2023年中考数学总复习专项突破——一次函数与反比例函数

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 2023年中考数学总复习专项突破——一次函数与反比例函数 1．如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y=（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和．2．如图，直线y1=x+2与双曲线y2= 交于A（a，4），B（m，n）．  （1）求k值和点B的坐标；  （2）求△AOB的面积；  （3）当y1＞y2时请直接写出x的取值范围；  （4）P为x轴上任意一点，当△ABP为直角三角形时，直接写出P点坐标．  3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积．4．如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A和点B（﹣2，n），与x轴交于点C（﹣1，0），连接OA．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P在坐标轴上，且满足PA=OA，求点P的坐标．5．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．6．如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于 和B两点，与x轴交于点C,连接 （1）求反比例函数的解析式；   （2）若点P在x轴上，且 ，求点P的坐标.   7．如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点B、点C，与反比例函数y= 的图象在第四象限的相交于点P，并且PA⊥y轴于点A，已知A （0，﹣6），且S△CAP=18．  （1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；  （2）设Q是一次函数y=kx+3图象上的一点，且满足△OCQ的面积是△BCO面积的2倍，求出点Q的坐标．  8．已知：在平面直角坐标系 中，对于任意的实数 ，直线 都经过平面内一个定点 ．  （1）求点 的坐标．   （2）反比例函数 的图象与直线 交于点 和另外一点 ①求 的值；②当 时，求 的取值范围9．如图在平面直角示系中，直线与轴交于点，与轴交于点，在第一象限内与反比例函数的图象交于点，，过点作轴垂足为点．（1）点的坐标是　        　，点的坐标是　        　；（2）求反比例函数的表达式；（3）观察图象，在第一象限内，当时，的取值范围是　     　．10．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于点A（2，3）和点B，与x轴相交于点C（8，0）．  （1）求这两个函数的解析式；  （2）当x取何值时，y1＞y2．  11．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象在第一象限交于点 ，过点 作 轴上点 ， 的面积为 .  （1）求反比例函数 的解析式；   （2）求证： 是等腰三角形.   12．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于A（1，m）、B（4，n）两点．  （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；   （2）根据图象，直接写出当 时x的取值范围．   13．如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点．（1）求，的值；（2）根据图象，写出一次函数的值不小于反比例函数的值时取值范围．14．如图所示，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限的点 和点 ，过A点作x轴的垂线，垂足为点C， 的面积为4. （1）分别求出a和b的值；   （2）结合图象直接写出 中x的取值范围；（3）在y轴上取点P，使 取得最大值时，求出点P的坐标.15．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点 和点 .  （1）求反比例函数的解析式和点 的坐标；   （2）连接 ， ，求 的面积.   （3）结合图象，请直接写出使反比例函数值小于一次函数值的自变量 的取值范围.   16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x-4的图象与反比例函数 的图象交于A(1，n)，B(m，2). （1）求反比例函数关系式及m的值   （2）若x轴正半轴上有一点M，满足ΔMAB的面积为16，求点M的坐标；   （3）根据函数图象直接写出关于x的不等式 的解集
答案解析部分1．【答案】（1）解：∵A（3，5）、E（﹣2，0），∴设直线AE的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+2，∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a=﹣3+2=﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y=（0＜k＜15）的图象经过点D，∴k=﹣3×（﹣1）=3；（2）解：如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影=4×3=12．2．【答案】（1）解：∵点A（a，4）在直线y1=x+2上，  ∴4=a+2，解得：a=2，∴点A（2，4）．∵点A（2，4）在双曲线y2= 上，∴k=2×4=8（2）解：联立直线与双曲线解析式成方程组得： ，  解得： ， ，∴点B（﹣4，﹣2）（3）解：观察函数图象，发现：  当﹣4＜x＜0或x＞2时，直线在双曲线的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围为﹣4＜x＜0或x＞2（4）解：点P的坐标为（m，0），  则AB= =6 ，AP= ，BP= ，△ABP为直角三角形分三种情况：①AB为斜边时（图1），有AB2=AP2+BP2，即72=（m﹣2）2+16+（m+4）2+4，解得：m1=﹣1﹣ ，m2=﹣1+ ，此时点P坐标为（﹣1﹣ ，0）或（﹣1+ ，0）；②AP为斜边时（图2），有AP2=AB2+BP2，即（m﹣2）2+16=72+（m+4）2+4，解得：m3=﹣6，此时点P坐标为（﹣6，0）；③BP为斜边时（图3），有BP2=AB2+AP2，即（m+4）2+4=72+（m﹣2）2+16，解得：m4=6，此时点P坐标为（6，0）．综上可知：当△ABP为直角三角形时，P点坐标为（﹣1﹣ ，0）、（﹣1+ ，0）、（﹣6，0）或（6，0）3．