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2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 二次函数动几综合题
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这是一份2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 二次函数动几综合题，共35页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数动几综合题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ 32 ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
2．如图，抛物线y=ax2﹣5ax﹣4交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C，过点C作CD∥AB，交抛物线于点D，连接AC、AD，AD交y轴于点E，且AC=CD，过点A作射线AF交y轴于点F，AB平分∠EAF．
（1）此抛物线的对称轴是 ；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△APF面积S△APF的最大值，以及此时点P的坐标；
（4）点M是线段AB上一点（不与点A，B重合），点N是线段AD上一点（不与点A，D重合），则两线段长度之和：MN+MD的最小值是 ．
3．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
5．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，−3）三点，顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过A、D两点的直线的表达式；
（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
6．已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标；
（3）如图2，过点N作NM⊥y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标．
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
8．如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A ，与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点 M 为一次函数下方抛物线上的点， △ABM 的面积最大时，求点 M 的坐标；
（3）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数的图象的另一交点为 D ，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且 ΔPBD 为直角三角形，求点 P 的坐标．
9．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、 B 的横坐标分别为 a 、 a+2 ，二次函数 y=−x2+(m−2)x+2m 的图像经过点 A 、 B ，且 m 满足 2a−m=d ( d 为常数).
（1）若一次函数 y1=kx+b 的图像经过 A 、 B 两点.
①当 a=1 、 d=−1 时，求 k 的值；
②若 y1 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围.
（2）当 d=−4 且 a≠−2 、 a≠−4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由；
（3）点 A 、 B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A 、 B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C 、 D ，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由.
10．已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）求出S与t的函数关系式．
11．在平面直角坐标系中，抛物线 y=−12x2+mx+m （m为常数）．
（1）当点 (m，−12) 在该抛物线上时，求m的值．
（2）将抛物线在 x⩽2m 的部分图象沿y轴翻折得到新图象记为G，当 −2⩽x⩽−1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）当该抛物线在 x⩽2m 的部分图象的最高点到 y=−12 的距离为1时，求m的值．
（4）当 m>0 时，过点 A(1，−12) 作垂直于x轴的直线交该抛物线于点B，在AB延长上取一点C，使 BC=13AB ，将线段AB绕点A顺时针旋转 90° 得到线段AE，以AC、AE为邻边作矩形ACDE，当该抛物线的顶点在矩形的边上时，直接写出该抛物线在该矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差．
12．如图，抛物线y＝12x2－2x－6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点P作直线PD⊥x轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求A、B两点的坐标，及直线BC的表达式；
（2）若DE＝2PE时，求线段DE的长；
（3）在（2）的条件下，若点Q是直线PD上的一个动点，点M是抛物线上的一个动点，是否存在以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过A，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点（不含B，C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？
（3）如图（3），将△ODB沿直线y=x+1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分，请直接写出此时平移的距离．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于C，tan∠CAB=3；双曲线y=kx(k≠0)经过抛物线y=ax2+bx+3的顶点D，点D的横坐标为1．
（1）求抛物线和双曲线的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接BP、CP，求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值．
（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得QB=QC，请求出点Q的坐标．
15．已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．
（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；
（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；
（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．
16．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A(−2，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；
（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若CM+BH=MO，∠CPM=∠BAP，CM=EW，求点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−3)(x+1)，
∵m≠0，
∴当y=0时， x1=−1，x2=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)
（2）解：设 C1：y=ax2+bx+c ，将A. B. C三点的坐标代入得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=−32， 解得 a=12b=−1c=−32，
故 C1：y=12x2−x−32.
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B. C的坐标可得直线BC的解析式为： y=12x−32，
设 P(x，12x2−x−32)， 则 Q(x，12x−32)，
PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716，
当 x=32 时， S△PBC 有最大值， Smax=2716，
12×(32)2−32−32=−158，
P(32，−158)；
（3）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m，
顶点M坐标(1，−4m)，
当x=0时，y=−3m，
∴D(0，−3m)，B(3，0)，
∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1，
MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4，
BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有： DM2+BD2=MB2 或 DM2+MB2=BD2.
DM2+BD2=MB2 时有： m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；
DM2+MB2=BD2. 时有： m2+1+16m2+4=9m2+9，
解得 m=−22 ( m=22 舍去).
综上，m=−1或 −22 时， △BDM 为直角三角形.
2．【答案】（1）x= 52
（2）解：当x=0时，y=ax2﹣5ax﹣4=﹣4，则C（0，﹣4）；
∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于直线x= 52 对称，
∴D（5，﹣4），CD=5，
∵AC=CD，
∴AC=5，
在Rt△AOC中，OA= 52−42 =3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）代入y=ax2﹣5ax﹣4得9a+15a﹣4=0，解得a= 16 ，
∴抛物线解析式为y= 16 x2﹣ 56 x﹣4；
（3）解：作PQ∥y轴交AF于Q，如图1，
当y=0时， 16 x2﹣ 56 x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=8，则P（8，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（﹣3，0），D（5，﹣4）代入得 −3k+b=05k+b=−4 ，解得 k=−12b=−32 ，
∴直线AD的解析式为y=﹣ 12 x﹣ 32 ，
当x=0时，y=﹣ 12 x﹣ 32 =﹣ 32 ，则E（0，﹣ 32 ），
∵AB平分∠EAF，AO⊥EF，
∴OF=OE= 32 ，
∴F（0， 32 ），
易得直线AF的解析式为y= 12 x+ 32 ，
设P（x， 16 x2﹣ 56 x﹣4）（0＜x＜8），则Q（x， 12 x+ 32 ），
∴PQ= 12 x+ 32 ﹣（ 16 x2﹣ 56 x﹣4）=﹣ 16 x2+ 43 x+ 112 ，
∴S△APF=S△PAQ﹣S△PFQ= 12 •3•PQ=﹣ 14 x2+2x+ 334 =﹣ 14 （x﹣4）2+ 494 ，
当x=4时，S△APF的最大值为 494 ，此时P点坐标为（4，﹣ 143 ）；
（4）1655 .
3．【答案】（1）解：将点A(−1，0)，B(3，0)代入y=x2+bx+c得：
1−b+c=0，9+3b+c=0，
解得b=−2，c=−3.
∴抛物线的表达式为y=x2−2x−3．
（2）解：①由（1）可知：C(0，−3)，
设直线BC：y=kx+b(k≠0)，将点B(3，0)，C(0，−3)代入得：
3k+b=0，b=−3.
解得k=1，b=−3.
∴直线BC：y=x−3，则直线MN：y=x．
∵抛物线的对称轴：x=−b2a=−−22×1=1，
把x=1代入y=x，得y=1，
∴D(1，1)．
设直线CD：y=k1x+b1(k1≠0)，将点C(0，−3)，D(1，1)代入得：
k1+b1=1，b1=−3.
解得k1=4，b1=−3.
∴直线CD：y=4x−3．
当y=0时，得x=34，
∴E(34，0)，
∴OE=34．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F(1，1)．
由点D在直线MN上，设D(t，t)．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G(1，t)．
∵BC∥MN，
∴∠OBC=∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF=∠DOB，
∴∠OBC=∠GDF．
又∵∠BOC=∠DGF=90°，
∴△DGF≌△BOC，
∴GD=OB，GF=OC，
∵GD=t−1，OB=3，
∴t−1=3，解得t=4．
∴D(4，4)，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB．
同理可证：△DKF≌△COB，
∴KD=OC，
∵KD=1−t，OC=3，
∴1−t=3，解得t=−2．
∴D(−2，−2)
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即▱BFCD．
设D(t，t)，F(1，m)，同理可证：△DHC≌△BPF，
∴DH=BP，HC=PF
∵DH=t，BP=3−1=2，HC=t−(−3)=t+3，PF=0−m=−m
∴t=2，t+3=−m．
解得t=2，m=−5.
