2023年广西南宁市宾阳县中考数学一模试卷

2023年广西南宁市宾阳县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于年月日返回地球，结束了天的在轨飞行时间．从年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有位航天员出征太空，绕地球飞行共约亿公里．将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列成语所描述的事件是必然事件的是(    )

A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥

7.  如图，三角板的直角顶点落在长方形纸片的一边上．若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某校安排三辆车，组织九年级学生团员到“夕阳红”敬老院参加三月学雷锋活动，其中小王与小明都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小明同车的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  九章算术中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则可建立方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，四边形为矩形纸片，把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为，若，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，点、为反比例函数图象上的点，过点，分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点恰好为的中点，当的面积为时，的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共10.0分）

13.  因式分解：______．

14.  若关于的一元二次方程有相等的两个实数根，则的值为        ．

15.  如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是        ．

16.  如图，是河堤横断面的迎水坡，其中河堤的高米，米，则斜坡的坡度即的值为        ．

17.  在平面直角坐标系中，记直线为，点是直线与轴的交点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，作射线
交直线于点，以为边作正方形，使点落在轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形，则点的坐标是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出向下平移个单位长度后得到的；
请画出关于轴对称的．

21.  本小题分
年是中国共产主义青年团建团周年某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，八、九年级各有名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了名学生的成绩进行调查分析下面给出了部分信息：
八年级学生的成绩整理如下单位：分：
                  
                  
九年级成绩的频数分布直方图如下数据分成四组：，，，：
期中成绩在的数据如下单位：分：                   
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据所给信息，解答下列问题：

       ，        ；
若成绩达到分及以上为优秀，估计九年级此次测试成绩优秀的总人数；
哪个年级学生的整体成绩比较好？至少从两个不同的角度说明合理性

22.  本小题分
综合与探究
问题提出：某兴趣小组在综合与实践活动中提出这样一个问题：在等腰直角三角板中，，，为的中点，用两根小木棒构建角，将顶点放置于点上，得到，将绕点旋转，射线，分别与边，交于，两点，如图所示．

操作发现：如图，当，分别是，的中点时，试猜想线段与的数量关系是        ；
类比探究：如图，当，不是，的中点，但满足时，求证≌；
拓展应用：如图，将两根小木棒构建的角，放置于边长为的正方形纸板上，顶点和正方形对角线的中点重合，射线，分别与，交于，两点，且满足，请求出四边形的面积．

23.  本小题分
某文体店在开学来临之际购进，两类足球销售，已知每个类足球的进价比类足球的进价高元，用元购进的类足球和用元购进的类足球数量相等．
求每个类足球和类足球的进价分别是多少元？
该商店计划用元购进一批类足球和类足球，该文体店类足球每个售价为元，类足球每个售价元，设销售总利润为元，若要求购进的类足球数量不少于类足球数量，问如何进货可使总利润最大．

24.  本小题分
如图，直线与相离，于点，与相交于点，是直线上一点，连接并延长，交于点，且．

求证：是的切线；
若，求线段的长．

25.  本小题分
二次函数的图象与轴交于、两点点在点左侧，与轴交于点，顶点为．
求这个二次函数的表达式；
如图，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；
如图，是该二次函数图象上的一个动点，连接，连接、、当，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中心对称图形的概念．特别注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【解答】
解：、、都不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向上平移个单位后的抛物线顶点坐标为，
新抛物线解析式为．
故选：．
抛物线的顶点坐标为，向上平移个单位后，得到的抛物线顶点坐标为，利用顶点式求出新抛物线解析式．
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，求出新抛物线解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：移项得：，
解得：．
．
故选：．
不等式移项，合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、水中捞月，是不可能事件，故不符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，故不符合题意；
C、水涨船高，是必然事件，符合题意．
D、画饼充饥，是不可能事件，故不符合题意．
故选：．
必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可解决．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

7.【答案】 

【解析】解：

，，
，
由题意得纸片的对边平行，
，
故选：．
根据平角的定义，得到，求出，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求出的度数；
此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、与不能合并，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：．
根据合并同类项法则，可判断和；根据积的乘方和幂的乘方，可判断和．
本题考查了合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方，根据法则计算是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设辆车分别为，，，

