的两条对角线长分别是、，
菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，
，
菱形的面积．
故答案为：．
设菱形的两条对角线长分别是、，根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，、分别是、的中点，

，，
∽，
故正确；
∽，，
的面积与的面积之比为 ：，
的周长与的周长之比为 ：，
故正确，错误．
故答案为：．
根据题意做出图形，点、分别是、的中点，可得，，则可证得∽，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得的面积与的面积之比为 ：，然后由三角形的周长比等于相似比，证得的周长与的周长之比为 ：，选出正确的结论即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据黄金比得：米或米舍去，
则主持人应走到离点至少米处．
故答案为：
要求至少走多少米，根据黄金比，只需保证走到的倍处即可，因为此点为线段的一个黄金分割点．
应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的此题注意要求的是至少走多少，即为黄金分割中的较短线段．
 

19.【答案】解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：，
       ，
            ，
        ，
        ，
                ，
，． 

【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．
用配方法解一元二次方程的步骤：
形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开平方即可．
形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．
 

21.【答案】解：原式

；

原式
． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

22.【答案】解：作法：连接，过点作，交直线于，
如图所示，就是的投影．

太阳光线是平行的，
．
．
又，
∽．
，
，，，
，
． 

【解析】根据已知连接，过点作，即可得出就是的投影；
利用三角形∽得出比例式，求出即可．
此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出∽是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
 

23.【答案】证明：的平分线交于，
，
，
∽，
∽，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据两角相等证明∽；
与相似三角形的性质得出，则，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出是解题关键．
 

24.【答案】解：画树状图得：

则点所有可能的坐标为：，，，，，，，，；
点在函数的图象上的有：，，
点在函数的图象上的概率为：． 

【解析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
由点在函数的图象上的有：，，直接利用概率公式求解即可求得答案．
 

25.【答案】解：如图所示：，即为所求．


如图所示：，即为所求． 

【解析】利用平移的性质得出对应点位置进而画出图形；
利用位似变换得出对应点位置进而画出图形．
此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

26.【答案】解：设点坐标为且，，
则，
，
又，，
，
所求的两个函数的解析式分别为，；

由，令得．
直线与轴的交点的坐标为．
由，解得或，
，，
，

，，
当或时
当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 

【解析】根据反比例函数的性质，利用，即可得出，进而求出一次函数解析式即可；
将两函数解析式联立求出交点坐标即可，根据，两点坐标即可得出的面积；
利用函数图象的交点坐标即可得出一次函数的值小于反比例函数的值时自变量的取值范围．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数中是定值这一知识点是解答此题的关键．
 

27.【答案】解：当时，是等腰直角三角形，
，
．
当时，∽，
，
．
当时，∽，
，
，
综上所述，当或时，以点，，为顶点的三角形与相似． 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
根据，列出方程即可解决问题；
分两种情形分别讨论即可，当时，∽，当时，∽分别计算即可．
 

28.【答案】解：抛物线的顶点的横坐标是，则，
抛物线过点，则函数的表达式为：，
把代入上式得：，
联立、，
解得：，，
抛物线的解析式为：，
当时，，即顶点的坐标为；

 存在，理由如下：
，，则，
设点坐标，
当时，
，
解得：，
点坐标为：或；
当时，
，
解得：，
点坐标为或；
当时，
，
解得：，
点坐标为，
存在点，其坐标为：或或或或． 

【解析】由抛物线的顶点的横坐标是得，再将点、的坐标代入，联立两式可求出抛物线的解析式，可进一步求出顶点坐标；
 先判断存在点，设点坐标，分情况讨论：当时，当时，当时，分别由勾股定理可求出的值，即写出点的坐标．
本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会结合点的坐标由勾股定理求两点间的距离．