∴D(2，2)，F(1，−5)．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为(1，1)时，点D的坐标：(4，4)或(−2，−2)；
当点F的坐标为(1，−5)时，点D的坐标：(2，2)．
4．【答案】（1）解：令y=0得：3x+3=0，x= -1，
故点C的坐标为（-1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故点A的坐标为（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴ OB=OA=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，
c=39a+3b+3=0a−b+3=0
解得：
a=−1b=2c=3
∴解析式为：y= -x2+2x+3
（2）解：存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB-ON=3-x．
S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB-S△AOB
= 12 （OA+PN）ON+ 12 PNBN - 12 OA×OB
= 12(3+y)⋅x+12y⋅(3−x)−12×3×3
= 32x+32y−92
∵P（x，y）在抛物线上，∴y= -x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP= 32x+32(−x2+2x+3)−92 = −32 （x2-3x）= −32(x−32)2+278
∴当x= 32 时，S△ABP取得最大值．
当x= 32 时，y= -x2+2x+3= 154 ，
∴P（ 32，154 ）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（ 32，154 ）
5．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，−3）三点，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，将C(0，−3)代入得，−3=3a
解得a=−1
∴抛物线的解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3
∴二次函数解析式为y=−x2+4x−3
（2）解：∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1
∴D(2，1)
设经过A、D两点的直线的表达式为y=kx+b，将A（1，0），D(2，1)代入得，1=2k+b0=k+b
解得k=1b=−1
∴经过A、D两点的直线的表达式为y=x−1；
（3）解：如图，A，C，B，P为顶点的四边形是平行四边形
∵AB=2
①当AC为对角线时，
PC=AB=2，PC∥AB
∵C(0，−3)
∴P(−2，−3)
②当AB为对角线时，
∵CO=3，AO=1
∵CA=BP1，CA∥BP1，B(3，0)
∴P1(4，3)
综上所述，点P的坐标为(−2，−3)或(4，3)．
6．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），
∴a−2+c=0c=3，
∴a=−1c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3
（2）解：∵抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=1；
如图所示，过点A作 AM⊥AN交直线CP于M，过点M作MQ⊥x轴于Q，设抛物线对称轴与x轴交点为D，
∴∠AQM=∠MAN=∠NDA=90°，D（1，0），
∴∠AMQ+∠MAQ=90°，
又∵∠MAQ+∠NAD=90°，
∴∠AMQ=∠NAD，
∵∠MAN=90°，∠MNA=45°，
∴∠AMN=∠ANM=45°，
∴AM=NA，
∴△AMQ≌△NAD（AAS），
∴MQ=AD，AQ=ND，
设直线CP的解析式为y=kx+3，点N的坐标为（1，k+3），
∵当k+3>0时，A（-1，0），D（1，0），
∴MQ=AD=2，AQ=ND=k+3，
∴OQ=k+4，
∴点M的坐标为（-k-4，2），
∴k(−k−4)+3=2，即k2+4k−1=0，
解得k=5−2或k=−5−2（舍去），
∴直线PC的解析式为y=(5−2)x+3，
联立y=(5−2)x+3y=−x2+2x+3
得x2+(5−4)x=0，
解得x=4−5或x=0（舍去），
∴点P的横坐标为4−5；
同理当k+3≤0时，可以求得点P的横坐标为 4+5，
综上所述，点P的横坐标为4+5或4−5；
（3）解：（1，32）
7．【答案】（1）解：由直线BC：y=x−4，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴MN//x 轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x=x1+x22=32，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−4)，将C(0，-4)代入，
得：-4a=-4，
解得：a=1，
∴y=(x+1)(x−4)=x2−3x−4，
故该抛物线解析式为y=x2−3x−4．
（2）解：如图，连接CQ，
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ=OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，
当x−4=−2时，解得：x=-2，
∴Q(-2，-2)，
∵OB=OC=4，
∴BC=OB2+OC2=42，
∴△QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=42+4；
（3）解：设P(m，m-4)，且0＜m＜4，
则F(m，0)，G(m，m2−3m−4)，
∵PF=PG，
∴−(m−4)=(m−4)−(m2−3m−4)，
解得：m1=1，m2=4（舍），
∴F(1，0)，P(1，-3)，
∴FP=3．
①如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧，
延长HQ交x轴于点N，
∵FP=FQ=3，QH//FP，QF//HP，
∴∠QNF=90°，∠NFQ=∠ABC=45°，
∴NQ=NF=22FQ=322，
∴ON=NF−OF=322−1=32−22，
∵Q点在第三象限，
∴Q1(2−322，−322 )；
Q2(2+322，322)，Q3 (4，-3)，Q4(−12，−32)．
8．【答案】（1）解： ∵y=0.5x+2 交x轴于点 A ，
∴0=0.5x+2 ，
∴x=−4 ，
∴A(−4，0) ，
∵直线 y=0.5x+2 与 y 轴交于点 B ，
∴B 点坐标为 (0，2) ，
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ，
∴ 可设二次函数 y=a(x−2)2 ，
把 B(0，2) 代入得， a=0.5 ，
∴ 二次函数的表达式： y=0.5x2−2x+2 ；
（2）解：作 MH⊥AD 于 H，MG//y 轴交 AD 于点 G ，
则∠MGH=∠OBA，∠MHG=∠AOB=90°，
∴ΔAOB∼ΔMHG ，
∴MHOA=MGAB ，
设 M(t，0.5t2−2t+2) ，则G（t， 0.5t+2 ），
∴MG=(0.5t+2)−(0.5t2−2t+2)=−12t2+52t ，
又∵AB= 42+22=25 ，OA=4，
∴MH=425(−12t2+52t) ，
∵SΔABM=12AB⋅MH=12×25×425(−12t2+52t)=−t2+5t ，
当 t=52 时， SΔABM 最大，此时， y=12×254−2×52+2=18 ，
∴M(52，18) ；
（3）解：（Ⅰ）当点B为直角顶点时，过 B 作 BP1⊥AD 交 x 轴于 P1 点，则 RtΔAOB∼RtΔBOP1 ，如图1，
∴AOBO=BOP1O ，
∴42=2OP1 ，得 OP1=1 ，
∴P1(1，0) ；
（Ⅱ）当点D为直角顶点时，作 P2D⊥BD ，如图2，
将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2−2x+2 联立，
可得 D 点坐标为 (5，4.5) ，
∴AD=(5+4)2+(4.5−0)2=952 ，
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2 ，
∴ΔABO∼ΔAP2D ，
∴ABAP2=AOAD ，即 25AP2=4952 ，
解得： AP2=11.25 ，则 OP2=11.25−4=7.25 ，
故 P2 点坐标为 (7.25，0) ；
（Ⅲ）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E ，如图3，
设 P3(a，0) ，
则由 RtΔOBP3∼RtΔEP3D ，得 OP3DE=OBP3E ，
∴a4.5=25−a ，
∵ 方程无解，
∴ 点 P3 不存在，
∴ 点 P 的坐标为 P1(1，0) 和 P2(7.25，0) ．
9．【答案】（1）解：①∵a=1，d=−1，2a−m=d ，∴m=2a−d=3 ，∴二次函数的表达式为 y=−x2+x+6 ．∵A 、 B 两点的横坐标分别为 a，a+2 ，当 a=1 时， A 、 B 两点的横坐标分别为 1，3 ，代入二次函数的表达式，得 A 、 B 两点的纵坐标分别为 6，0 ，即 A（1，6），B（3，0） ．
将点 A 、 B 的坐标分别代入 y1=kx+b ，得： {k+b=63k+b=0 ，解得： {k=−3b=9 ，∴k 的值为 −3 ．
②∵2a−m=d ，∴m=2a−d ，二次函数的表达式为 y=−x2+（2a−d−2）x+2（2a−d） ．∵A 、 B 两点在二次函数的图象上，∴点 A 的坐标为 （a，a2−ad+2a−2d） ，点 B 的坐标为 （a+2，a2+2a−4d−8−ad） ．∵在 y1=kx+b 中， y1 随 x 的增大而减小， aa2+2a−4d−8−ad ，解得： d>−4