共有种情况，在同一辆车的情况数有种，
所以坐同一辆车的概率为，
故选：．
列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设甲的钱数为，人数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：设甲的钱数为，乙的钱数为，
依题意，得：．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了折叠的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，掌握这些性质是关键．
先根据折叠的性质得到，，再由是的中点可求出的长，再求出的度数，设，则，在中利用勾股定理即可求解．
【解答】
解：由折叠的性质得，，
因为，为中点，
所以，
因为，
所以，
则，
设，
则，
在中，
，
，
，舍去，
，
故选A．  

12.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的直径，与相切于点，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知：，
，
故答案为：．
根据勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：把代入直线，可得：，
所以可得：点的坐标是
把代入直线，可得：，
所以可得：点的坐标是，
同理可得点的坐标是；点的坐标是；
由以上得出规律是的坐标为，
所以点的坐标是
故答案为：
根据一次函数的性质得出、等点的坐标，继而得知、等点的坐标，从中找出规律，求出点的坐标，进而得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点及正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的点的坐标计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
当时，
原式

． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算以及加减运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求．
 

【解析】利用平移的性质得出对应顶点的位置，进而得出答案；
利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查平移变换，得出对应点位置是解题关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意可知，八年级分的人数最多，有个，故众数为，即，
九年级中，成绩排在中间的两个数是和，中位数为：分，即，
故答案为：，；
人中，优秀的人数有人，占比为，
故九年级优秀的人数：人；
九年级的整体成绩比较好，由表可知：
九年级的平均分为：，八年级的平均分为：，
，
九年级的中位数为：，八年级的中位数为：，
，
综合比较，九年级的整体成绩比较好．
根据众数和中位数的定义可得出答案；
求出样本中优秀人数占的比例，再由九年级总人数乘以占比即可得到答案；
可由平均数和中位数两方面比较．
本题考查频数分布直方图，熟练掌握用样本估计总体的方法本题的关键．
 

22.【答案】相等 

【解析】解：与的数量关系是：相等，理由：
当点、、分别是、、的中点时，
则，且，
同理可得：，
即，
故答案为：相等；

证明：点是的中点，
，，
，
≌；

解：如下图，连接，

由题意知，点是正方形对角线的交点，
，，
，
≌，
和面积相等，
则的面积



．
当点、、分别是、、的中点时，则，且，同理可得：，即可求解；
点是的中点，则，，即可求解；
证明≌，则的面积，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每个类足球元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
元，
答：每个类足球元，每个类足球元；
设购进类足球个，
根据题意，得，
解得，
，
解得，
，为正整数，
，
，
随着的增大而减小，
当取得最小值时，取得最大值，此时购进类足球个，类足球个． 

【解析】设每个类足球元，根据用元购进的类足球和用元购进的类足球数量相等，列分式方程，求解即可；
设购进类足球个，根据购进的类足球数量不少于类足球数量，列一元一次不等式，求出的取值范围，再用表示出的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定利润最大时的进货方案．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，则，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
如图，过点作于，

，
设，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题关键．
连接，由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论；
过点作于，设，，由勾股定理可求，，由勾股定理可求的长，通过证明∽，可求的长，由等腰三角形的性质可求的长．
 

25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

连接，，如图：

在二次函数中令得，
，
二次函数的对称轴为，
设，
而，
点在线段的垂直平分线上有，故CD，
，
解得：，
满足条件的点的坐标为：或；

当点在对称轴的右侧时，

由抛物线的表达式知，点，
设点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
过点作直线，
则直线的表达式为：，
当时，，即点，
，
则，
即，
解得：，即点；
当点在对称轴的左侧时，
同理可得：点，
综上，点的坐标为或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由点在线段的垂直平分线上有，得到，即可求解；
当点在对称轴的右侧时，过点作直线，由，则，即可求解；当点在对称轴的左侧时，同理可解．
本题考查二次函数综合应用，涉及到平行线的性质、面积的计算、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中．