2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（甲卷理科）（参考答案）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

理科数学·参考答案

13．-3        14.2      15.      16.

17．(12分）

【详解】（1）解：因为，①

则当时，，即，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

当时，，②

①②得，所以，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

也满足，故对任意的，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）证明：，。。。。。。。。。。。。8分

所以

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

，

，即结论成立.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18．(12分）

【详解】（1）由图1知，“年轻人”占比为，即有人），“非年轻人”有200人

由图2知，“经常使用直播销售用户”占比为，即有（人），“不常使用直播销售用户”有（人）.

“经常使用直播销售用户中的年轻人”有（人），“经常使用直播销售用户中的非年轻人”有120-人.

∴补全的列联表如下：

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

零假设：经常使用网络直播销售与年龄相互独立，即经常使用网络直播销售与年龄无关.

于是.

∴..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

根据小概率的独立性检验，我们推断成立，

即认为经常使用网络直播销售与年龄无关.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）若按方案一，设获利万元，则可取的值为，则的分布列为：

万元.

.（或.）。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

若按方案二，设获利万元，则可取的值为，则的分布列为：

万元，

106900.

（或.）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

∵.                                              12分

①方案一与方案二的利润均值差异不大，但方案二的方差要比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一线下销售更稳妥，故选方案一.

②方案一的利润均值低于方案二，选择方案二.

19(12分）

【详解】（1）垂直于圆锥的底面，在圆锥的底面，

，

当时，且BC=3CA，则，，

又平面，

平面，

又平面，平面平面；.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）由题可知，且轴截面为等腰直角三角形，，，

当三棱锥的体积最大时，△的面积最大，此时为弧的中点，

如图，以点为坐标原点，过点且垂直的直线为轴，，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

设平面的法向量为，

则，即，令，则，，

，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

设平面的法向量，

则，即，令，则，，，

则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分

由图可知该二面角为钝角，

二面角的余弦值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

20．(12分）

【详解】（1）由抛物线即可得焦点坐标为，

椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点，

设椭圆方程为，

则由，解得，

故椭圆的方程为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）设，，

①直线的方程为，

代入中，整理得，

，解得，，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

四边形的面积，

当时，，

所以四边形面积的最大值为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

②当，运动时，满足直线、与轴始终围成一个以底边在轴的等腰三角形，则、的斜率之和为，设直线的斜率为，则的斜率为，

的直线方程为，

代入中整理得：，

，同理，

则，，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

从而，即直线的斜率为定值．.。。。。。。。12分

21．(12分）

【详解】（1）

当，，在上单调递减，不可能两个零点；

当时，令得

，，单调递增，，，单调递减，。。。。。。。。2分

∵，；；，

∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意，

综上：；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）先证右边：令则，

∴，，单调递增，，，单调递减，

∴的最大值为，∴，即，

∴且，

∴，又∵，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

∴；

再证左边：曲线在和处的切线分别是

联立两条切线得，∴，

由题意得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分

要证，即证，即证，即证，

令，即证，

令，

，∴在单调递减，∴，

∴得证.

综上：.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

22．(10分）

【详解】（1）由曲线C的极坐标方程得，

化为直角坐标方程为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

又由直线l的参数方程得直线，

所以直线l的极坐标方程为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，，

整理可得，.

设点对应的参数分别为，则是方程的两个根.

由韦达定理可得，.

所以，..。10分

解法二：联立直线与曲线的方程可得，，

解得，.

代入可得，，.

不妨设，，则，.

所以，. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

23．(10分）

【详解】（1）当时，，

所以当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为或.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）证明：当时，，

所以当时，取得最大值，且.

要使函数的图象恒在图象的上方，由数形结合可知，必须满足，即，

原不等式得证.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分