（2）解： AB//x 轴．理由如下：
当 d=−4 时， A（a，a2+6a+8），B（a+2，a2+6a+8） ．
∵a≠−2 、 a≠−4 ，
∴A 、 B 两点的纵坐标相等且不为0．
∵横坐标不等，
∴AB//x 轴．
（3）解：当点 A 运动到 y 轴上时， a=0 ，∴点 A 的对应点 C 的坐标为 （0，−2d） ，
当点 B 运动到 y 轴上时， a=−2 ，∴点 B 的对应点 D 的坐标为 （0，−2d−8） ，∴|CD|=|−2d−（−2d−8）|=8 ，∴CD 的长不变
10．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
a+b=−19a+3b=−1 ，
解得： a=13b=−43 ，
故抛物线解析式为y= 13 x2﹣ 43 x
（2）解：∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，﹣1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是 12 OP= 12 ×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）
（3）解：如图，点Q与点A重合时，
OP=1×2=2，t=2÷2=1，
点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，
所以，分三种情况讨论：
①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，S= 12 ×（2t）× 2t2 =t2，
②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，
S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′= 12 ×（2t）× 2t2 ﹣ 12 ×（ 2 t﹣ 2 ）2=2t﹣1；
③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积
S=S梯形OABC﹣S△BGF= 12 ×（2+3）×1﹣ 12 ×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+ 52 ；
所以，S与t的关系式为S= t2(0
解得m1=m2=-1，
∴m=-1；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴直线x=m关于y轴的对称的直线为x=-m，
∵当 −2⩽x⩽−1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，
∴−m<−1−m>−2 ，
解得1
∴当x=2m时，抛物线在x≤2m的部分有最高点，
∴y=−12⋅(2m)2+m⋅2m+m=m ，
∴最高点的坐标为（2m，m），
∴|m−(−12)|=1 ．
解得 m=12 (不合题意，舍去)或 m=−32 ；
当m>0时，对称轴为 x=m ，抛物线在x≤2m的部分的最高点坐标为 (m，12m2+m) ．
∴|12m2+m−(−12)|=1 ．
解得 m=2−1 或 m=−2−1 (舍去)，
综上所述，当m的值为 −32 或 2−1 时，抛物线在x≤2m的部分图象的最高点到 y=−12 的距离为1；
（4）解：∵AB⊥ x 轴，
∴xB=1 代入 y=−12x2+mx+m =2m−12 ，
∴AB=2m，BC= 13 AB= 23 m，
∴C(1， 83m−12 )， yE=−12 ， xE=1+AB=1+2m ，
∴E( 1+2m ， −12 )，
当抛物线的顶点在矩形的边AC上时，
∴x=m=1 ，最大值为 y=−12+1+1=32 ，
∴y=−12x2+x+1 ，
∴E( 3 ， −12 )，即最小值为 −12 ，
∴最大值与最小值的差为 32−(−12)=2 ．
当抛物线的顶点在矩形的边CD上时，顶点坐标为( m ， 12m2+m )，
依题意得： 83m−12=12m2+m ，整理得 3m2−10m+3=0 ，
解得 m=13 或 m=3 ，
当 m=13 时，顶点坐标为( 13 ， 718 )，
∵13<1 ，
则抛物线的顶点不在矩形的边CD上，不符合题意，舍去；
当 m=3 时，顶点坐标为(3， 152 )，即最大值为 152 ，
E(7， −12 )，即最小值为 −12 ，
最大值与最小值的差为 152−(−12)=8 ；
当抛物线的顶点在矩形的边DE上时，
则 m=1+2m ，
解得 m=−1 ，不符合题意，
综上，最大值与最小值的差为2或8．
12．【答案】（1）解：令y＝0，则 12x2－2x－6＝0，
∴x1＝－2，x2＝6
∴A（－2，0），B（6，0）
令x＝0，则y＝－6，
∴C（0，－6）
设直线BC的表达式为y＝kx＋b
将B（6，0），C（0，－6）代入，得
6k+b=0b=−6
解得 k=1b=−6
∴直线BC的表达式为y＝x－6；
（2）解：设P（m，0），则E（m，m－6），D（m， 12m2－2m－6）
∴DE＝m－6－（ 12m2－2m－6）＝－ 12m2＋3m
PE＝0－（m－6）＝－m＋6
当DE＝2PE时，－ 12m2＋3m＝2（－m＋6），
解得m1＝4，m2＝6（舍去）
∴P（4，0）
∴DE=－ 12 ×42+3×4=4；
（3）解：存在，点Q的坐标为：Q1（4，2），Q2（4，18），Q3（4，6）
13．【答案】（1）解：把y=0代入直线的解析式得：x+1=0，解得x=﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴B的坐标为（3，0）．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=﹣3，
∴C（0，﹣3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入得：﹣3a=﹣3，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：如图1所示：连结OP．
将x=0代入直线AD的解析式得：y=1，
∴OD=1．
由题意可知P（t，t2﹣2t﹣3）．
∵四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积，
∴S= 12 ×3×1+ 12 ×3×（﹣t2+2t+3）+ 12 ×3×t，整理得：S=﹣ 32 t2+ 92 t+6．
配方得：S=﹣ 32 （t﹣ 32 ）2+ 758 ．
∴当t= 32 时，S取得最大值，最大值为 758 ．
（3）解：如图2所示：
设点D′的坐标为（a，a+1），O′（a，a）．
当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=1：2时，则O′E：EB′=1：2．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=1．
∴E（a+1，a）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+1）2﹣2（a+1）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= 1+172 或a= 1−172 ．
∴O′的坐标为（ 1+172 ， 1+172 ）或（ 1−172 ， 1−172 ）．
∴OO′= 2+342 或OO′= 34−22 ．
∴△DOB平移的距离为 2+342 或 34−22 ．
当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=2：1时，则O′E：EB′=2：1．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=2．
∴E（a+2，a）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+2）2﹣2（a+2）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= −1+132 或a= −1−132 ．
∴O′的坐标为（ −1+132 ， −1+132 ）或（ −1−132 ， −1−132 ）．
∴OO′= −2+262 或OO′= 2+262 ．
∴△DOB平移的距离为 −2+262 或 2+262 ．
综上所述，当△D′O′B′沿DA方向平移 2+342 或 2+262 单位长度，或沿AD方向平移 34−22 或 −2+262 个单位长度时，ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分．
14．【答案】（1）解：∵令x=0得：y=3，
∴点C的坐标为(0，3)，
∴OC=3．
∵tan∠CAB=3，
∴OCOA=3，即3OA=3，
∴OA=1．
∴点A的坐标为(−1，0)．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点B的坐标为(3，0)．
将A(−1，0)，B(3，0)代入得：a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1，b=2，
∴抛物线的解析y=−x2+2x+3．
将x=1代入得：y=−1+2+3=4．
∴点D的坐标为(1，4)．
将(1，4)代入反比例函数的解析式得：4=k1，
解得：k=4．
∴反比例函数的解析式为y=4x．
（2）解：如图1所示：连接BC，过点P作PE⊥AB，交BC于点E．
∵AB=4，OC=3，
∴S△ABC=12AB×OC=12×4×3=6．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将(3，0)、(0，3)代入得：3k+b=0，b=3，
解得b=3，k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
