专题3.1 勾股定理（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题3.1 勾股定理（知识讲解）

【学习目标】

1. 探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的内容；
2. 掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

 【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

特别说明：：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

         （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

　 （3）理解勾股定理的一些变式：

，， .

要点二、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.

要点三、勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　

①     3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

特别说明：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；

         （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；

【典型例题】

类型一、勾股定理的证明

1．如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．

【分析】首先根据已知条件得出，进而得出，从而根据等面积法即可证明结论．

证明：在和中，

，

，

，

，

，

，

，

，

，故结论得证．

【点拨】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质， 解题的关键是求出和利用梯形的面积相等列出方程．

【变式1】如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．

【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可

解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，

4个小直角三角形的面积，

∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，

∴．

【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．

【变式2】做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．

【分析】利用4个直角三角形全等，根据列式，整理即可．

证明：如图，，，，

∵，即

∴，

∴．

【点拨】本题考查了勾股定理的验证，运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解决本题的关键．

类型二、用勾股定理解直角三角形

2．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长．

【答案】18

【分析】根据题意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再结合BC＝3AD即可得出结论．

解：∵CD是△ABC中AB边上的高，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，

∴BC＝3AD＝18，

∴BC的长为18．

【点拨】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的长是解题的关键，属于基础题．

【变式1】在Rt△ABC中，两条直角边AB，BC的长c，a满足|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0．

(1)  求AC长的平方．

(2)  求Rt△ABC的面积．

【答案】(1) 41；(2) 10

 【分析】（1）先根据绝对值和平方的非负性求出c和a，再根据勾股定理即可求出答案；

（2）直接利用三角形的面积公式求解．

解：（1）∵|4﹣c|+a2﹣10a+25＝0，

∴|4﹣c|+（a﹣5）2＝0，

∴|4﹣c|＝0，（a﹣5）2＝0

∴a＝5，c＝4，

；

（2）△ABC的面积＝×4×5＝10．

【点拨】本题考查了完全平方式、非负数的性质和勾股定理，属于基础题，解题的关键是求出a和c的值．

【变式2】如图，，，．

(1)  求证：≌．

(2)  若，，，求的长．

【答案】(1)证明见解析；  (2)

 【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．

(1)  证明：∵，

∴，

∴．

在与中，

，

∴≌；

(2)解：∵≌，

∴，

∵，，

．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．

类型三、勾股（树）数的问题

3．阅读理解：

我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．

解决问题：

(1)在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；

(2)在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．

【答案】(1)存在，如6，8，10；  (2)不存在，见解析

 【分析】（1）设出三个连续的偶数，利用勾股定理列方程求解即可；

（2）设出三个连续的正整数，利用勾股定理求解，检验即可．

解答：(1)设中间的偶数为m，则较大的偶数为m+2，较小的偶数为m﹣2，由勾股定理得，

（m﹣2）2+m2＝（m+2）2，

解得m＝8，m＝0（舍去）

所以这三个连续偶数为6，8，10，

因此存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10；

（2）不存在．理由如下：

假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．

设这三个正整数分别为n﹣1、n、n+1，

由勾股定理得，

（n﹣1）2+n2＝（n+1）2，

解得n＝4，n＝0（舍去）．

所以三个连续正整数是3，4，5，

所以除了3、4、5以外，不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．

【点拨】本题考查勾股定理，理解“勾股数”的意义是得出正确答案的前提．

【变式1】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．

【答案】m＝1

 【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数

可得：(3m+2)2+ ( 4m+8) 2= ( 5m+8) 2，再解方程即可．

解： m＞0， 3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，

（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，

解得：m＝1．

【点拨】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义．

【变式2】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．

若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”．通过观察常见勾股数“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想当一组勾股数中（），最小数为奇数时，另两个正整数和满足比且，解得，．任务：

(1)请证明猜想成立，即证明，，构成勾股数．

(2)若一组勾股数中，最小数为9，则另两个数分别是________和________．

【答案】(1)见解析；(2)40；41。

 【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明即可．

(2)利用勾股数的公式代入求值即可．

(1)证明：，

∴，，构成勾股数.

(2)根据最小数为奇数时，另两个正整数为，，

当a=9时，

，

，

故答案为：40,41．

【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数的探索，代入求值，熟练掌握勾股数是解题的关键．

类型四、勾股定理与面积问题

4．如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，

(1)  请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）

(2)  如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．

(3)  如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】(1) ；(2) 3；(3)7.5

 【分析】（1）梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：；

（2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个；

（3）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：，进而求解．

解：（1）

四边形ABED的面积可以表示为：

，

也可以表示为，

所以，整理得；

(2)设直角三角形的三条边按照从小到大分别为a，b，c，则，

图③，∵，

∴，

图④，∵

∴，

图⑤，∵

∴，

故答案为：3．

(2)  ∵，

∴，

∵，

∴．

【点拨】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．

【变式1】如图，分别以等腰的边，，为直径画半圆．求证：所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）等于的面积．

 【分析】由勾股定理可得，然后确定出，从而得证．

证明：是直角三角形，

，

以等腰的边、、为直径画半圆，

∴，，，

∵，

∴，

，

∴①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝①的面积＋＋③的面积，

∴②的面积＋④的面积＝，

所得两个月型图案和的面积之和（图中阴影部分）等于的面积．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，熟记勾股定理是解题的关键．

【变式2】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．

（1）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为         ，第二次列式为           ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式                 ；

②在①中，如果，，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；

（2）如图3，两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系．

【答案】（1）①，，；或，，；②9；（2）

【分析】（1）①第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；②直接利用公式，再整体代入求值即可；

（2）第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，再整理即可得到答案.

