辽宁省鞍山市2023届高三第二次质量监测数学试题

这是一份辽宁省鞍山市2023届高三第二次质量监测数学试题，共14页。试卷主要包含了已知圆C，已知，，，则，下列选项中判断正确的是，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第二次质量监测数学试题卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。鞍山市普通高中2022—2023学年度高三第二次质量监测数学考试时间：120分钟  满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，集合，则（    ）A． B． C． D．2．已知，则z对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，且，则（    ）A． B． C． D．4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（    ）A．壬午年 B．癸未年 C．己亥年 D．戊戌年5．在正方体中，已知，点O在棱上，且，P为正方体表面上的动点，若，则点P的轨迹长度为（    ）A． B． C． D．6．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ）A．14 B．13 C．12 D．117．已知，，，则（    ）A． B． C． D．8．已知函数的图像是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有．若，则x的取值范围是（    ）（e是自然对数的底数）A． B． C D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列选项中判断正确的是（    ）A．当时，的最小值是5B．若关于x的不等式的解集是，则C．已知向量，，若，则D．已知向量，，，则与的夹角为10．已知函数，则（    ）A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象B．的图象与的图象关于y轴对称C．的单调递减区间为D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．四面体的体积为定值B．的最小值为C．平面D．当直线与AC所成的角最大时，四面体的外接球的体积为12．平面直角坐标系xOy中，已知点P在双曲线C：的右支上运动，平行四边形OAPB的顶点A，B分别在C的两条渐近线上，则下列结论正确的为（    ）A．直线AO，AP的斜率之积为 B．双曲线C的离心率为2C．的最小值为 D．四边形OAPB的面积可能为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的二项展开式中x项的系数为________．14．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为________．15．冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜．己知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么________．16．已知A、B、C是椭圆上的三个点，O为坐标原点，A、B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若且，则该椭圆的离心率是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）数列是正项等比数列，已知且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求数列的前n项和．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，，底面ABCD．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分．选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________，（1）求角B的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围．20．（本小题满分12分）2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年．华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性．正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务．”有人曾问，“在珠峰开通5G的意义在哪里？”我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里！现在5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如下图所示的散点图．月份x123456收入y（百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为正常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入．（结果保留小数点后两位）（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，设，（，2，3，4，5，6）．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．21．（本小题满分12分）抛物线C：上的点到抛物线C的焦点F的距离为2，A、B（不与O重合）是抛物线C上两个动点，且．（1）求抛物线C的标准方程；（2）x轴上是否存在点P使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数，，（1）求函数的单调区间；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．答案一、单选题（共40分）1．解：由题设，，而，所以．故选：A2．解：，，在复平面对应的点为，在第象限．故选：D．3．解：因为，所以，所以．．则．因为，所以故．故选：A．4．解：由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，故100年后地支为未，综上：100年后的2123年为癸未年．故选：B5．解：依题意，∵，，，∴，，所以，所以，又因为，所以，所以，即．在平面内满足条件的点的轨迹为，该轨迹是以5为半径的个圆周，所以长度为；同理，在平面内满足条件的点轨迹长度为；在平面内满足条件的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，长度为；同理，在平面ABCD内满足条件的点的轨迹为以A为圆心，AE为半径的圆弧，长度为．故轨迹的总长度为．故选：C．6．解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为．圆的圆心为，半径为．要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，所以，即，所以，又，所以，所以的最小值为．故选：C7． 选C8．解：令，即，则，令，即，则，结合定义域为可知，是奇函数，对于，用替代，得到，结合是奇函数，上式可化简成，，且，，结合题目条件：当时，，于是，，即，故在上递增，又是定义域为的奇函数，根据奇函数性质，在上递增，于是等价于不等式：，解得故选：D二、多选题（共20分）9．解：对于A，因为，则，所以当且仅当，即时取等号，所以当时，的最大值是，故选项A错误，对于B选项，因为关于的不等式的解集是或，则，关于的方程的两根分别为，，由韦达定理可得，可得，，则，所以，B对．对于C，由，得，即，解得或，则C错误。对于D，已知则，，，，，所以向量的夹角为，故D正确；故选：BD10．