设点P的坐标为(x，−x2+2x+3)，则E点的坐标(x，−x+3)．
∴PE=−x2+3x，
∴S△PBC=12PE⋅OB=12×3×(−x2+3x)=32x2+92x．
∴S四边形ABPC=−32x2+92x+6=−32(x−32)2+758，
将x=32代入抛物线的解析式得：y=154，
∴P点坐标(32，154)，S四边形ABPC最大值=758．
（3）解：如图2所示：连接BC，过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∵QB=QC，
∴点Q在BC的垂直平分线上．
∵OE⊥BC，OB=OC，
∴EC=BE，
∴OE是BC的垂直平分线，
∴点Q在OE上，
∵OE垂直平分BC，
∴直线OE的解析式为y=x．
将y=x与y=4x联立得y=xy=4x，
解得x=2y=2或x=−2y=−2
∴点Q的坐标为(2，2)或(−2，−2)，
将y=x与y=−x2+2x+3联立得y=xy=−x2+2x+3，
解得：x=1+132y=1+132或x=1−132y=1−132，
∴点Q的坐标为(1+132，1+132)或(1−132，1−132)．
综上所述，点Q的坐标为(2，2)或(−2，−2)或(1+132，1+132)或(1−132，1−132)．
15．【答案】（1）解：y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，
令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝ 32 或﹣1，
故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）
（2）解：函数的对称轴为：x＝ −−a2×2a=14 ，
设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（ 14 ，0），
则由勾股定理得CM＝ (14−1)2+(0+3)2=134 ，
则AB＝2CM＝ 132 ，
∴AM=BM=134
则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（ 72 ，0）；
将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，
解得：a＝ 16 ，
函数的表达式为：y＝ 16 （x+3）（x﹣ 72 ）＝ 16 x2﹣ 112 x﹣ 74
（3）解：过点E作EF⊥PH于点F，
设：∠ABC＝α，则∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，
设直线BC的解析式为 y=kx+b
将点B、C坐标代入一次函数表达式
得 72k+b=0−k+b=−3 解得： k=23b=−73
∴直线BC的表达式为： y=23x−73 ，
设点P（h， 16ℎ2−112ℎ−74 ），则点D（h， 23ℎ−73 ），
故tan∠ABC＝tanα＝ 23 ，则sinα＝ 21313 ，
yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinα•sinα，
S＝S△ABE﹣S△ABD
＝ 12 ×AB×（yD﹣yE）
＝ 12×132×413(23ℎ−73−16ℎ2+112ℎ+74)
=−16ℎ2+34ℎ−712
=−16(ℎ−94)2+2596
∵﹣ 16 ＜0，
∴S有最大值，当h＝ 94 时，S的最大值为： 2596 ，此时点P（ 94,−3532 ）．
16．【答案】（1）解：∵ 抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A(−2，0)、B(5，0)两点，
所以可得抛物线为：y=−12(x+2)(x−5)=−12(x2−3x−10)=−12x2+32x+5
（2）解：如图，过P作PH⊥OB于H， 连AP交OC于E，
则OE∥PH，P[t，−12(t+2)(t−5)]，H(t，0)，
∴△AOE∽△AHP，
∴AOAH=OEPH，
∵A(−2，0)，
∴2t+2=OE−12(t+2)(t−5)，
∴OE=−t+5，
∵y=−12x2+32x+5，
令x=0， 则y=5，
∴C(0，5)，
∴d=CE=5−(−t+5)=t，
（3）解：如图，过P作PK⊥y轴于K， 过M作MN⊥AP于N，
由（2）得：CE=OH=t，OC=OB=5，
∴OE=BH，
∵ CM+BH=MO，CM=EW，
∴CM+OE=ME+OE，
∴CM=ME=EW，
∵PK⊥y轴，则PK∥x轴，
∴∠BAP=∠KPE，
∵ ∠CPM=∠BAP，
∴∠CPM=∠KPN，
∴∠CPK=∠MPN，
∴tan∠CPK=tan∠MPN， 即CKPK=MNPN，
结合（1）可得：四边形PHOK为矩形，
∵A(−2，0)，P(t，−12t2+32t+5)，H(t，0)，
∴OA=2，OH=PK=t，PH=OK=−12t2+32t+5，CM=ME=EW=12t，
CK=5−(−12t2+32t+5)=12t2−32t，
∴CKPK=12t2−32tt=12t−32，
∵sin∠MEN=sin∠AEO， 设a=AE=4+(5−t)2，
∴2a=MN12t，
∴MN=ta，
∵cos∠AEO=cos∠MEN，
∴(5−t)a=EN12t，
∴EN=t(5−t)2a，
由CM=ME，
∴12CM·PK=12PE·MN，
∴PE=12at，
∴PN=PE−EN=12at−t(5−t)2a，
∴MNPN=ta÷(12at−5t−t22a)=2a2−5+t=2t2−9t+24，
∴t−32=2t2−9t+24，
整理得：(t−4)(t2−8t+19)=0，
∴t−4=0或t2−18t+19=0，
解得：t=4， （方程t2−18t+19=0无解），经检验符合题意，
∴P(4，3)，OE=1，EW=12×4=2，
∴OW=1，W(0，−1)，
设PW为：y=mx+n，
∴4m+n=3n=−1
解得：m=1n=−1，
∴ PW为：y=x−1，
∴y=x−1y=−12x2+32x+5
解得：x1=4y1=3或x2=−3y2=−4
∴Q(−3，−4).
2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数动几综合题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ 32 ），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
2．如图，抛物线y=ax2﹣5ax﹣4交x轴于A，B两点（点A位于点B的左侧），交y轴于点C，过点C作CD∥AB，交抛物线于点D，连接AC、AD，AD交y轴于点E，且AC=CD，过点A作射线AF交y轴于点F，AB平分∠EAF．
（1）此抛物线的对称轴是 ；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）若点P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△APF面积S△APF的最大值，以及此时点P的坐标；
（4）点M是线段AB上一点（不与点A，B重合），点N是线段AD上一点（不与点A，D重合），则两线段长度之和：MN+MD的最小值是 ．
3．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
5．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，−3）三点，顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求经过A、D两点的直线的表达式；
（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
6．已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标；
（3）如图2，过点N作NM⊥y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标．
7．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4；线段OC的垂直平分线交抛物线于点M、N，点M、N横坐标分别为x1、x2且满足x1+x2＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是直线MN上一动点，当点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出此时点Q的坐标及△QOB周长的最小值；
（3）如图2，P线段CB上的一点，过点P作直线PF⊥x轴于F，交抛物线于G，且PF＝PG；点H是直线BC上一个动点，点Q是坐标平面内一点，以点H，Q，P，F为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的Q点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）．
8．如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A ，与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交于 y 轴上的一点 B， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点 M 为一次函数下方抛物线上的点， △ABM 的面积最大时，求点 M 的坐标；
（3）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数的图象的另一交点为 D ，已知 P 为 x 轴上的一个动点，且 ΔPBD 为直角三角形，求点 P 的坐标．
9．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 、 B 的横坐标分别为 a 、 a+2 ，二次函数 y=−x2+(m−2)x+2m 的图像经过点 A 、 B ，且 m 满足 2a−m=d ( d 为常数).