解：（1）因为小正方形的边长为：

所以第一次计算的面积为：，

第二次计算的面积为：，

所以：；

或，，

②∵，

∴

（3）第一次利用梯形的面积公式图形面积为：

第二次利用图形的面积和计算为：

整理得：

【点拨】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式，掌握等面积法推导两个完全平方公式之间的关系，推导勾股定理是解题的关键.

类型五、用勾股定理在方程思想的应用

5．如图，由△ABC中，，，．按如图所示方式折叠，使点B、C重合，折痕为DE，求出AE和AD的长．

,

【答案】 ；

【分析】在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，ED垂直平分BC，E为BC中点，BD＝CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．在中，由 即可求出x的值，故可得出结论．

解：在中由于，，，

由勾股定理得：，

∴BC＝12，

∵由折叠可知，ED垂直平分BC，

∴E为BC中点，BD＝CD，

∴AE＝BC＝（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．

在中，，

即92＋(12−x)2＝x2，解得，

∴．

【点拨】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键．

【变式1】．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EF的长

【答案】5

【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，根据勾股定理计算即可．

解：∵四边形ABCD是长方形 ，BC=10cm，AB=8cm

∴AD=BC=10cm，AB=CD=8cm

又∵AF为AD折叠所得   

∴AF=AD=10cm，

∴BF2=AF2-AB2=36

∴BF=6cm

∴FC=BC-BF=4

设CE长为x cm，则DE长为（8-x）cm，则EF长为（8-x）cm．

在RT△CEF中，

x2+42=(8-x)2

解得：x=3

∴CE=3cm

∴EF=8-3=5cm

故EF的长为5cm．

【点拨】本题考查的是翻转变换的性质，勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．

【变式2】如图，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，已知AB=4，BC=2，求折叠后重合部分的面积．

【答案】

【分析】先由折叠可知EC=BC=2，进而可知AD=CE，通过全等三角形的角角边判定定理可证明△ADF≌△CEF，由全等可知FE=DF，设FC为x，则FE=DF=4-x，根据直角三角形的勾股定理可列方程，从而计算出CF的长度，通过CF与AD的长度可计算出重合部分面积．

解：∵△AEC是由△ABC沿AC折叠后得到的，

∴EC=BC=2，且∠E=∠B=90°，

在△ADF与△CEF中， ，

∴△ADF≌△CEF（AAS），

设FC=x，则FE=DF=4-x，

在Rt△CEF中，由勾股定理可知： ，

∴ ，解得 ，

∴ ，

故折叠后重合部分的面积为 ．

【点拨】本题考查图形折叠的相关性质，以及直角三角形的勾股定理的应用，以及全等三角形的判定，找到合适的条件，选择适合的判定方法去证明全等三角形，利用勾股定理和方程思想列方程是解决本题的关键．

类型六、勾股定理的其他应用

6．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积．

【答案】24

 【分析】连接BD，由已知条件及勾股定理解得BD的长，再用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而用两个直角三角形的面积差解题即可．

连接BD，

AB⊥AD，

，

在中，

在中，，

是直角三角形，

【点拨】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式1】如图，在中，于点，，，．

（1）求的长；

（2）求的面积；

（3）判断的形状．

【答案】（1）15；（2）150；（3）为直角三角形，详见解析

【解析】

【分析】（1）由题意知，在中，运用勾股定理解得BC的长；

（2）在中，由勾股定理解得AD的长，进而解得AB的长，再根据三角形面积公式解题即可；

（3）在中，分别计算三边的平方，解得，由勾股定理的逆定理解题．

解：（1）∵，

∴，

在中，，即，

解得；

（2）在中，，

∴，解得，

∴．

∴．

（3）为直角三角形

在中，，即

∴为直角三角形．

【点拨】本题考查勾股定理及其逆定理，其中涉及三角形的面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

【变式2】如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．

【分析】设FC＝2a，由正方形的性质得出AB＝BC＝AD＝CD＝9a，，然后利用勾股定理分别表示出，然后根据勾股定理的逆定理即可证明结论．

证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a， ．

∵BE＝2CE，

∴BE＝6a，EC＝3a．

在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝（3a）2＋（2a）2＝13a2．

在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝（9a）2＋（7a）2＝130a2．

在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝（9a）2＋（6a）2＝117a2．

∵13a2＋117a2＝130a2，

∴EF2＋AE2＝AF2．

∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形．

【点拨】本题主要考查正方形的性质，勾股定理及其逆定理，掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．