2023年初中学业水平考试模拟摸底卷(山西卷）（含答案）

这是一份2023年初中学业水平考试模拟摸底卷(山西卷）（含答案），共40页。
2023年度初中学业水平考试模拟摸底卷(山西卷）
数学
注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟．
2．本试卷采用网阅形式阅卷，请将答题信息与答题过程在配套的答题卡上完成，试卷上答题无效．
3．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在本试卷配套答题卡的相应的位置里．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.下列各数中，是负数的是（ ）
A. B .0 C. -1 D---35.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）

A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
4.从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
6.如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（ ）

A. B.
C. D.
7. 在中，，，，过点作直线，将绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点恰好落在直线m上，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
8.夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）

A. B. C. D.
9.如图，在中，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和D，分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交AB于点E，若，则的长度为（ ）

A. 3 B. C. D. 2
10. 如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.分解因式：=______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____．

13. 某校七年级篮球联赛，每个班分别要比赛36场，积分规则是：胜1场计2分，负1场计1分.七（1）班和七（2）班为争夺一个出线名额，展开激烈竞争.目前七（1）班的战绩是17胜13负积47分，七（2）班的战绩是15胜16负积46分.则七（1）班在剩下的比赛中至少需胜_________场可确保出线.
14.如图，在平行四边形中，，若，则的面积为______．

15.如图，在等边中，，为的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.(每小题5分，共10分）
（1）计算：

（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．

解：－2第一步，
2x－1＝3（x－1）－2 第二步，
2x－1＝3x－3－2 第三步，
－x＝－4第四步，
x＝4 第五步，
经检验 x＝4 是原方程的根第六步，
任务一：以上解方程步骤中，第______是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17. （7分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴　 　，（ 　 　）（填推理的依据）
∴，
∴（ 　 　）（填推理的依据）

(3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
18.（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？

19.（8分）晋剧（山西梆子）是我国北方的一个重要戏剧剧种，也叫中路戏，是国家级非物质文化遗产.今年我省推出文化下乡活动。某校在传统文化活动周期间拟向同学们推介晋剧，并就“你想要听哪部晋剧曲目”调查了部分学生，选择曲目有：A.《打金枝》，B.《战宛城》，C.《杀宫》，D.《火焰驹》，E，《双锁山》，每个学生只能选择一部，根据统计结果绘制了如下不完整的统计图.

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，扇形的圆心角是多少度？
（3）若该校共有2000名学生，请你估计想听《战宛城》的学生有多少人？
（4）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到想听《火焰驹》的学生的概率是多少？
20.（8分）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则．
证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，
∴，即．
……

任务：

(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．
①与的位置关系是 　 　．
②求的长．
21.（本题9分）如图是小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内.

（1）求的高度；（结果精确到个位，参考数据：）
（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6，上坡速度为4，电梯速度为1.25，等候电梯及上、下乘客所耽误的时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
22.（12分）综合与实践
问题情境
如图1，已知线段，射线，射线，点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接，将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接．

探究展示：
（1）当时，求的值；
（2）如图2，延长交于点G，当点G恰好是中点时，求证：四边形是正方形；
拓展探究：
（3）在图2中，若，直接写出的长度．
23.(13分)如图1，已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为A，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点E是的三等分点时，求此时点M的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于A，F两点，，若点Q是轴上一点，且，请直接写出点Q的坐标．


第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.下列各数中，是负数的是（ ）
A. B .0 C. -1 D---35.
【答案】C
【解析】|-5|=5是正数，A错误， 0既不是正数也不是负数，B错误。C-1是负数，
—-35.=35正数。所以选C。
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的运算法则，合并同类型法则即可判断．
【详解】故此选项不符合题意．
故此选项不符合题意．
故此选项不符合题意．
正确，故此选项符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，合并同类型法则，熟练掌握幂的运算法则，合并同类型法则是解此题的关键．
3.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）

A. 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
【答案】C
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图即可判断.
【详解】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴该几何体是一个圆柱体；
故选C．
【点睛】此题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟知简单几何体的三视图.
4.从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m，n，那么点在反比例函数图象上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点坐标特征可得出，列表或画树状图找出所有的值，然后根据概率公式分析求解．
【详解】解：∵点在反比例函数图象上，
∴．
画树状图如下：

共6种等可能结果，其中符合题意的有2种，
∴点在反比例函数图象上的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，掌握反比例函数图像上点的坐标特征及概率的概念是解题的关键．
5.如图，为的直径，，C、D为上两点，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图：连接，根据直径所对的圆周角为可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据正弦的定义列式求解即可．
【详解】解：如图：连接
∵为的直径，
∴
∵，
∴
∴,,解得：．
故选B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、正弦的定义等知识点，掌握“直径所对的圆周角为”和“同弧所对的圆周角相等”是解答本题的关键．
6.如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设与x轴交于点C，利用勾股定理求出长，根据点所在象限写出坐标．
详解】解：设与x轴交于点C，
∵，轴，
∴,
∴，
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为