（1）若一次函数 y1=kx+b 的图像经过 A 、 B 两点.
①当 a=1 、 d=−1 时，求 k 的值；
②若 y1 随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围.
（2）当 d=−4 且 a≠−2 、 a≠−4 时，判断直线 AB 与 x 轴的位置关系，并说明理由；
（3）点 A 、 B 的位置随着 a 的变化而变化，设点 A 、 B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C 、 D ，线段 CD 的长度会发生变化吗？如果不变，求出 CD 的长；如果变化，请说明理由.
10．已知，如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）求出S与t的函数关系式．
11．在平面直角坐标系中，抛物线 y=−12x2+mx+m （m为常数）．
（1）当点 (m，−12) 在该抛物线上时，求m的值．
（2）将抛物线在 x⩽2m 的部分图象沿y轴翻折得到新图象记为G，当 −2⩽x⩽−1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，求m的取值范围．
（3）当该抛物线在 x⩽2m 的部分图象的最高点到 y=−12 的距离为1时，求m的值．
（4）当 m>0 时，过点 A(1，−12) 作垂直于x轴的直线交该抛物线于点B，在AB延长上取一点C，使 BC=13AB ，将线段AB绕点A顺时针旋转 90° 得到线段AE，以AC、AE为邻边作矩形ACDE，当该抛物线的顶点在矩形的边上时，直接写出该抛物线在该矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差．
12．如图，抛物线y＝12x2－2x－6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是线段OB上的一个动点（不与O、B重合），过点P作直线PD⊥x轴交抛物线于点D，交直线BC于点E．
（1）求A、B两点的坐标，及直线BC的表达式；
（2）若DE＝2PE时，求线段DE的长；
（3）在（2）的条件下，若点Q是直线PD上的一个动点，点M是抛物线上的一个动点，是否存在以B、C、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图（1），已知抛物线y=ax2+bx﹣3的对称轴为x=1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y=x+1经过A，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图（2），点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点（不含B，C两点），设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？
（3）如图（3），将△ODB沿直线y=x+1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分，请直接写出此时平移的距离．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于C，tan∠CAB=3；双曲线y=kx(k≠0)经过抛物线y=ax2+bx+3的顶点D，点D的横坐标为1．
（1）求抛物线和双曲线的解析式．
（2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接BP、CP，求当四边形ABPC取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值．
（3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得QB=QC，请求出点Q的坐标．
15．已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．
（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；
（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；
（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．
16．如图，平面直角坐标系中，点O为原点，抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A(−2，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P在第一象限内的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为点H，连AP交y轴于点E，设P点横坐标为t，线段EC长为d，求d与t的函数解析式；
（3）在（2）条件下，点M在CE上，点Q在第三象限内抛物线上，连接PC、PQ、PM，PQ与y轴交于W，若CM+BH=MO，∠CPM=∠BAP，CM=EW，求点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−3)(x+1)，
∵m≠0，
∴当y=0时， x1=−1，x2=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)
（2）解：设 C1：y=ax2+bx+c ，将A. B. C三点的坐标代入得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=−32， 解得 a=12b=−1c=−32，
故 C1：y=12x2−x−32.
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B. C的坐标可得直线BC的解析式为： y=12x−32，
设 P(x，12x2−x−32)， 则 Q(x，12x−32)，
PQ=12x−32−(12x2−x−32)=−12x2+32x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=12PQ⋅OB=12×(−12x2+32x)×3=−34(x−32)2+2716，
当 x=32 时， S△PBC 有最大值， Smax=2716，
12×(32)2−32−32=−158，
P(32，−158)；
（3）解： y=mx2−2mx−3m=m(x−1)2−4m，
顶点M坐标(1，−4m)，
当x=0时，y=−3m，
∴D(0，−3m)，B(3，0)，
∴DM2=(0−1)2+(−3m+4m)2=m2+1，
MB2=(3−1)2+(0+4m)2=16m2+4，
BD2=(3−0)2+(0+3m)2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有： DM2+BD2=MB2 或 DM2+MB2=BD2.
DM2+BD2=MB2 时有： m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=−1(∵m<0，∴m=1舍去)；
DM2+MB2=BD2. 时有： m2+1+16m2+4=9m2+9，
解得 m=−22 ( m=22 舍去).
综上，m=−1或 −22 时， △BDM 为直角三角形.
2．【答案】（1）x= 52
（2）解：当x=0时，y=ax2﹣5ax﹣4=﹣4，则C（0，﹣4）；
∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于直线x= 52 对称，
∴D（5，﹣4），CD=5，
∵AC=CD，
∴AC=5，
在Rt△AOC中，OA= 52−42 =3，
∴A（﹣3，0），
把A（﹣3，0）代入y=ax2﹣5ax﹣4得9a+15a﹣4=0，解得a= 16 ，
∴抛物线解析式为y= 16 x2﹣ 56 x﹣4；
（3）解：作PQ∥y轴交AF于Q，如图1，
当y=0时， 16 x2﹣ 56 x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=8，则P（8，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（﹣3，0），D（5，﹣4）代入得 −3k+b=05k+b=−4 ，解得 k=−12b=−32 ，
∴直线AD的解析式为y=﹣ 12 x﹣ 32 ，
当x=0时，y=﹣ 12 x﹣ 32 =﹣ 32 ，则E（0，﹣ 32 ），
∵AB平分∠EAF，AO⊥EF，
∴OF=OE= 32 ，
∴F（0， 32 ），
易得直线AF的解析式为y= 12 x+ 32 ，
设P（x， 16 x2﹣ 56 x﹣4）（0＜x＜8），则Q（x， 12 x+ 32 ），
∴PQ= 12 x+ 32 ﹣（ 16 x2﹣ 56 x﹣4）=﹣ 16 x2+ 43 x+ 112 ，
∴S△APF=S△PAQ﹣S△PFQ= 12 •3•PQ=﹣ 14 x2+2x+ 334 =﹣ 14 （x﹣4）2+ 494 ，
当x=4时，S△APF的最大值为 494 ，此时P点坐标为（4，﹣ 143 ）；
（4）1655 .
3．【答案】（1）解：将点A(−1，0)，B(3，0)代入y=x2+bx+c得：
1−b+c=0，9+3b+c=0，
解得b=−2，c=−3.
∴抛物线的表达式为y=x2−2x−3．
（2）解：①由（1）可知：C(0，−3)，
设直线BC：y=kx+b(k≠0)，将点B(3，0)，C(0，−3)代入得：
3k+b=0，b=−3.
解得k=1，b=−3.
∴直线BC：y=x−3，则直线MN：y=x．
∵抛物线的对称轴：x=−b2a=−−22×1=1，
把x=1代入y=x，得y=1，
∴D(1，1)．
设直线CD：y=k1x+b1(k1≠0)，将点C(0，−3)，D(1，1)代入得：
k1+b1=1，b1=−3.
解得k1=4，b1=−3.