解：，所以，对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，即，A正确；对于B，，B正确；对于C，由解得，所以函数的单调递减区间为，C正确；因为所以因为在上有3个零点，所以，解得，D错误，故选：ABC．11．解：对于A，由正方体可得平面平面，且平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以四面体的体积为，所以四面体的体积为定值，故A正确；对于B，当与重合时，，所以的最小值不为，故B错误；对于C，连接，由正方体可得，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确；对于D，因为，所以（或其补角）为直线与AC所成的角，由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与AC所成的角最大，所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径为，即，所以四面体的外接球的体积为，故D正确；故选：ACD12．解：由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上．因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，故选：．三、填空题（共20分）13．解：由题知 的通项为 ，当 时，所以展开式中x项的系数为 ．故答案为：-2014．解：当时，；当时，由，可得，故有故答案为：15．解： 16．解：方法一：设椭圆的半焦距为，左焦点为，则因为两点关于原点对称，所以，又，所以，所以四边形为矩形，设，因为，所以，由椭圆的定义可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以离心率．方法二：设椭圆的半焦距为，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，且①，②，②×4－①可得，，因为经过右焦点，，所以，所以，故，所以，又，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以离心率．故答案为：．四、解答题（共70分）17．解：（1）由题设，令公比为，则，所以，.......................................2分即，则，故．................................................................4分（2）由（1）知：，则，.......................................................6分 ..........................................................................8分所以．.....................................................................10分18．解：（1）因为，，，所以在中，由余弦定理得，解得，................................................2分所以在中，所以，又因为底面，平面，所以，......................................................4分因为，平面，所以平面，又因为平面，所以．.....................................................................6分（2）因为底面，平面，所以，结合（1）可知两两垂直，以为坐标原点，为轴建立如图所示坐标系，8分所以，，，，所以，，，设平面的法向量，则，解得，....................................................9分设平面的法向量，则，解得，....................................................10分所以，所以结合图像可得二面角的余弦值为．........................................12分19．解：（1） 若选①因为，由正弦定理得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以．................................................4分若选②由，化简得．由正弦定理得：，即，所以．因为，所以．.........................................4分若选③由正弦定理得，即因为，所以，所以，所以，又因为，所以．....................................................4分（2）在中，由正弦定理，得，...................................................6分 由（1）知：，又с=1代入上式得：．..........................................................................8分因为为锐角三角形，所以，解得，所以，10分所以．.....................................................................12分20．解：（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；.........3分（2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以所以．所以，即，所以．令，得：，故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65．35百万元．.........7分（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，所以X的分布列为：012P所以．.....................................................................12分21．解：（1）由抛物线的定义得，解得，则抛物线的标准方程为，4分（2）依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为，由得直线方程为：，由解得点，...................................6分由解得点.....................................8分由得，假定在轴上存在点使得，设点，则由（1）得直线斜率，直线斜率，...............................................10分由得，则有，即，整理得，显然当时，对任意不为0的实数，恒成立，即当时，恒成立，恒成立，所以轴上存在点使得，点．......................................................12分22．解：（1）当时，恒成立在R上单调递减当时，令解得当时，．当时在上单调递减，上单调递增综上所述，当时，在R上单调递减。当时，在上单调递减，上单调递增。...............................................4分（2）由得，恒成立，令，，      当时，令，则，等号仅在时取得，所以在上单调递增，故，等号仅在时取得。即。令，则恒成立，在上单调递增。，即，所以在上单调递增所以，即，所以当时，在上恒成立。当时， ，，设，当时，是R上的增函数， 在上单调递增，即时，在上递增，，故在内存在唯一解，当时，，则在上递减，则，则在上递减，故，当时，在上递减，则，即当时，存在x使得，这与不等式在上恒成立矛盾，综合可知a的取值范围是．......................................................12分