2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元二次方程的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列根式为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列式子计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  五边形的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 数据，，，，的众数是
B. 数据，，，，的中位数是
C. 一组数据的众数和中位数不可能相等
D. 数据，，，，的中位数和平均数都是

6.  如图，在平行四边形中，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式每两个队之间都要比赛一场，计划安排场比赛，则参赛的足球队个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知是方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，▱中，对角线、相交于，过点作交于，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  定义：是一元二次方程的倒方程，下列四个结论中，错误的是(    )

A. 如果是的倒方程的解，则
B. 如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C. 如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解
D. 如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  二次根式中，字母的取值范围是______．

12.  关于的方程是一元二次方程，则的值为______．

13.  某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试、试讲、面试的占比为：：，则该名教师的综合成绩为______．

14.  如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点与、相交于点、，若，，，那么四边形的周长是______．

15.  已知是一个正整数，是整数，则的最小值是______．

16.  平行四边形中，，，若平行四边形的面积为，则        ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解下列方程组：
；
．

19.  本小题分
为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中现有、两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿检查人员从两家分别抽取个鸡腿，然后再从中随机各抽取个，记录它们的质量单位：克如表：
：，，，，，，，，，；
：，，，，，，，，，．
整理数据，得到如下表：

其中：        ，        ；
估计加工厂这个鸡腿中，质量为克的鸡腿有多少个？
根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？

20.  本小题分
已知线段，，，且线段，满足．
求，的值；
若，，是某直角三角形的三条边的长度，求的值．

21.  本小题分
由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包元涨到了每包元．
求出这两次价格上调的平均增长率；
在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包元，而且调查发现，定价为每包元时，一天可以卖出包，每降价元，可以多卖出包．当销售额为元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？

22.  本小题分
已知：关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一根为，求的值，并求另一根；
若方程两根为，，且满足，求的值．

23.  本小题分
如图，为▱的对角线，若，，，和分别平分和．
证明：四边形是平行四边形；
求平行四边形的面积；
连接，求的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是二元二次方程的定义，故选项错误；
B、是二元一次方程，故选项错误；
C、是分式方程，故选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．
故选：．
本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足三个条件：
是整式方程；
含有一个未知数，且未知数的最高次数是；
二次项系数不为．
以上三个条件必须同时成立，据此即可作出判断．
考查了一元二次方程的定义，在做此类判断题时，要特别注意二次项系数这一条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.的被开方数的数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.分母中含有根号，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算正确，符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法法则判断，根据二次根式的减法法则判断，根据二次根式的乘法法则判断，根据二次根式的除法法则判断．
本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和是：


．
故选：．
根据边形的内角和为：，且为整数，求出五边形的内角和是多少度即可．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握确边形的内角和为：，且为整数是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的众数是或，故本选项不符合题意；
B.数据，，，，的中位数是，故本选项不符合题意；
C.一组数据的众数和中位数可以相等，如数据、、、、的众数和中位数都是，故本选项不符合题意；
D.数据，，，，的中位数和平均数都是，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据众数、中位数以及算术平均数的定义解答即可．
本题考查了众数、中位数以及算术平均数，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，
又有，
把这两个式子相加即可求出，
故选：．
利用平行四边形的邻角互补和已知，就可建立方程求出未知角．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，建立方程组求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：设共有个球队参赛，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
共有个球队参赛．
故选：．
设共有个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数参赛队伍个数参赛队伍个数，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为为方程的解，
所以．
所以，
所以．
故选：．
直接把代入方程中，进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这，是一元二次方程的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．，．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
连接，根据平行四边形的性质可得，，然后判断出垂直平分，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，利用勾股定理的逆定理得到，得到是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，正确作出辅助线证得是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：的倒方程是，将代入，得，故A正确；
，
，
这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
无解，
，它的倒方程的根的判别式也为，
它的倒方程也无解，故C正确；
若，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误；
故选：．
根据一元二次方程的解，根的判别式分别判断即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，根据判别式判断一元二次方程的解是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值．
本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

13.【答案】分 

【解析】解：该名教师的综合成绩为分，
故答案为：分．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形的周长．
故答案为：．
先证明≌，得出，，可求得，即可得出四边形的周长，进而可求解．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
是一个正整数，是整数，
的最小值是．
故答案为：．
先化简二次根式，然后依据化简结果为整数可确定出的值
本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，则，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作于点，由平行四边形的性质得，由，，得，则，所以，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、根据面积等式求线段的长度、勾股定理等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式即可；
先根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

19.【答案】   

【解析】解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第和第个数的平均数，
则中位数克；
因为出现了次，出现的次数最多，
所以众数是克；
故答案为：，；
根据题意得：
个，
答：质量为克的鸡腿有个；
选B加工厂的鸡腿．
的方差是：；
的平均数是：，
的方差是：；
、平均值一样，的方差比的方差小，更稳定，
选B加工厂的鸡腿．
根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
用总数乘以质量为克的鸡腿所占的百分比即可；
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉计算公式和意义是解题的关键．
 

20.【答案】解：因为线段，满足．
所以，；
因为，，是某直角三角形的三条边的长度，
所以或． 

【解析】根据非负数性质可得、的值；
根据勾股定理逆定理可解答．
本题主要考查二次根式的应用，根据非负数性质和勾股定理逆定理得出相应算式是关键，二次根式的化简与运算是根本技能．
 

21.【答案】解：设这两次价格上调的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：这两次价格上调的平均增长率为．
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要让顾客获得更大的优惠，
的值为．
答：每包应该降价元． 

【解析】

【分析】
设这两次价格上调的平均增长率为，利用经过两次上调价格后的价格原价这两次价格上调的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设每包应该降价元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．  

22.【答案】证明：


，
方程总有两个实数根；
解：方程有一根为，
，
，
，
解得：，，
综上，的值为，另一根为；
解：，是一元二次方程的两根，
，，
，
，
，
． 

【解析】先计算，再根据非负数的性质即可证明；
将代入方程中，可求出的值，再解方程即可求得另一根；
根据根与系数的关系可得，，根据可得，再整体代入即可求解．
本题主要考查根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
如图，过作于点，

则，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
；
如图，设与交于点，

四边形是平行四边形，，
，，
由可知，，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长度为． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证，则，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由勾股定理得，过作于点，然后证≌，得，，则，设，则，进而由勾股定理求出，则，即可解决问题；
由平行四边形的性质得，，再由勾股定理得，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．