∴直线CD：y=4x−3．
当y=0时，得x=34，
∴E(34，0)，
∴OE=34．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F(1，1)．
由点D在直线MN上，设D(t，t)．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G(1，t)．
∵BC∥MN，
∴∠OBC=∠DOB，
∵GD∥x轴，
∴∠GDF=∠DOB，
∴∠OBC=∠GDF．
又∵∠BOC=∠DGF=90°，
∴△DGF≌△BOC，
∴GD=OB，GF=OC，
∵GD=t−1，OB=3，
∴t−1=3，解得t=4．
∴D(4，4)，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB．
同理可证：△DKF≌△COB，
∴KD=OC，
∵KD=1−t，OC=3，
∴1−t=3，解得t=−2．
∴D(−2，−2)
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即▱BFCD．
设D(t，t)，F(1，m)，同理可证：△DHC≌△BPF，
∴DH=BP，HC=PF
∵DH=t，BP=3−1=2，HC=t−(−3)=t+3，PF=0−m=−m
∴t=2，t+3=−m．
解得t=2，m=−5.
∴D(2，2)，F(1，−5)．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为(1，1)时，点D的坐标：(4，4)或(−2，−2)；
当点F的坐标为(1，−5)时，点D的坐标：(2，2)．
4．【答案】（1）解：令y=0得：3x+3=0，x= -1，
故点C的坐标为（-1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故点A的坐标为（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴ OB=OA=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，
c=39a+3b+3=0a−b+3=0
解得：
a=−1b=2c=3
∴解析式为：y= -x2+2x+3
（2）解：存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB-ON=3-x．
S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB-S△AOB
= 12 （OA+PN）ON+ 12 PNBN - 12 OA×OB
= 12(3+y)⋅x+12y⋅(3−x)−12×3×3
= 32x+32y−92
∵P（x，y）在抛物线上，∴y= -x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP= 32x+32(−x2+2x+3)−92 = −32 （x2-3x）= −32(x−32)2+278
∴当x= 32 时，S△ABP取得最大值．
当x= 32 时，y= -x2+2x+3= 154 ，
∴P（ 32，154 ）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（ 32，154 ）
5．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，−3）三点，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，将C(0，−3)代入得，−3=3a
解得a=−1
∴抛物线的解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3
∴二次函数解析式为y=−x2+4x−3
（2）解：∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1
∴D(2，1)
设经过A、D两点的直线的表达式为y=kx+b，将A（1，0），D(2，1)代入得，1=2k+b0=k+b
解得k=1b=−1
∴经过A、D两点的直线的表达式为y=x−1；
（3）解：如图，A，C，B，P为顶点的四边形是平行四边形
∵AB=2
①当AC为对角线时，
PC=AB=2，PC∥AB
∵C(0，−3)
∴P(−2，−3)
②当AB为对角线时，
∵CO=3，AO=1
∵CA=BP1，CA∥BP1，B(3，0)
∴P1(4，3)
综上所述，点P的坐标为(−2，−3)或(4，3)．
6．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），
∴a−2+c=0c=3，
∴a=−1c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3
（2）解：∵抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=−b2a=1；
如图所示，过点A作 AM⊥AN交直线CP于M，过点M作MQ⊥x轴于Q，设抛物线对称轴与x轴交点为D，
∴∠AQM=∠MAN=∠NDA=90°，D（1，0），
∴∠AMQ+∠MAQ=90°，
又∵∠MAQ+∠NAD=90°，
∴∠AMQ=∠NAD，
∵∠MAN=90°，∠MNA=45°，
∴∠AMN=∠ANM=45°，
∴AM=NA，
∴△AMQ≌△NAD（AAS），
∴MQ=AD，AQ=ND，
设直线CP的解析式为y=kx+3，点N的坐标为（1，k+3），
∵当k+3>0时，A（-1，0），D（1，0），
∴MQ=AD=2，AQ=ND=k+3，
∴OQ=k+4，
∴点M的坐标为（-k-4，2），
∴k(−k−4)+3=2，即k2+4k−1=0，
解得k=5−2或k=−5−2（舍去），
∴直线PC的解析式为y=(5−2)x+3，
联立y=(5−2)x+3y=−x2+2x+3
得x2+(5−4)x=0，
解得x=4−5或x=0（舍去），
∴点P的横坐标为4−5；
同理当k+3≤0时，可以求得点P的横坐标为 4+5，
综上所述，点P的横坐标为4+5或4−5；
（3）解：（1，32）
7．【答案】（1）解：由直线BC：y=x−4，可得与x轴交点为B(4，0)，与y轴交点为C(0，-4），
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴MN//x 轴，
∴M、N关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x=x1+x22=32，
∴抛物线与x轴的另一个交点为A(-1，0)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−4)，将C(0，-4)代入，
得：-4a=-4，
解得：a=1，
∴y=(x+1)(x−4)=x2−3x−4，
故该抛物线解析式为y=x2−3x−4．
（2）解：如图，连接CQ，
∵MN是线段OC的垂直平分线，
∴CQ=OQ，
∴当点C、Q、B在同一直线上时，OQ+BQ=CQ+BQ=BC最短，
当x−4=−2时，解得：x=-2，
∴Q(-2，-2)，
∵OB=OC=4，
∴BC=OB2+OC2=42，
∴△QOB周长最小值=OQ+BQ+OB=BC+OB=42+4；
（3）解：设P(m，m-4)，且0＜m＜4，
则F(m，0)，G(m，m2−3m−4)，
∵PF=PG，
∴−(m−4)=(m−4)−(m2−3m−4)，
解得：m1=1，m2=4（舍），
∴F(1，0)，P(1，-3)，
∴FP=3．
①如图，PF为菱形的边且点H在点P左侧，
延长HQ交x轴于点N，
∵FP=FQ=3，QH//FP，QF//HP，
∴∠QNF=90°，∠NFQ=∠ABC=45°，
∴NQ=NF=22FQ=322，
∴ON=NF−OF=322−1=32−22，
∵Q点在第三象限，
∴Q1(2−322，−322 )；
Q2(2+322，322)，Q3 (4，-3)，Q4(−12，−32)．
8．【答案】（1）解： ∵y=0.5x+2 交x轴于点 A ，
∴0=0.5x+2 ，
∴x=−4 ，
∴A(−4，0) ，
∵直线 y=0.5x+2 与 y 轴交于点 B ，
∴B 点坐标为 (0，2) ，
∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴只有唯一的交点 C ，且 OC=2 ，
∴ 可设二次函数 y=a(x−2)2 ，
把 B(0，2) 代入得， a=0.5 ，
∴ 二次函数的表达式： y=0.5x2−2x+2 ；
（2）解：作 MH⊥AD 于 H，MG//y 轴交 AD 于点 G ，
则∠MGH=∠OBA，∠MHG=∠AOB=90°，
∴ΔAOB∼ΔMHG ，
∴MHOA=MGAB ，
设 M(t，0.5t2−2t+2) ，则G（t， 0.5t+2 ），
∴MG=(0.5t+2)−(0.5t2−2t+2)=−12t2+52t ，
又∵AB= 42+22=25 ，OA=4，
∴MH=425(−12t2+52t) ，
∵SΔABM=12AB⋅MH=12×25×425(−12t2+52t)=−t2+5t ，
