专题1.32 证明三角形全等作辅助线方法-作垂线（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.32 证明三角形全等作辅助线方法-作垂线

（专项练习）

一、单选题

1．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题

2．如图，中，，则点B的坐标为________．

三、解答题

3．如图，在中，，，，，延长交于.求证：.

4．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.

5．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

6．如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.

求证：BF＝AC．

7．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

8．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．

（1）求证：△EAF≌△DAF；

（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．

9．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．

求证：AB＝CD．

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．

（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．

①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；

②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．

（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．

参考答案

1．B

【分析】

①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得

解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，

AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC

同理可得

又

故①正确

②如图，延长至，使，连接

，

如图，取的中点，连接并延长至，使得，

是的中点，

，

，

又

③如图，由①可知，故不一定等于

故③不正确

④如图，由②可知，

故④正确

综上所述，故正确的有①②④

故选B

【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

2．（4，1）

【分析】

如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．

解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，

∵A（0，3），C（1，0），

∴OA=3，OC=1，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCA+∠DCB=90°，

∵∠OAC+∠OCA=90°，

∴∠OAC=∠DCB，

在△OAC和△DCB中，，

∴△OAC≌△DCB，

∴BD=OC=1，CD=OA=3，

∴OD=OC+CD=4，

∴点B坐标为（4，1）．

故答案为：（4，1）

【点拨】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．

3．详见分析

【分析】

如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.

解：如图，过点D作的延长线于点G，

，

，

，

又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，

∴，

，

又∵BC=BE，

，

又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，

∴，

∴EF=DF.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

4．详见分析

【分析】

分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.

解：如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，

则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，

又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，

∴，

∴DF=CG，.

又，

∴≌，

.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

5．见分析.

【分析】

如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．

解：如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∴CE＝CF，

∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，

∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），

∴∠ACF＝∠ECB，

∴∠ACB＝∠ECF，

∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠ACB+∠AOB＝180°，

∴∠OAC+∠OBC＝180°．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

6．证明见分析

【分析】

方法一：当题中有三角形中线时，常加倍中线构造平行四边形，利用平行四边形和等腰三角形的性质证得结论．

方法二：向中线作垂线，证明，得到，再根据AE＝FE，得到角的关系，从而证明，最终得到结论.

解：方法一：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC

方法二：如图，分别过点、作，，垂足为、，

则.

，，

，

.

，，

，，

又，

，

.

【点拨】本题是较为典型的题型，至少可以用到两种方法来解题，此题的特点就是必须有中线这个条件才能构造平行四边形或双垂线.

7．见分析

【分析】

方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可；

方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．

解：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G．

∴∠F=∠CGE=90°，

在△BFE和△CGE中，，

∴△BFE≌△CGE（AAS），

∴BF=CG，

在△ABF和△DCG中，，

∴△ABF≌△DCG（AAS），

∴AB=CD；

方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．

∴∠F=∠BAE．

又∵∠BAE=∠D，

∴∠F=∠D，

∴CF=CD，

在△ABE和△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB=CF，

∴AB=CD．

【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

8．（1）见分析；（2）∠DCF＝45°．

【分析】

（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论；

（2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．

解：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，

∴∠CAD＝∠ACB＝90°，

∵AC＝BC，

∴∠BAC＝∠B＝45°，

∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，

∴∠EAF＝∠DAF，

在△EAF和△DAF中，

，

∴△EAF≌△DAF（SAS）；

（2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，

∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，

∴∠FMA＝45°＝∠FAM，

∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，

∵EF＝FC，

∴∠FEM＝∠FCA，

在△AEF和△MCF中，

，

∴△AEF≌△MCF（AAS），

∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，

∵△EAF≌△DAF，

∴∠EFA＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠MFC，

∴∠AFM＝∠DFC＝90°，

∵DF＝EF＝CF，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴∠DCF＝45°．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

9．（1）①见分析；②见分析；（2）见分析；

【分析】

（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F， AB＝CD；

②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG

△BAF≌△CDG，AB＝CD；

（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；

解：（1）①如图1，

延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，

∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，

在△BEF和△CED中，

，

∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，

∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，

∴AB＝BF，∴AB＝CD；

②如图2，

分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，

∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，

∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，

在△BEF和△CEG中，

，

∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，

在△BAF和△CDG中，

，

∴△BAF≌△CDG（AAS），

∴AB＝CD；

（2）如图3，

过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，

则∠BAE＝∠EMC，

∵E是BC中点，

∴BE＝CE，

在△BAE和△CME中，

，

∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，

∵∠BAE＝∠EDC，

∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．