故选A．
【点睛】本题考查勾股定理，点的坐标，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
8. 在中，，，，过点作直线，将绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点恰好落在直线m上，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理可求出，再根据旋转的性质可求出．由平行线的性质可知，．又可求出，由特殊角的三角函数值得出，从而得出．
【详解】由题意可求出在中，．
由旋转的性质可知，
，
，．
又，
∴，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值．熟练掌握上述知识点并利用数形结合的思想是解题关键．
8.夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得．
【详解】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，
则这组数据的众数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数，熟记定义是解题关键．
9.如图，在中，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和D，分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交AB于点E，若，则的长度为（ ）

A. 3 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本作图可知，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由作法得，
∴，
∵
∴，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，作图-作垂线，以及勾股定理，得出是解答本题的关键．
10. 如图，在边长为4的正六边形中，先以点B为圆心，的长为半径作，再以点A为圆心，的长为半径作交于点P，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，连接、，过点P作，上任取一点M，
由题意可知：，
是等边三角形，，
，
∴在中，，
，
，
，
，
，
∵六边形是正六边形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．



【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质和判定、三角函数值和正多边形的内角和，熟练运用扇形的面积公式是解题的关键．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
三、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.分解因式：=______．
【答案】a（b+1）（b﹣1）
【解析】
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）
【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____．

【答案】12
【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=中，即可求出k的值．
【详解】∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4
∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4,CD=2,且AD//x轴
∴点C的坐标为（6，2），
∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上，
∴k=2，
故答案为12．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15. 某校七年级篮球联赛，每个班分别要比赛36场，积分规则是：胜1场计2分，负1场计1分.七（1）班和七（2）班为争夺一个出线名额，展开激烈竞争.目前七（1）班的战绩是17胜13负积47分，七（2）班的战绩是15胜16负积46分.则七（1）班在剩下的比赛中至少需胜_________场可确保出线.
【答案】4
【分析】由题意可知，七（1）班还剩6场比赛，七（2）班还剩5场比赛，七（2）班最多能够得56分，七（1）班要想出线，得分必须超过56分，设七（1）班在剩下的比赛中需胜x场，由此列出不等式，解不等式即可求解.
【详解】由题意可知，七（1）班还剩6场比赛，七（2）班还剩5场比赛，七（2）班最多能够得：46+2×5=56（分），七（1）班要想出线，得分必须超过56分，设七（1）班在剩下的比赛中需胜x场，则七（1）班的总得分为：[47+2x+（6-x）]分，
∴47+2x+（6-x）＞56，
解得，x＞3，
∵x取整数，
∴x最小为4，
即七（1）班在剩下的比赛中至少需胜4场可确保出线.
故答案为4.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意得到七（1）班要想出线得分必须超过56分是解决问题的关键.
14.如图，在平行四边形中，，若，则的面积为______．

【答案】16
【解析】
【分析】根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为16．
【详解】∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了利用相似比求面积，理解相似比的特征是解决本题的关键．
15.如图，在等边中，，为的中点，连接，将绕着点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，

在等边中，，为的中点，
∴，，
∴，
∵将绕着点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.(每小题5分，共10分）
（1）计算：

【答案】（1）
【分析】（1）根据零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算进行计算即可求解；
【详解】解：（1）

；
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．

解：－2第一步，
2x－1＝3（x－1）－2 第二步，
2x－1＝3x－3－2 第三步，
－x＝－4第四步，
x＝4 第五步，
经检验 x＝4 是原方程的根第六步，
任务一：以上解方程步骤中，第______是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】
（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了；任务二：；任务三：答案不唯一，如：括号前面是“”，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方程的区别等．
（2）根据分式方程的解法来进行计算求解．
【详解】解：（1）原式
（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了
任务二：将变形得
，
去分母得
，
去括号得
，
移项并合并同类项得
，
解得，
经检验是原分式方程的根，
∴原分式方程的解是；
任务三：答案不唯一，如：括号前面是“”，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方程的区别等．
【点睛】本题考查了实数的混合运算运算、分式方程的解法．理解负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式，特殊角的三角函数值和分式方程的解题步骤是解答关
18. （7分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴　 　，（ 　 　）（填推理的依据）
∴，
∴（ 　 　）（填推理的依据）

(3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．
【答案】(1)见解析
(2)；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
(3)能，作法与图形见解析

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法：分别以点、点为圆心，以大于长为半径，在线段两侧画弧，交线段两侧于两点，连接两交点，交于点，据此作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形外角的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（3）以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求；根据等边对等角，得出，进而即可得出．
【详解】（1）解：补全的图形如图所示；

（2）证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴，
∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴．
故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
（3）解：能．以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点D，则点D即为所求．

∵，
又∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了尺规作图能力以及线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键．
18.（8分）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】（1）
（2）12元
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式．
（2）根据总利润=每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据利润公式准确列出方程．
19.（8分）晋剧（山西梆子）是我国北方的一个重要戏剧剧种，也叫中路戏，是国家级非物质文化遗产.今年我省推出文化下乡活动。某校在传统文化活动周期间拟向同学们推介晋剧，并就“你想要听哪部晋剧曲目”调查了部分学生，选择曲目有：A.《打金枝》，B.《战宛城》，C.《杀宫》，D.《火焰驹》，E，《双锁山》，每个学生只能选择一部，根据统计结果绘制了如下不完整的统计图.