当 t=52 时， SΔABM 最大，此时， y=12×254−2×52+2=18 ，
∴M(52，18) ；
（3）解：（Ⅰ）当点B为直角顶点时，过 B 作 BP1⊥AD 交 x 轴于 P1 点，则 RtΔAOB∼RtΔBOP1 ，如图1，
∴AOBO=BOP1O ，
∴42=2OP1 ，得 OP1=1 ，
∴P1(1，0) ；
（Ⅱ）当点D为直角顶点时，作 P2D⊥BD ，如图2，
将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2−2x+2 联立，
可得 D 点坐标为 (5，4.5) ，
∴AD=(5+4)2+(4.5−0)2=952 ，
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2 ，
∴ΔABO∼ΔAP2D ，
∴ABAP2=AOAD ，即 25AP2=4952 ，
解得： AP2=11.25 ，则 OP2=11.25−4=7.25 ，
故 P2 点坐标为 (7.25，0) ；
（Ⅲ）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E ，如图3，
设 P3(a，0) ，
则由 RtΔOBP3∼RtΔEP3D ，得 OP3DE=OBP3E ，
∴a4.5=25−a ，
∵ 方程无解，
∴ 点 P3 不存在，
∴ 点 P 的坐标为 P1(1，0) 和 P2(7.25，0) ．
9．【答案】（1）解：①∵a=1，d=−1，2a−m=d ，∴m=2a−d=3 ，∴二次函数的表达式为 y=−x2+x+6 ．∵A 、 B 两点的横坐标分别为 a，a+2 ，当 a=1 时， A 、 B 两点的横坐标分别为 1，3 ，代入二次函数的表达式，得 A 、 B 两点的纵坐标分别为 6，0 ，即 A（1，6），B（3，0） ．
将点 A 、 B 的坐标分别代入 y1=kx+b ，得： {k+b=63k+b=0 ，解得： {k=−3b=9 ，∴k 的值为 −3 ．
②∵2a−m=d ，∴m=2a−d ，二次函数的表达式为 y=−x2+（2a−d−2）x+2（2a−d） ．∵A 、 B 两点在二次函数的图象上，∴点 A 的坐标为 （a，a2−ad+2a−2d） ，点 B 的坐标为 （a+2，a2+2a−4d−8−ad） ．∵在 y1=kx+b 中， y1 随 x 的增大而减小， a
（2）解： AB//x 轴．理由如下：
当 d=−4 时， A（a，a2+6a+8），B（a+2，a2+6a+8） ．
∵a≠−2 、 a≠−4 ，
∴A 、 B 两点的纵坐标相等且不为0．
∵横坐标不等，
∴AB//x 轴．
（3）解：当点 A 运动到 y 轴上时， a=0 ，∴点 A 的对应点 C 的坐标为 （0，−2d） ，
当点 B 运动到 y 轴上时， a=−2 ，∴点 B 的对应点 D 的坐标为 （0，−2d−8） ，∴|CD|=|−2d−（−2d−8）|=8 ，∴CD 的长不变
10．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
a+b=−19a+3b=−1 ，
解得： a=13b=−43 ，
故抛物线解析式为y= 13 x2﹣ 43 x
（2）解：∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，﹣1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是 12 OP= 12 ×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）
（3）解：如图，点Q与点A重合时，
OP=1×2=2，t=2÷2=1，
点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，
所以，分三种情况讨论：
①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，S= 12 ×（2t）× 2t2 =t2，
②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，
S=S△OP′Q′﹣S△AEQ′= 12 ×（2t）× 2t2 ﹣ 12 ×（ 2 t﹣ 2 ）2=2t﹣1；
③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积
S=S梯形OABC﹣S△BGF= 12 ×（2+3）×1﹣ 12 ×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+ 52 ；
所以，S与t的关系式为S= t2(0
解得m1=m2=-1，
∴m=-1；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴直线x=m关于y轴的对称的直线为x=-m，
∵当 −2⩽x⩽−1 时，图象G的函数值y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，
∴−m<−1−m>−2 ，
解得1
∴当x=2m时，抛物线在x≤2m的部分有最高点，
∴y=−12⋅(2m)2+m⋅2m+m=m ，
∴最高点的坐标为（2m，m），
∴|m−(−12)|=1 ．
解得 m=12 (不合题意，舍去)或 m=−32 ；
当m>0时，对称轴为 x=m ，抛物线在x≤2m的部分的最高点坐标为 (m，12m2+m) ．
∴|12m2+m−(−12)|=1 ．
解得 m=2−1 或 m=−2−1 (舍去)，
综上所述，当m的值为 −32 或 2−1 时，抛物线在x≤2m的部分图象的最高点到 y=−12 的距离为1；
（4）解：∵AB⊥ x 轴，
∴xB=1 代入 y=−12x2+mx+m =2m−12 ，
∴AB=2m，BC= 13 AB= 23 m，
∴C(1， 83m−12 )， yE=−12 ， xE=1+AB=1+2m ，
∴E( 1+2m ， −12 )，
当抛物线的顶点在矩形的边AC上时，
∴x=m=1 ，最大值为 y=−12+1+1=32 ，
∴y=−12x2+x+1 ，
∴E( 3 ， −12 )，即最小值为 −12 ，
∴最大值与最小值的差为 32−(−12)=2 ．
当抛物线的顶点在矩形的边CD上时，顶点坐标为( m ， 12m2+m )，
依题意得： 83m−12=12m2+m ，整理得 3m2−10m+3=0 ，
解得 m=13 或 m=3 ，
当 m=13 时，顶点坐标为( 13 ， 718 )，
∵13<1 ，
则抛物线的顶点不在矩形的边CD上，不符合题意，舍去；
当 m=3 时，顶点坐标为(3， 152 )，即最大值为 152 ，
E(7， −12 )，即最小值为 −12 ，
最大值与最小值的差为 152−(−12)=8 ；
当抛物线的顶点在矩形的边DE上时，
则 m=1+2m ，
解得 m=−1 ，不符合题意，
综上，最大值与最小值的差为2或8．
12．【答案】（1）解：令y＝0，则 12x2－2x－6＝0，
∴x1＝－2，x2＝6
∴A（－2，0），B（6，0）
令x＝0，则y＝－6，
∴C（0，－6）
设直线BC的表达式为y＝kx＋b
将B（6，0），C（0，－6）代入，得
6k+b=0b=−6
解得 k=1b=−6
∴直线BC的表达式为y＝x－6；
（2）解：设P（m，0），则E（m，m－6），D（m， 12m2－2m－6）
∴DE＝m－6－（ 12m2－2m－6）＝－ 12m2＋3m
PE＝0－（m－6）＝－m＋6
当DE＝2PE时，－ 12m2＋3m＝2（－m＋6），
解得m1＝4，m2＝6（舍去）
∴P（4，0）
∴DE=－ 12 ×42+3×4=4；
（3）解：存在，点Q的坐标为：Q1（4，2），Q2（4，18），Q3（4，6）
13．【答案】（1）解：把y=0代入直线的解析式得：x+1=0，解得x=﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴B的坐标为（3，0）．
将x=0代入抛物线的解析式得：y=﹣3，
∴C（0，﹣3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入得：﹣3a=﹣3，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）解：如图1所示：连结OP．
将x=0代入直线AD的解析式得：y=1，
∴OD=1．
由题意可知P（t，t2﹣2t﹣3）．
∵四边形DCPB的面积=△ODB的面积+△OBP的面积+△OCP的面积，
∴S= 12 ×3×1+ 12 ×3×（﹣t2+2t+3）+ 12 ×3×t，整理得：S=﹣ 32 t2+ 92 t+6．
配方得：S=﹣ 32 （t﹣ 32 ）2+ 758 ．
∴当t= 32 时，S取得最大值，最大值为 758 ．
（3）解：如图2所示：
设点D′的坐标为（a，a+1），O′（a，a）．
当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=1：2时，则O′E：EB′=1：2．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=1．