【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵ CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===．∴ OA=2，CE=3．∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．故直线AB的解析式为y=﹣x+2．设反比例函数的解析式为y=（m≠0），将点C的坐标代入，得3=，∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为：y=﹣（2）解：联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2，△BOC的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8．4．【答案】（1）【解答】解：∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点C（﹣1，0），∴﹣1+b=0，解得b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1，∵一次函数y=x+1的图象过点B（﹣2，n），∴n=﹣2+1=﹣1，∴B（﹣2，﹣1）．∵反比例函数y=的图象过点B（﹣2，﹣1），∴k=﹣2×（﹣1）=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）由，解得，或，∵B（﹣2，﹣1），∴A（1，2）．分两种情况：①如果点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），∵P1A=OA，∴P1O=2OM，∴点P1的坐标为（2，0）；②如果点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），∵P2A=OA，∴P2O=2NO，∴点P的坐标为（0，4）；综上所述，所求点P的坐标为（2，0）或（0，4）．5．【答案】（1）解：∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入y=得：k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）解：把x=4代入y=得：y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣×2×2﹣×4×1=4，由题意得：|OP|×AO=4，∵AO=2，∴|OP|=4，∴点P的坐标是（4，0）或（﹣4，0）．6．【答案】（1）解: 把点 代入 得 把 代入反比例函数 ， ； 反比例函数的解析式为: ；（2）解: 作 轴， 轴，垂足分别为点 .   由 和 得: 解得 ， 经检验 是原方程的根. 点 的坐标为 一次函数 的图象与x轴交于点C， .设 ，则有 或 点P的坐标为 或 .7．【答案】（1）解：令一次函数y=kx+3中的x=0，则y=3，  即点C的坐标为（0，3），∴AC=3﹣（﹣6）=9．∵S△CAP= AC•AP=18，∴AP=4，∵点A的坐标为（0，﹣6），∴点P的坐标为（4，﹣6）．∵点P在一次函数y=kx+3的图象上，∴﹣6=4k+3，解得：k=﹣ ；∵点P在反比例函数y= 的图象上，∴﹣6= ，解得：n=﹣24．∴一次函数的表达式为y=﹣ x+3，反比例函数的表达式为y=﹣ （2）解：令一次函数y=﹣ x+3中的y=0，则0=﹣ x+3，  解得：x= ，即点B的坐标为（ ，0）．设点Q的坐标为（m，﹣   m+3）．∵△OCQ的面积是△BCO面积的2倍，∴|m|=2× ，解得：m=± ，∴点Q的坐标为（﹣ ，9）或（ ，﹣3）8．【答案】（1）解：∵y=ax+a-2=a(x+1)-2，  ∴当x=-1时，y=-2，∴直线y=ax+a-2都经过平面内一个定点A(-1,-2)；故答案为：A(-1,-2)（2）解：①∵反比例函数 的图像经过点A，   ∴b=-1×(-2)=2；②若点P(m,n)在第一象限，当n＞-2时，m＞0，若点P(m,n)在第三象限，当n＞-2时，m＜-1，综上，当n＞-2时，m＞0或m＜-1．故答案为：b=2，m的取值范围是：m＞0或m＜-19．【答案】（1）；（2）解：轴，，，，，，；把代入得，，，把点代入得，反比例函数的解析式：；（3）10．【答案】（1）解：把 A（2，3）代入y2= ，得m=6．  ∴y2= ，把 A（2，3）、C（8，0）代入y1=kx+b，得 ，∴这两个函数的解析式为y1=﹣ x+4，y2= （2）解：由题意得 ，  解得 ， ，当x＜0 或 2＜x＜6 时，y1＞y211．【答案】（1）解：∵点 ，点 ∴点 坐标为 ∴∴∴∴∴点 坐标为 把 ， 代入 得： 解得 ∴直线的解析式为 把点 代入 得 ∴∴则反比例函数的解析式为 （2）解：∵ ， ， ∴ ， ， 在 中， ∴∴ 是等腰三角形.12．【答案】（1）解：∵ 与 的图象交于A（1，m）、B（4，n）两点，   ∴m=-1+5=4，n=-4+5=1，∴A（1，4），B（4，1），∵点A（1，4）在反比例函数 图象上，∴4= ，即k=4，∴反比例函数解析式为 ．（2）解：由图象可知：x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，  ∴当 时x的取值范围为x＜0或1＜x＜4．13．【答案】（1）解：∵点在反比例函数图象上，∴，∴．∵点在一次函数图象上，∴，∴．（2）解：由（1）可得，解得或，∴点坐标为．由图象知取值范围是或．14．【答案】（1）解：由题意得： ∴ ， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限∴ ， 当 时， ；当 时， ，解得 （2）解：由图象可以看出 的解集为 或 （3）解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大） ∵ 关于y轴的对称点为 ，又 ，则直线 与 轴的交点即为所求P点.设直线 的解析式为 则 解得 ∴直线 的解析式为 ∴直线 与 轴的交点为 .即点P的坐标为 .15．【答案】（1）解：把 代入 得 ，∴ .   ∴反比例函数的解析式为 .联立 解得   ∴点 的坐标为 （2）解：设直线 与 轴交于点 .   可知 点的坐标为 ，∴ .∴（3）解：当 或 时，反比例函数值小于一次函数值.   16．【答案】（1）解：
∵一次函数y=-2x-4的图象过点A（1，n），B（m，2） ∴n=-2-4，2=-2m-4∴n=-6，m=-3，
∴点A(1，-6).
把A（1，-6）代入 得，k=-6， ∴反比例关系式为: ；（2）解：设直线AB交x轴于点N，则N(-2，0)，设M（m，0），m＞0， 当M在x轴正半轴时
 = |m+2|×8=16∴m=2或-6（不合题意舍去），∴点M(2，0) ；（3）x＜-3或0＜x＜1.