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，扇形的圆心角是多少度？
（3）若该校共有2000名学生，请你估计想听《战宛城》的学生有多少人？
（4）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到想听《火焰驹》的学生的概率是多少？
【答案】（1）补图见解析；（2）54°；（3）500人；（4）
【分析】(1)根据E的特征,结合两种统计图求出总人数,进而求出B,D组对应的人数即可;
(2)先求出A组所占的百分比,再乘以360°即可;
(3)用2000乘以B组所占百分比即可;
(4)根据概率=D组人数÷总人数即可解题.
【详解】解：（1）补全条形统计图如解图；

调查学生的总人数为（人），选择B的人数为（人），选择D的人数为（人），据此补全条形统计图.
（2）选择A的人数所占百分比为，
扇形所对应扇形的圆心角度数为.            
（3）（人），
估计想听《战宛城》的学生有500人；                       
（4）共有80人，其中想听《火焰驹》的有16人，
（正好抽到想听《火焰驹》的学生）,
随机抽取一人正好抽到想听《火焰驹》的学生的概率是
【点睛】本题考查了统计与概率,用样本信息估计总体信息,属于简单题,找到两种统计图之间的信息关联是解题关键,主要失分原因是: ①找不到扇形统计图和条形统计图中的对应关系；②补全条形统计时作图不规范；③在计算概率时发生错误.
20.（8分）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则．
证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，
∴，即．
……

任务：

(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．
①与的位置关系是 　 　．
②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①平行；②
【分析】（1）先根据切线的性质和圆周角定理证得，进而证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）根据圆周角定理证得，根据平行线的判定即可得出结论；
（3）连接，根据已知和（1）中结论和求得，，再利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，
∴，即．
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∴，
故答案为：平行；
②如图3，连接，
∵与相切，为割线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理可知，，
∴，即，
∴，
由（1）中证明过程可知，又，
∴，
∴，即
∴．

【点睛】本题考查圆的切线和割线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质探究线段间的数量关系是解答的关键．
21.（本题9分）如图是小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内.

（1）求的高度；（结果精确到个位，参考数据：）
（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6，上坡速度为4，电梯速度为1.25，等候电梯及上、下乘客所耽误的时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
【解析】
（1）如图，作于点F，作，交的延长线于点G，

得矩形，
∴，， 2分
根据题意可知：米，，米，，
∴米， 3分
∴米，
∴米，
∴米， 4分
∴（米）， 5分
答：的高度约为85米； 6分
（2）根据题意得：（秒）， 8分
5分秒，∵，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆. 9分
22.（12分）综合与实践
问题情境
如图1，已知线段，射线，射线，点D在射线上沿着的方向运动，过点D作交于点C，点E是的中点，连接，将沿着BE折叠，点A的对应点为点F，连接．

探究展示：
（1）当时，求的值；
（2）如图2，延长交于点G，当点G恰好是中点时，求证：四边形是正方形；
拓展探究：
（3）在图2中，若，直接写出的长度．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，可得，由，，可得为等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半解题即可；
（2）先推导，则有，代入可求长，即可证明结论；
（3）过F点作交，于点P，Q，在中求出，然后利用求出，利用相似求出，长，然后利用勾股定理解题即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴是矩形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，
又∵
∴
∴
由翻折可得：，，
又∵
∴
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
在中
，
【小问2详解】
证明：由（1）可知四边形是平行四边形
∴
∵点G为的中点
∴
由折叠可知：
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵E为的中点
∴
∴
∴
∴
∴四边形为正方形
【小问3详解】
解：过F点作交，于点P，Q，
则为矩形，
∴，
在中，
，
又∵,
即
解得：，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
在中，
．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定，勾股定理等知识，能综合运用以上性质和判定方法是解题的关键．
23.(13分)如图1，已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为A，点M是直线上方抛物线的一动点，过点M作轴，交于点E．

（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）当点E是的三等分点时，求此时点M的坐标；
（3）如图2，直线与抛物线交于A，F两点，，若点Q是轴上一点，且，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
（3）或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法分别求解抛物线的解析式和直线的解析式即可；
（2）设点，则点，则，，分和两种情况列方程并分别解方程即可得到答案；
（3）先求出点A的坐标，用待定系数法求出直线的解析式为，再求出点，设点，作于点N，进一步利用解直角三角形知识和两点间距离公式列方程，解方程得到p的值，即可得到点Q的坐标．
【小问1详解】
解：将，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
∵直线经过点，，
∴设直线的解析式，
将，代入得：，
得．
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
设点，则点，
则，
，
当时，
，
解得（不合题意，舍去），
当时，，
∴点M的坐标是，
当时，
，
解得（不合题意，舍去），，
当时，，
∴此时点M的坐标是，
综上可知，点M的坐标为或；
小问3详解】
∵当时，，
解得，
∴；
设直线的解析式为，把，代入得到，
，
得．
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点，
设点，作于点N，

则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、解直角三角形、解一元二次方程等知识，数形结合并准确计算是解题的关键