∴E（a+1，a）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+1）2﹣2（a+1）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= 1+172 或a= 1−172 ．
∴O′的坐标为（ 1+172 ， 1+172 ）或（ 1−172 ， 1−172 ）．
∴OO′= 2+342 或OO′= 34−22 ．
∴△DOB平移的距离为 2+342 或 34−22 ．
当△D′O′E的面积：D′EB′的面积=2：1时，则O′E：EB′=2：1．
∵O′B′=0B=3，
∴O′E=2．
∴E（a+2，a）．
将点E的坐标代入抛物线的解析式得：（a+2）2﹣2（a+2）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= −1+132 或a= −1−132 ．
∴O′的坐标为（ −1+132 ， −1+132 ）或（ −1−132 ， −1−132 ）．
∴OO′= −2+262 或OO′= 2+262 ．
∴△DOB平移的距离为 −2+262 或 2+262 ．
综上所述，当△D′O′B′沿DA方向平移 2+342 或 2+262 单位长度，或沿AD方向平移 34−22 或 −2+262 个单位长度时，ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1：2两部分．
14．【答案】（1）解：∵令x=0得：y=3，
∴点C的坐标为(0，3)，
∴OC=3．
∵tan∠CAB=3，
∴OCOA=3，即3OA=3，
∴OA=1．
∴点A的坐标为(−1，0)．
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点B的坐标为(3，0)．
将A(−1，0)，B(3，0)代入得：a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1，b=2，
∴抛物线的解析y=−x2+2x+3．
将x=1代入得：y=−1+2+3=4．
∴点D的坐标为(1，4)．
将(1，4)代入反比例函数的解析式得：4=k1，
解得：k=4．
∴反比例函数的解析式为y=4x．
（2）解：如图1所示：连接BC，过点P作PE⊥AB，交BC于点E．
∵AB=4，OC=3，
∴S△ABC=12AB×OC=12×4×3=6．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将(3，0)、(0，3)代入得：3k+b=0，b=3，
解得b=3，k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
设点P的坐标为(x，−x2+2x+3)，则E点的坐标(x，−x+3)．
∴PE=−x2+3x，
∴S△PBC=12PE⋅OB=12×3×(−x2+3x)=32x2+92x．
∴S四边形ABPC=−32x2+92x+6=−32(x−32)2+758，
将x=32代入抛物线的解析式得：y=154，
∴P点坐标(32，154)，S四边形ABPC最大值=758．
（3）解：如图2所示：连接BC，过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∵QB=QC，
∴点Q在BC的垂直平分线上．
∵OE⊥BC，OB=OC，
∴EC=BE，
∴OE是BC的垂直平分线，
∴点Q在OE上，
∵OE垂直平分BC，
∴直线OE的解析式为y=x．
将y=x与y=4x联立得y=xy=4x，
解得x=2y=2或x=−2y=−2
∴点Q的坐标为(2，2)或(−2，−2)，
将y=x与y=−x2+2x+3联立得y=xy=−x2+2x+3，
解得：x=1+132y=1+132或x=1−132y=1−132，
∴点Q的坐标为(1+132，1+132)或(1−132，1−132)．
综上所述，点Q的坐标为(2，2)或(−2，−2)或(1+132，1+132)或(1−132，1−132)．
15．【答案】（1）解：y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，
令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝ 32 或﹣1，
故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）
（2）解：函数的对称轴为：x＝ −−a2×2a=14 ，
设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（ 14 ，0），
则由勾股定理得CM＝ (14−1)2+(0+3)2=134 ，
则AB＝2CM＝ 132 ，
∴AM=BM=134
则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（ 72 ，0）；
将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，
解得：a＝ 16 ，
函数的表达式为：y＝ 16 （x+3）（x﹣ 72 ）＝ 16 x2﹣ 112 x﹣ 74
（3）解：过点E作EF⊥PH于点F，
设：∠ABC＝α，则∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，
设直线BC的解析式为 y=kx+b
将点B、C坐标代入一次函数表达式
得 72k+b=0−k+b=−3 解得： k=23b=−73
∴直线BC的表达式为： y=23x−73 ，
设点P（h， 16ℎ2−112ℎ−74 ），则点D（h， 23ℎ−73 ），
故tan∠ABC＝tanα＝ 23 ，则sinα＝ 21313 ，
yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinα•sinα，
S＝S△ABE﹣S△ABD
＝ 12 ×AB×（yD﹣yE）
＝ 12×132×413(23ℎ−73−16ℎ2+112ℎ+74)
=−16ℎ2+34ℎ−712
=−16(ℎ−94)2+2596
∵﹣ 16 ＜0，
∴S有最大值，当h＝ 94 时，S的最大值为： 2596 ，此时点P（ 94,−3532 ）．
16．【答案】（1）解：∵ 抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于A(−2，0)、B(5，0)两点，
所以可得抛物线为：y=−12(x+2)(x−5)=−12(x2−3x−10)=−12x2+32x+5
（2）解：如图，过P作PH⊥OB于H， 连AP交OC于E，
则OE∥PH，P[t，−12(t+2)(t−5)]，H(t，0)，
∴△AOE∽△AHP，
∴AOAH=OEPH，
∵A(−2，0)，
∴2t+2=OE−12(t+2)(t−5)，
∴OE=−t+5，
∵y=−12x2+32x+5，
令x=0， 则y=5，
∴C(0，5)，
∴d=CE=5−(−t+5)=t，
（3）解：如图，过P作PK⊥y轴于K， 过M作MN⊥AP于N，
由（2）得：CE=OH=t，OC=OB=5，
∴OE=BH，
∵ CM+BH=MO，CM=EW，
∴CM+OE=ME+OE，
∴CM=ME=EW，
∵PK⊥y轴，则PK∥x轴，
∴∠BAP=∠KPE，
∵ ∠CPM=∠BAP，
∴∠CPM=∠KPN，
∴∠CPK=∠MPN，
∴tan∠CPK=tan∠MPN， 即CKPK=MNPN，
结合（1）可得：四边形PHOK为矩形，
∵A(−2，0)，P(t，−12t2+32t+5)，H(t，0)，
∴OA=2，OH=PK=t，PH=OK=−12t2+32t+5，CM=ME=EW=12t，
CK=5−(−12t2+32t+5)=12t2−32t，
∴CKPK=12t2−32tt=12t−32，
∵sin∠MEN=sin∠AEO， 设a=AE=4+(5−t)2，
∴2a=MN12t，
∴MN=ta，
∵cos∠AEO=cos∠MEN，
∴(5−t)a=EN12t，
∴EN=t(5−t)2a，
由CM=ME，
∴12CM·PK=12PE·MN，
∴PE=12at，
∴PN=PE−EN=12at−t(5−t)2a，
∴MNPN=ta÷(12at−5t−t22a)=2a2−5+t=2t2−9t+24，
∴t−32=2t2−9t+24，
整理得：(t−4)(t2−8t+19)=0，
∴t−4=0或t2−18t+19=0，
解得：t=4， （方程t2−18t+19=0无解），经检验符合题意，
∴P(4，3)，OE=1，EW=12×4=2，
∴OW=1，W(0，−1)，
设PW为：y=mx+n，
∴4m+n=3n=−1
解得：m=1n=−1，
∴ PW为：y=x−1，
∴y=x−1y=−12x2+32x+5
解得：x1=4y1=3或x2=−3y2=−4
∴Q(−3，−4).
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